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Horst Steibl TU-Braunschweig1 Das Bigalke - Rechteck Gegeben ein Rechteck ABCD. Spiegele es an der Diagonale BD. Wie muss das Ausgangsrechteck dimensioniert.

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1 Horst Steibl TU-Braunschweig1 Das Bigalke - Rechteck Gegeben ein Rechteck ABCD. Spiegele es an der Diagonale BD. Wie muss das Ausgangsrechteck dimensioniert sein, damit das gefärbte Viereck ein Rechteck ist? Achtung: Baustelle, Betreten auf eigene Gefahr

2 Horst Steibl TU-Braunschweig2 Vermutung Doppelquadrat Das Doppelquadrat kann es demnach nicht sein! Es muss jedenfalls schmaler sein Finden Sie eine Deutung?Wie wird die lange Seite durch den Punkt G geteilt?

3 Horst Steibl TU-Braunschweig3 Das Verhältnis der Abschnitte der langen Rechteckseite Im Trapez teilen die Diagonalen sich im Verhältnis der parallelen Seiten, anscheinend im goldenenen Schnitt Hypothese: Die lange Rechteckseite wird anscheinend im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt Der Winkel 2 = 51,8... fällt auf Der Winkel = 25,9.. ist die Hälfte von 51,8..

4 Horst Steibl TU-Braunschweig4 Ein anderer Zugang Konstruiere ein rechtwinkliges Trapez (blau), dessen parallele Seiten im goldenen Schnitt stehen. Die Diagonalen teilen einander dann auch stetig. Die Parallele durch C sei beweglich. Wenn der rechte Winkel bei F erscheint, ist das Rechteck das gesuchte Parallelogramm. Nicht jedes goldene rechtwinklige Trapez leistet das. Erst wenn die Diagonalen sich rechtwinklig schneiden, ist der Fall gelöst

5 Horst Steibl TU-Braunschweig5 1. Lösung M sei der Mittelpunkt von EG. Drehe das Trapez ECDG um M um 180°. (Punktspiegelung an M) Dann ist BEDG die diagonale Raute des Vierecks ABCD. Also ist BG = GD = 10 cm. Spiegele das Trapez GECD an EG. Dann ist BK =DC. Das Rechteck BKDL ist dann das an der Diagonale BD gespiegelte Rechteck mit der Eigenschaft, dass das gesuchte Parallelogramm ein Rechteck ist L

6 Horst Steibl TU-Braunschweig6 Konstruktion Zeichne die Strecke AB = 10 cm Teile AB stetig in G Halbiere AB in M1 und zeichne den Thaleskreis Errichte die Lote in G und B Zeichne das Dreieck ABC und verlängere die Katheten Zeichne die Parallele zu AB durch D Zeichne das Trapez AEDB Punktspiegele das Trapez AEDB an M Spiegele das Trapez an AE Punktspiegele das Trapez AED´A´an M Begründe, dass BB´die Spiegelachse der Figur ist In welchem Verhältnis stehen die Rechteckseiten?

7 Horst Steibl TU-Braunschweig7 2. Weg zur Konstruktion Das Rechteck IGJH ist das drehgestreckte Abbild des Rechtecks ABCD (Vertauschen der Funktion Diagonale Mittelsenkrechte). Also sind sie ähnlich. Bei diese Spiegelung ist die diagonale Raute Fixfigur. In der diagonalen Raute BCDH stehen D die Diagonalen lotrecht aufeinander. Es ist BG = GD = DH x / a = a / b x = a² / b (*) Die Dreiecke mit den gelben Winkeln sind ähnlich. Winkel im Dreieck bzw. Nachbarwinkel ergänzen sich jeweils zu 90° x : ½(b – x) = ½(b – x) : ½(b + x) Das führt zur Gleichung x²+4bx –b²= 0 x =b( 5 – 2) In (*) a = b ( 5-2) b = a ( 5+2) b a*2, Danke Ulrich Guder

8 Horst Steibl TU-Braunschweig8 Uli´s Lösung In der Zeichnung ist die Bedingung, dass der Winkel bei P ein rechter Winkel ist, erfüllt. Das Verhältnis der beiden Seiten a und b des Ausgangs- rechtecks lässt sich dabei durch Betrachtungen von zwei Klassen ähnlicher Dreiecke bestimmen In dem rechtwinkligen Trapez EDCF sind durch die Diagonalen ähnliche Dreiecke bestimmt. Die rechtwinkligen Dreiecke PED), (PDC ) und (PCF) sind ähnlich. Ihre spitzen Winkel ergänzen sich ja zu 90° und die Nachbarwinkel bei D und C ebenfalls Die zweite Klasse besteht aus den vier kongruenten Dreiecken der diagonalen Raute: (MED), (FMD), (FBM), (BEM), und den Dreiecken (ABD), (FGE), (FPE). Ferner die drei Dreiecke (GEF), (FKE), (PFE). Die Drehstreckung, die Diagonale und deren Mittelsenkrechte vertauscht, erzeugt diese ähnlichen Dreiecke, die somit ähnlich dem Dreieck (ABD) sind

9 Horst Steibl TU-Braunschweig9 Wir erhalten damit folgende Beziehung: (*) (x : a) = (a : b) Außerdem folgt aus diesen Ähnlichkeiten und Kongruenzen, dass DE = EF und PF = FG. Es gilt auch DE = (b + x)/2 und CF = (b – x)/2 Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke PED) und (PCF)lässt sich folgern: (**) x : ½(b – x) = ½(b – x) : ½(b + x) Lösen wir (*) nach x auf und setzen in (**) ein, so erhalten wir b = a* ( 5 + 2) = a * 2, Berechnung der Seitenlängen

10 Horst Steibl TU-Braunschweig10 Uli´s 2. Lösung Bei dieser Lösung gehe man vom Höhensatz aus,um Wurzel(Wurzel(5) + 2) zu bestimmen. Dazu konstruiere man die Strecke Wurzel(5) + 3 und errichte im Punkt Wurzel(5) + 2 eine Senkrechte, die man mit dem Thaleskreis um Wurzel(5) + 3 schneide. Der Abstand des Schnittpunkts zur Strecke Wurzel(5) + 3 ist dann nach dem Höhensatz gerade Wurzel(Wurzel(5) + 2), die gesuchte zweite Seite des Rechtecks: p* q = h² (Wurzel(5) + 2) * 1 = (Wurzel(5) + 2) Also h = Wurzel(Wurzel(5) + 2),


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