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Seminarvortrag: Flächenfraktale Brunnthaler Katrin Pfurner Martin.

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Präsentation zum Thema: "Seminarvortrag: Flächenfraktale Brunnthaler Katrin Pfurner Martin."—  Präsentation transkript:

1 Seminarvortrag: Flächenfraktale Brunnthaler Katrin Pfurner Martin

2 Motivation: Suche Modelle zur mathematischen Beschreibung von Lunge, Niere,… Suche Modelle zur mathematischen Beschreibung von Lunge, Niere,… Die menschliche Lunge enthält etwa Lungenbläschen, ist also irgendwie fraktal Die menschliche Lunge enthält etwa Lungenbläschen, ist also irgendwie fraktal Annäherung durch sogenannte physiologische Flächen Annäherung durch sogenannte physiologische Flächen

3 Physiologische Flächen Oberfläche des Fraktals (F u ) soll unendlich groß sein Oberfläche des Fraktals (F u ) soll unendlich groß sein Fläche soll in eine andere, aber geschlossene, endliche Fläche eingebettet sein (Grenzfläche) Fläche soll in eine andere, aber geschlossene, endliche Fläche eingebettet sein (Grenzfläche) Fläche soll den Grenzraum vollständig ausfüllen Fläche soll den Grenzraum vollständig ausfüllen Fläche soll fraktal sein Fläche soll fraktal sein

4 Beispiele für Flächenfraktale: Würfel–Fraktal (W-Fraktal) Würfel–Fraktal (W-Fraktal) Tetraeder-Fraktal (T-Fraktal) Tetraeder-Fraktal (T-Fraktal) Oktaeder-Fraktal (O-Fraktal) Oktaeder-Fraktal (O-Fraktal) Weiteres Würfel-Fraktal Weiteres Würfel-Fraktal St. George-Fraktal (SG-Fraktal) St. George-Fraktal (SG-Fraktal)

5 W-Fraktal Würfel mit Kantenlänge a Würfel mit Kantenlänge a Jede Fläche wird in 9 kongruente Quadrate geteilt Jede Fläche wird in 9 kongruente Quadrate geteilt Über dem mittleren Quadrat wird ein Würfel mit Kantenlänge a/3 errichtet Über dem mittleren Quadrat wird ein Würfel mit Kantenlänge a/3 errichtet Berührflächen werden herausgenommen Berührflächen werden herausgenommen

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7 Eigenschaften: Zwei Würfel derselben Generation sind entweder disjunkt oder haben genau eine Kante gemeinsam Zwei Würfel derselben Generation sind entweder disjunkt oder haben genau eine Kante gemeinsam F u = unendlich F u = unendlich V u = 10/7. a 3 V u = 10/7. a 3 (Volumen des Fraktals) Die Fraktale Dimension beträgt ln13/ln3 ~ Die Fraktale Dimension beträgt ln13/ln3 ~2.3347

8 Grenzkörper Die Ecken des Startwürfels bestimmen mit den Spitzen der auf die Seitenflächen aufgesetzten Pyramiden mit Höhe a/2 einen Rhombendodekaeder. Die Ecken des Startwürfels bestimmen mit den Spitzen der auf die Seitenflächen aufgesetzten Pyramiden mit Höhe a/2 einen Rhombendodekaeder. V g =2. a 3 (Volumen des Grenzkörpers) V g =2. a 3 (Volumen des Grenzkörpers) V g ist ungleich V u => keine physiologische Fläche V g ist ungleich V u => keine physiologische Fläche

9 Das W-Fraktal ist in das Rhombendodekaeder eingebettet. Das W-Fraktal ist in das Rhombendodekaeder eingebettet.

10 T-Fraktal Reguläres Tetraeder mit Kantenlänge a Reguläres Tetraeder mit Kantenlänge a Jede Fläche wird in 4 kongruente Dreiecke geteilt Jede Fläche wird in 4 kongruente Dreiecke geteilt Über dem mittleren Dreieck wird ein reguläres Tetraeder mit Kantenlänge a/2 errichtet Über dem mittleren Dreieck wird ein reguläres Tetraeder mit Kantenlänge a/2 errichtet Berührflächen werden herausgenommen Berührflächen werden herausgenommen

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12 Eigenschaften Zwei Tetraeder derselben Generation sind entweder disjunkt, haben genau 1 Punkt oder genau 1 Gerade gemeinsam Zwei Tetraeder derselben Generation sind entweder disjunkt, haben genau 1 Punkt oder genau 1 Gerade gemeinsam F u = unendlich F u = unendlich V u = ¼. a 3 sqrt(2) V u = ¼. a 3 sqrt(2) Die Fraktale Dimension beträgt beträgt ln6/ln2 ~ Die Fraktale Dimension beträgt beträgt ln6/ln2 ~2.5849

