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Hier einige Hieroglyphen:. III. Figur und Hintergrund Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 1 Gliederung 1.Primzahlen.

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Präsentation zum Thema: "Hier einige Hieroglyphen:. III. Figur und Hintergrund Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 1 Gliederung 1.Primzahlen."—  Präsentation transkript:

1 Hier einige Hieroglyphen:

2 III. Figur und Hintergrund Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 1 Gliederung 1.Primzahlen in formalen Systemen 1.1 Das mg-System 1.2 Zeichenketten zusammengesetzter Zahlen 1.3 Unzulässige Charakterisierung von Primzahlen 1.4 Primzahlen als positiv definierte Menge 2.Figur und Hintergrund 2.1 In der Kunst 2.2 In der Musik 2.3 Übertragung auf mathematische Theorien 2.4 Rekursiv aufzählbare Mengen – rekursive Mengen 2.5 Gödels Satz und das Halteproblem

3 1. Primzahlen in formalen Systemen Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 2 Letzte Stunde:Addition in formalen Systemen Ziel dieser Stunde: Primzahlendarstellung in einem formalen System Satz: P-----(5) Kein Satz:P----(4) Zentrale Frage: Welche Axiome und Regeln sind notwendig?

4 1.1 Das mg-System Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 3 Primzahlen sind nur über die Multiplikation charakterisierbar Daher: 1. Schritt: Ein formales System zur Darstellung der Multiplikation x mal y gleich z wird übersetzt in: xmygzxmygz Axiom: x m - g x, wobei x eine Bindestrichkette ist Schlussregel: x m y g z ist ein Satz. Dann ist x m y- g zx ein neuer Satz, wobei x, y und z Bindestrichketten sind.

5 1.2 Zeichenketten zusammengesetzter Zahlen Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 4 Nächster Schritt: Definition der zusammengesetzten Zahlen (= des Gegenteils der Primzahlen) Regel: Wenn x- m y- g z ein Satz ist, dann ist es auch Z z, wobei x, y und z Bindestrichketten sind Das heißt: x+1 sowie y+1 vorgegeben => z ist zusammengesetzt

6 1.3 Unzulässige Charakterisierung Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 5 Formales System für das Gegenteil der Primzahlen ist bekannt Vorschlag: Simple Umkehrung, um auf die Primzahlen zu kommen Regelvorschlag: Wenn Z x kein Satz ist, dann ist P x ein Satz. Nicht zulässig – diese Entscheidung kann nur außerhalb des Systems getroffen werden Parallele zum MU-Rätsel – dort konnte der Nachweis genauso nur in formell durchgeführt werden

7 1.4 Primzahlen als positiv definierte Menge Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 6 Zweiter Versuch über Nichtteilbarkeit x ist kein Teiler von y wird übersetzt in: 1.Axiom: xy IKT x 1.Regel: Wenn x IKT y ein Satz ist, dann auch x IKT xy Axiom richtig, da: y != 0 Regel richtig, da: Modulo von y:x == Modulo von (y+x):x

8 1.4 Primzahlen als positiv definierte Menge Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund Regel: Wenn -- IKT z ein Satz ist, dann auch z TF -- Diese Regel dreht den Ausdruck um, TF steht für teilerfrei von.

9 1.4 Primzahlen als positiv definierte Menge Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund Regel: Wenn z TF x ein Satz ist, und ebenso x- IKT z, dann ist z TF x- ein Satz Iterative Inkrementierung des TF-Ausdrucks mit Hilfe IKT-Regel 4.Regel: Wenn z- TF z ein Satz ist, dann ist P z- ein Satz. Wenn alle Zahlen bis zur mutmaßlichen Primzahl-1 keine Teiler sind, handelt es sich tatsächlich um eine Primzahl Zwei ist aber auch eine Primzahl!? => 2.Axiom: P --

10 2. Figur und Hintergrund Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 9 In Punkt 1 fiel auf, dass die Primzahlen (gewissermaßen) das Gegenteil der zusammengesetzten Zahlen darstellen. In graphischer Form hieße das:

11 2.1 Figur und Hintergrund in der Kunst Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 10 Hinter- und Vordergrund gibt es genauso in der Kunst Hierzu zwei fiktive Begriffe: Kursiv zeichenbar (Hintergrund ist Nebenprodukt) Rekursiv zeichenbar (Hintergrund kann als eigene Figur aufgefasst werden)

12 2.1 Figur und Hintergrund in der Kunst Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 11

13 2.1 Figur und Hintergrund in der Kunst Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 12

14 Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund Figur und Hintergrund in der Kunst

15 Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund Figur und Hintergrund in der Kunst

16 Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund Figur und Hintergrund in der Kunst

17 Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 16 Die gezeigten Bilder sind Rekursiv zeichenbar Die Definition dieser Begriffe ist aber ungenau Ein kursiv zeichenbares Bild:

18 2.2 Figur und Hintergrund in der Musik Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 17 Ähnliches Phänomen in der Musik: Vorder- versus Hintergrund Melodie versus Begleitung J. S. Bach - Musikalisches Opfer - Ricercar, a 3 (Cembalo)

19 2.3 Übertragung auf math. Theorien Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 18

20 2.4 Rekursiv aufzählbare/rekursive Mengen Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 19 Die zunächst nur negativ definierten Primzahlen ließen sich positiv darstellen Gilt das für alle formalen Systeme? Nein! => Es gibt rekursiv aufzählbare Mengen, die nicht rekursiv sind.

21 2.4 Rekursiv aufzählbare/rekursive Mengen Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 20 => Es gibt rekursiv aufzählbare Mengen, die nicht rekursiv sind. Wenn ein typographisches Entscheidungsverfahren existiert, kann man mittels dessen Hilfe ausgehend von einer positiv definierten Menge die korrespondierende Negativ-Menge charakterisieren. => Es gibt formale Systeme, für die es keine typographischen Entscheidungsverfahren gibt.

22 2.5 Gödels Satz und das Halteproblem Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 21 Diese Grundsätze wurden von Turing und Gödel aufgedeckt Gödels Vollständigkeitssatz: Eine Aussage φ ist genau dann allgemeingültig, wenn sie formal beweisbar ist. Das gilt allerdings nur für einfache Systeme mit geringer Mächtigkeit.

23 2.5 Gödels Satz und das Halteproblem Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 22 Gödels Unvollständigkeitssatz: Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig. Vereinfachter Ansatz: Ein System, das Sätze konstruiert, die jeweils eine Nummer (ID) haben und aussagen, dass sie sich selbst nicht beweisen lassen. Wenn einer dieser Sätze wahr ist, lässt er sich wirklich nicht beweisen. Man besitzt kein typographisches Entscheidungsverfahren – das System ist unvollständig. Wenn dieser Satz unwahr ist, lässt er sich beweisen – ein klarer Widerspruch, der auf das System zurückgeführt werden muss, was dann folglich widersprüchlich sein muss.

24 2.5 Gödels Satz und das Halteproblem Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 23 Turings Halteproblem: Es ist unmöglich, ein zweites Programm überprüfen zu lassen, ob ein erstes Programm terminiert. Das bedeutet wiederum, dass es in jedem hinreichend komplexen System Aussagen gibt, die man nicht beweisen oder widerlegen kann, also dass ein solches System unvollständig ist.

25 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Proseminar Gödel, Escher, Bach - Kapitel III: Figur und Hintergrund - 24


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