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Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / 1 Beispiele für Ausdrucksalgebren 1. A = [ AUS ; neg, con,

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Präsentation zum Thema: "Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / 1 Beispiele für Ausdrucksalgebren 1. A = [ AUS ; neg, con,"—  Präsentation transkript:

1 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / 1 Beispiele für Ausdrucksalgebren 1. A = [ AUS ; neg, con, alt ] - die Algebra der pfeilfreien aussagenlogischen Ausdrücke ist ein klassisches Beispiel für eine homogene Ausdrucksalgebra (Namensgeber!) vergleiche dazu die Überlegungen zur Syntaxanalyse und die aus der Logik bekannten Sätze über die Ausdrücke 2. N = [ Nz ; 0, suc] - die (?) PEANO-Algebra der natürlichen Zahlen mit der Konstanten 0 und der Nachfolgerfunktion suc die PEANO-Axiome sind ein Spezialfall der verallgemeiner- ten PEANO-Axiome, folglich genügt N den Bedingungen (P1) - (P3), PEANO-Basis ist hier

2 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / 2 Beispiele für Ausdrucksalgebren (Forts.) 2. N = [ Nz ; 0, suc] - ist PEANO-Algebra unabhängig von der konkreten Gestalt der natürlichen Zahlen: – Nz = {0,1,2,...}, – Nz = { |, ||, |||, ||||,...}, – Nz = Menge der Äquivalenzklassen gleichmächtiger endlicher Mengen, – Nz = { O, L, LO, LL, LOO,...}, – Nz = Menge der Ordinalzahlen,... N ist homogene Algebra vom Typ mit = {O, ' }, (O) = 0, (') = 1.

3 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / 3 Beispiele für Ausdrucksalgebren (Forts.) zu 2.: bezeichne wie üblich die sich ergebende Signatur. (a) Terme der Standardtermalgebra T sind z.B. O, 'O, ''O, '''O,... (b) die Termalgebra mit den (entsprechenden) Termen O, O', O'', O''',... ist natürlich isomorph zu T ; genauso wie (c) N = [ Nz ; 0, suc]. (d) die folgenden Ausdrücke gehören zu einer Ausdrucksalgebra derselben Signatur über der Variablenmenge X = { x 1, x 2, x 3,...} : x 1, x 2, x 27, O, O''''''', x 359 '''''',...

4 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / 4 Beispiele für Ausdrucksalgebren (Forts.) 3. Algebra arithmetischer blauer Terme: Zeichenvorrat = { 0, +, ), (, x 1, x 2, x 3,... } sei gegeben. Setze X = { x 1, x 2, x 3,... }, = {0, +} und bilde die homogene Algebra E = [E ; f 0, f + ] vom Typ (0,2) mit f 0 = 0, f + (e 1, e 2 ) = (e 1 + e 2 ) für bel. e 1, e 2 E (a) Ausdrücke (d.h. Elemente von E) sind z.B. 0, ((x 1 + 0) + x 5 ), (x 1 + (0 + x 3 )), (x 34 + x 87 ),... (b) wenn man die Definition von f + abändert in f + (e 1, e 2 ) = +e 1 e 2, so erhält man analog die Ausdrücke bzw. Terme 0, ++x 1 0x 5, +x 1 +0x 3, +x 34 x 87,...

5 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / 5 Beispiele für Ausdrucksalgebren (Forts.) 4. Homogene Termalgebra über X = {p, q, r} mit = {, } vom Typ (2,2) : Terme: (a) bei Benutzung der üblichen Folgenschreibweise vergleiche dazu die Def. von T (X) (p), (, (, q, r), p), (, (, p, r), (, p, p)),... (b) bei Verwendung von Zeichenreihenschreibweisen: Präfixschreibweise: p, qrp, pr pp Infixschreibweise: p, ((q r) p), ((p r) (p p)) Postfixschreibweise: p, qr p, pr pp Funktionsschreibweise: p, ( (q, r), p), ( (p, r), (p, p))

6 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / 6 Beispiele für Ausdrucksalgebren (Forts.) 5. Zum MEALY -Automaten : = (S,, ), S = {x, y, z}, = {1, 2}, (1) = (z, x, z), (2) = (z, x, y). Bilde -Standardtermalgebra über V = (V s ) s S mit V x = { x 1, x 2, x 3,...}, V y = { y 1, y 2, y 3,...}, V z = { z 1, z 2, z 3 }. Zu T (V) gehören z.B. folgende Terme: in T x : x 1, x 2, x 3,... keine weiteren ! in T y : y 1, y 2, y 3,... 2z 1 x 1, 2z 1 x 2, 2z 1 x 3,... 2z 2 x 1, 2z 2 x 2, 2z 2 x 3,... 2z 3 x 1, 2z 3 x 2, 2z 3 x 3,... zur Fortsetzung weitere "Zustandsterme" aus T z nötig

7 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / 7 Beispiele für Ausdrucksalgebren (Forts.) weiter zu 5: in T z : z 1, z 2, z 3 1z 1 x 1, 1z 1 x 2, 1z 1 x 3,... 1z 2 x 1, 1z 2 x 2, 1z 2 x 3,... 1z 3 x 1, 1z 3 x 2, 1z 3 x 3,... zur Fortsetzung diese schon gebildeten "Zustandsterme" aus T z verwenden 11z 1 x 1 x 1, 11z 1 x 1 x 2, 11z 1 x 1 x 3,... T z... zu T y kommen nun dazu: 21z 1 x 1 x 1, 21z 1 x 1 x 2, 21z 1 x 1 x 3,... 21z 1 x 2 x 1, 21z 1 x 2 x 2, 21z 1 x 2 x 3,......

