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Folie 1 §24 Affine Koordinatensysteme Nach den linearen Koordinaten mit dem zugehörigen Koordina- tenwechsel nun dasselbe für den affinen Fall. (24.1)

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Präsentation zum Thema: "Folie 1 §24 Affine Koordinatensysteme Nach den linearen Koordinaten mit dem zugehörigen Koordina- tenwechsel nun dasselbe für den affinen Fall. (24.1)"—  Präsentation transkript:

1 Folie 1 §24 Affine Koordinatensysteme Nach den linearen Koordinaten mit dem zugehörigen Koordina- tenwechsel nun dasselbe für den affinen Fall. (24.1) Bemerkung: Ein affiner Raum ist gegeben durch einen Punktraum A, einen K-Vektorraum V (von Translationen) und einer Abbildung Zur Erinnerung (vgl. § 7 und § 9): so dass für alle P,Q aus A und alle v,w aus V gilt: 1 o g(g(P,v),w) = g(P,v+w) (= g(g(P,w),v) ). 2 o Aus g(P,v) = P folgt stets v = 0. 3 o Es gibt einen eindeutig bestimmten Vektor v mit g(P,v) = Q. Der Punkt g(P,v) wird als P + v geschrieben, v in 3 o als t(P,Q). Im folgenden sei V stets endlichdimensional.

2 Folie 2 Kapitel IV, §24 Äquivalent:... durch O zusammen mit weiteren Punkten P 1, P 2,..., P n, so dass (t(O,P 1 ),t(O,P 2 ),...,t(O,P n )) eine geordnete Basis ist. (24.2) Definition: Ein affines Koordinatensystem (ein Bezugssystem) für A ist gegeben durch einen Punkt O aus A (Ursprung) zusammen mit einer geordneten Basis b = (b 1, b 2,...,b n ) von V. Analog zum linearen Fall in § 23 definiert man Jeder Punkt P in A hat dann die eindeutige Darstellung Für eine weiteres affines Koordinatensystem, gegeben durch Q aus A und durch eine Basis d, gilt entsprechend und erhält die Koordinatentransformation zum Wechsel der affinen Koordinatensysteme

3 Folie 3 Kapitel IV, §24 (24.3) Satz: Die Transformation T ist von der Form Dadurch ist tatsächlich eine Gruppe definiert: Dabei ist w durch Q + w = O definiert (also w = T(0) ) und B durch (24.4) Definition-Satz: Die affine Gruppe Affin(n,K) ist die Gruppe der Paare (B,w) (die wir in der Form T = B + w mit w aus K n und B aus GL(n,K) schreiben) mit der folgenden Multiplikation: kurz: T = B + w. = A(BC) + (v + A(w + Bx)) Für S = A + v aus Affin(n,K) ist ST := AB + (v + Aw). Das Assoziativgesetz: (ST)R = (AB + (v + Aw))(C + x) = (AB)C + ((v + Aw) + (AB)x) = (A + v)(BC + (w + Bx)) = S(TR)

4 Folie 4 Kapitel IV, §24 Die Schreibweise T = B + w verdeutlicht die Wirkung von T auf K n : Den Begriff der affinen Transformationen zwischen affinen Räumen wollen wir im folgenden auf affine Weise definieren. Dazu: Affin(n,K) ist daher als Untergruppe der Permutationsgruppe S(K n ) aufzufassen, und die Abbildungen von K n nach K n der Form T = B + w aus Affin(n,K) heißen affine Transformationen. Es seien außerdem n Skalare s j aus K gegeben, die sich zu 1 aufsummieren. Das neutrale Element ist E + 0 ; dabei ist E die (n,n)-Einheitsmatrix und 0 ist der Nullvektor in K n. Die Inverse zu T = B + w ist S := A (- A - 1 w). (24.5) Definition-Satz: Es seien n Punkte P 1, P 2,..., P n in einem affinen Raum A (mit zugehörigem K-Vektorraum V) gegeben

5 Folie 5 Kapitel IV, §24 (24.6) Definition: Eine bijektive Abbildung f von A nach A heißt affine Transformation, wenn stets gilt, wenn f also die Schwerpunktbildung erhält. Die Menge der affinen Transformationen bildet wieder eine Gruppe, die affine Gruppe Affin(A). definiert: Dieser Punkt heißt der (affine) Schwerpunkt der P j mit den Gewichten s j, und er wird mit bezeichnet:

6 Folie 6 Kapitel IV, §24 Form B + w mit B aus GL(n,K) und w aus K n. Die s 1, s 2,..., s n, s n+1 heißen die affinen Koordinaten bezüglich des affinen Koordinatensystems (Bezugssystems) P 1,P 2,...,P n,O oder auch die Schwerpunktkoordinaten. Sei jetzt ein affines Koordinatensystem des n-dimensionalen affinen Raumes A durch O und b gegeben. Jeder Punkt P aus A hat dann die eindeutige Darstellung: Mit Im Fall des affinen Raumes A = K n, V = K n und g(P,v) = P + v sind die affinen Transformationen im Sinne von 24.6 stets von der

7 Folie 7 (24.7) Satz: Affin(n,K) oder Affin(A) parametrisiert die affinen Koordinatensysteme. Kapitel IV, §24 Unterschied: Die Basis verändert sich mit den Variablen! Und die Koordinaten beschreiben nicht immer den ganzen Raum! Es können Singularitäten auftreten! Beispielsweise Polarkoordinaten im zweidimensionalen affinen Raum A = R 2 über R : (24.9) Bemerkung: Die hier betrachteten linearen und affinen Koordinaten müssen unterschieden werden von den allgemeineren Koordinaten, die man vielfach in Mathematik und Physik verwendet. (24.8) Hauptsatz der affinen Geometrie: A sei affiner Raum über R der Dimension > 1. Dann sind die affinen Transformationen genau die Kollineationen. Dabei ist eine Kollineation eine bijektive Abbildung f von A nach A, die Geraden in Geraden abbildet: Für jede Gerade G in A ist auch f(G) eine Gerade in A. (Ohne Beweis)


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