13 Grenzkörper Die Ecken des Starttetraeders bestimmen mit den Spitzen der vier Tetraeder der ersten Generation einen Würfel mit Kantenlänge a/2. sqrt(2) Die Ecken des Starttetraeders bestimmen mit den Spitzen der vier Tetraeder der ersten Generation einen Würfel mit Kantenlänge a/2. sqrt(2) V g = a 3 /4. sqrt(2) V g = a 3 /4. sqrt(2) V g = V u V g = V u

14 Das T-Fraktal verläßt den Grenzwürfel nicht Das T-Fraktal verläßt den Grenzwürfel nicht Das T-Fraktal ist also eine physiolog. Fläche Das T-Fraktal ist also eine physiolog. Fläche

15 O-Fraktal Reguläres Oktaeder mit Kantenlänge a Reguläres Oktaeder mit Kantenlänge a Jede Fläche wird in 4 kongruente gleichseitige Dreiecke geteilt Jede Fläche wird in 4 kongruente gleichseitige Dreiecke geteilt Über dem mittleren Dreieck wird ein reguläres Oktaeder mit Kantenlänge a/2 errichtet Über dem mittleren Dreieck wird ein reguläres Oktaeder mit Kantenlänge a/2 errichtet Berührflächen werden herausgenommen Berührflächen werden herausgenommen

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17 Eigenschaften Zwei Oktaeder derselben Generation sind entweder disjunkt, haben genau 1 Punkt gemeinsam oder fallen zusammen Zwei Oktaeder derselben Generation sind entweder disjunkt, haben genau 1 Punkt gemeinsam oder fallen zusammen Die fraktale Dimension des O-Fraktals beträgt ln6/ln2 (muss anders berechnet werden, da es nicht selbstähnlich ist) Die fraktale Dimension des O-Fraktals beträgt ln6/ln2 (muss anders berechnet werden, da es nicht selbstähnlich ist) Flächeninhalt bzw. Volumen des O-Fraktales sind nicht mehr so einfach zu ermitteln. Dazu benötigen wir die folgenden Dreieckskonfigurationen: Flächeninhalt bzw. Volumen des O-Fraktales sind nicht mehr so einfach zu ermitteln. Dazu benötigen wir die folgenden Dreieckskonfigurationen:

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19 A(n), B(n), C(n) und D(n) geben die Anzahl der unterschiedlichen Dreieckskonfigurationen (Single, Falte, Höhle, Kaverne) in der n-ten Generation an. A(n), B(n), C(n) und D(n) geben die Anzahl der unterschiedlichen Dreieckskonfigurationen (Single, Falte, Höhle, Kaverne) in der n-ten Generation an. Volumen: V u = 2. a 3. sqrt(2) (V(n) = A(n-1)+B(n-1)+C(n-1)+D(n-1) … Anzahl der in der Generation n neu hinzukommenden Oktaeder V(n) = 2. 6 n -4 n ) Volumen: V u = 2. a 3. sqrt(2) (V(n) = A(n-1)+B(n-1)+C(n-1)+D(n-1) … Anzahl der in der Generation n neu hinzukommenden Oktaeder V(n) = 2. 6 n -4 n )

20 Fläche: F u = unendlich (F(n) = 1. A(n)+2. B(n)+3. C(n)+4. D(n) … Anzahl aller Dreiecke des O-Fraktals in der n-ten Generation F(n) = 4. (6 n n+1 )) Fläche: F u = unendlich (F(n) = 1. A(n)+2. B(n)+3. C(n)+4. D(n) … Anzahl aller Dreiecke des O-Fraktals in der n-ten Generation F(n) = 4. (6 n n+1 ))

21 Grenzkörper Das O-Fraktal ist in einen Würfel mit Kantenlänge a. sqrt(2) eingebettet. Das O-Fraktal ist in einen Würfel mit Kantenlänge a. sqrt(2) eingebettet. V g = 2. a 3. sqrt(2) V g = 2. a 3. sqrt(2) V g = V u V g = V u

22 Wird einem Tetraeder der Kantenlänge 2a ein Oktaeder der Kantenlänge a eingeschrieben, so stimmen die Grenzwürfel der zugehörigen T- und O-Fraktale überein. Wird einem Tetraeder der Kantenlänge 2a ein Oktaeder der Kantenlänge a eingeschrieben, so stimmen die Grenzwürfel der zugehörigen T- und O-Fraktale überein.