8 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / 8 Beispiele für Ausdrucksalgebren (Forts.) 6. Zum Datentyp Keller : = (S,, ) mit S = {d, s}, = {, #,, pop, push, top}, d für date, s für stack, - date error, # - stack error, - leerer Keller ( ) = (d), (#) = ( ) = (s), (push) = (d,s,s), (pop) = (s,s), (top) = (s,d). Bilde -Ausdrucksalgebra E (X) über X = [X d, X s ] mit X d = { x 1, x 2, x 3,...}, X s = in schwacher Abwandlung der Definition von T (X): in E s z.B.: #,, push(x i push(x j )), pop(push(x j )),... für beliebige i und j in E d z.B.: x 1, x 2,, top( ), top(push(x 1 push(x 27 )), top(push(x 7 )),...

9 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / 9 7. Beispiel Zuordung der syntaktischen Algebra zu kontextfreier Grammatik G = (N, T, P, S) - gegebene kontextfreie Grammatik N - Alphabet der Nichtterminale, T - Alphabet der Terminalzeichen, P - Menge der Produktionen : P N (T N )* S - Startsymbol: S N Für jedes A N setze L A = { w | A * w w T* }. Es ist dann L(G) = L S. Zu Regel p P der Gestalt A u 1 A 1 u 2 A 2...u n A n u n+1 mit A, A i N, u j T* definiere Operation f p : L A 1 L A 2... L A n L A mit f p (x 1, x 2,..., x n ) = u 1 x 1 u 2 x 2...u n x n u n+1

10 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / Beispiel (Forts.) Die sich so ergebende Algebra wird mit SYN G bezeichnet: SYN G = [(L A ) A N, (f p ) p P ] Sie heißt die zu G gehörige syntaktische Algebra. Deren Signatur G ist ebenfalls aus der Grammatik erkennbar: G = (N, P, ), wobei (p) = (A 1, A 2,..., A n, A) zu setzen ist, falls die Regel p die Gestalt A u 1 A 1 u 2 A 2...u n A n u n+1 mit A, A i N, u j T* besitzt.

11 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / Beispiel (Forts.) Man erkennt, daß SYN G die verallgemeinerten PEANO-Axiome erfüllt, falls alle Sprachen L A, nicht nur L(G) selbst, bzgl. G eindeutige Sprachen sind (im Sinne der Theorie formaler Sprachen!). Im Falle der grammatikalischen Eindeutigkeit ist also SYN G eine Ausdrucks- bzw. PEANO-Algebra. Deren eindeutig bestimmtes Erzeugendensystem X ist dann das System leerer Mengen wegen X A = L A \ im ( f p ) =. l(p) bezeichnet hier die linke Seite der Regel p. l(p) = A

12 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / Beispiel (Forts.) Die Signatur G, die durch die kontextfreie Grammatik G festgelegt ist, bestimmt auch die zugehörige initiale (variablenfreie) Standardtermalgebra T G, kurz T G. Entsprechend der allgemeinen Definition von T erhält man hier als Elemente der Trägermenge T G,A von T G alle Folgen von Regeln, die zu vollständigen Linksableitungen in G, beginnend mit A gehören. Vergleiche dazu die Erläuterungen am Beispiel Da zu jeder Linksableitung eineindeutig ein Ableitungsbaum gehört, sagt man, daß die initiale Termalgebra der Signatur G die Algebra der Ableitungsbäume ist. Diese Algebra T G heißt deshalb auch abstrakte Syntax.

13 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / Beispiel (Forts.) Beispiel G = ({A, B}, { +, ), (, a, b }, P, A) mit P = { A (A+B), A a, B b }. Also ist G = ({A, B}, P, ). Regelnamen Regeln (p) = (w,s) +A (A+B)(AB, A) aA a(A) bB b(B) zu T G,B nur: B b als Konstante zu T G,A : Wie sehen die Standardterme der Sorte A aus? Es gibt zwei Operatoren mit Ausgang A ! Konstanten!

14 Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik R. Hartwig Kapitel 4 -Beispiele / Beispiel (Forts.) Beispiel (Forts.) zu T G,A z.B. : A a als Konstante A (A+B) A a B b t 1 t 2 A (A+B) A (A+B) A a B b B b t 1 t 2 Umbenennung der Operatoren ergibt folgende Schreibweise derselben Terme: a a + ab + Ableitungsbäume ++abb a b + + b a b


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