23 Ein weiteres Würfelfraktal Würfel mit Kantenlänge a Würfel mit Kantenlänge a Jede Fläche wird in 25 kongruente Quadrate geteilt Jede Fläche wird in 25 kongruente Quadrate geteilt Über den mittleren 9 Quadraten werden jeweils Würfel mit Kantenlänge a/5 errichtet Über den mittleren 9 Quadraten werden jeweils Würfel mit Kantenlänge a/5 errichtet Berührflächen werden herausgenommen Berührflächen werden herausgenommen

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25 Eigenschaften Zwei Würfel derselben (und auch aus verschiedenen) Generation sind disjunkt oder sie haben genau 1 Kante oder 1 Seitenfläche gemeinsam. Dies gilt auch für Würfel verschiedener Generationen. Zwei Würfel derselben (und auch aus verschiedenen) Generation sind disjunkt oder sie haben genau 1 Kante oder 1 Seitenfläche gemeinsam. Dies gilt auch für Würfel verschiedener Generationen. F u = unendlich F u = unendlich V u = 71/44. a 3 V u = 71/44. a 3 Die fraktale Dimension dieses W-Fraktals beträgt ln37/ln5 ~ Die fraktale Dimension dieses W-Fraktals beträgt ln37/ln5 ~ 2.243

26 Grenzkörper Auf die Seitenflächen des Ausgangswürfel werden Pyramidenstümpfe einer Pyramide mit Höhe a/2 aufgesetzt. Die Höhe beträgt a/4 => gestutztes Rhombendodekaeder Auf die Seitenflächen des Ausgangswürfel werden Pyramidenstümpfe einer Pyramide mit Höhe a/2 aufgesetzt. Die Höhe beträgt a/4 => gestutztes Rhombendodekaeder V g = 15/8. a 3 V g = 15/8. a 3 V g ungleich V u => keine physiologische Fläche V g ungleich V u => keine physiologische Fläche

27 SG-Fraktal Würfel der Kantenlänge a Würfel der Kantenlänge a Jede Fläche wird in 9 kongruente Quadrate geteilt Jede Fläche wird in 9 kongruente Quadrate geteilt Auf die Quadrate des Kreuzes werden Würfel der Kantenlänge a/3 aufgesetzt, auf das mittlere Quadrat sogar 2 Auf die Quadrate des Kreuzes werden Würfel der Kantenlänge a/3 aufgesetzt, auf das mittlere Quadrat sogar 2 Berührflächen werden herausgenommen Berührflächen werden herausgenommen

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29 Eigenschaften Würfel derselben Generation sind entweder disjunkt, oder sie schneiden sich längs einer Würfelkante bzw. einer Würfelfläche, oder aber sie fallen zusammen. Würfel verschiedener Generationen sind entweder disjunkt oder sie schneiden sich längs einer Seitenfläche. Würfel derselben Generation sind entweder disjunkt, oder sie schneiden sich längs einer Würfelkante bzw. einer Würfelfläche, oder aber sie fallen zusammen. Würfel verschiedener Generationen sind entweder disjunkt oder sie schneiden sich längs einer Seitenfläche.

30 Volumen bzw. Flächeninhalt werden auf analoge Weise wie jene des O-Fraktals berechnet. Volumen bzw. Flächeninhalt werden auf analoge Weise wie jene des O-Fraktals berechnet. F u = unendlich F u = unendlich V u = 585/134. a 3 V u = 585/134. a 3 Die fraktale Dimension beträgt: ln0.5. (13+sqrt(73))/ln3 ~ Die fraktale Dimension beträgt: ln0.5. (13+sqrt(73))/ln3 ~

31 Grenzkörper Über jeder Seitenfläche des Würfels entsteht bei der Iteration ein Turm mit einer Spitze. Die Höhe dieses Turmes beträgt a. Über jeder Seitenfläche des Würfels entsteht bei der Iteration ein Turm mit einer Spitze. Die Höhe dieses Turmes beträgt a. Die 6 Turmspitzen spannen ein Oktaeder mit Kantenlänge 3/2. a. sqrt(2) auf. Die 6 Turmspitzen spannen ein Oktaeder mit Kantenlänge 3/2. a. sqrt(2) auf. Das SG-Fraktal ist in das Oktaeder eingebettet. Das SG-Fraktal ist in das Oktaeder eingebettet. V g = 9/2. a 3 V g = 9/2. a 3 V g ungleich V u => keine physiologische Fläche V g ungleich V u => keine physiologische Fläche


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