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1.) Der erweiterte Sinussatz
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Beh.: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R gilt:
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Beh.: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R gilt:
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Zum Beweis betrachten wir zunächst dieses Dreieck ABC
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Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC
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Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC
Nach dem Satz des Thales beträgt in diesem Dreieck der Winkel in B 90°
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Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC
Nach dem Satz des Thales beträgt in diesem Dreieck der Winkel in B 90° Die Winkel in A und in J liegen auf dem selben Kreisbogen.
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Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC
Nach dem Satz des Thales beträgt in diesem Dreieck der Winkel in B 90° Die Winkel in A und in J liegen auf dem selben Kreisbogen. Daher gilt:
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Das Dreieck ABC kann in A einen spitzen Winkel haben (wie I.)
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Das Dreieck ABC kann in A einen spitzen Winkel haben (wie I
Das Dreieck ABC kann in A einen spitzen Winkel haben (wie I.) oder einen stumpfen Winkel (wie II.) I. II.
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Und dann gibt es natürlich noch rechtwinklige Dreiecke
Die sind aber eher langweilig, weil hier die Behauptung sowieso gilt
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Betrachten wir jetzt also den zweiten Fall
II.
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Wie bei I. erhalten wir durch Ziehen des Durchmessers CJ ein zweites Dreieck BJC
Der Winkel in B beträgt wiederum 90° II.
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Wie bei I. erhalten wir durch Ziehen des Durchmessers CJ ein zweites Dreieck BJC
Der Winkel in B beträgt wiederum 90° In einem eingeschriebenen Viereck ergänzen sich die gegenüberliegenden Winkel zu 180° II.
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Wie bei I. erhalten wir durch Ziehen des Durchmessers CJ ein zweites Dreieck BJC
Der Winkel in B beträgt wiederum 90° Daher gilt: II.
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Wir wissen also bisher:
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Wir wissen also bisher:
Für I.:
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Wir wissen also bisher:
Für I.: Für II.:
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Wir wissen also bisher:
Für I.: Für II.: Für I. und II.: da
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Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ?
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Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ?
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Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ?
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Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ?
Da sinJ = sinA gilt auch:
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Analog zu A gilt natürlich auch:
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Analog zu A gilt natürlich auch:
und
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Einfaches Umformen liefert aus
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Einfaches Umformen liefert aus
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Einfaches Umformen liefert aus
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Einfaches Umformen liefert aus
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Es gilt also: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R
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Es gilt also: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R
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Es gilt also: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R
Und das wollten wir ja beweisen.
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2.) Beh.:
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Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:
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Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:
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Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:
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Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:
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Außerdem wissen wir:
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Außerdem wissen wir:
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Außerdem wissen wir: und setzen dies ein in
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Und erhalten so
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Und erhalten so Und das können wir schreiben als
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Und erhalten so Und das können wir schreiben als Toll, was?
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3.) Der Satz von Ceva
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Der italienische Mathematiker Giovanni Ceva fand 1678 folgendes heraus:
Schneiden sich drei Ecktransversalen AX, BY, CZ eines Dreiecks in einem Punkt, dann gilt:
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Um dies zu beweisen, benutzen wir, dass für Dreiecke mit gleicher Höhe
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Um dies zu beweisen, benutzen wir, dass für Dreiecke mit gleicher Höhe
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Um dies zu beweisen, benutzen wir, dass für Dreiecke mit gleicher Höhe
und damit
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Betrachten wir nun folgendes Dreieck
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Betrachten wir nun folgendes Dreieck
Und fügen eine Ecktransversale AX ein
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Dann erhalten wir: einmal das Dreieck ABX mit
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Und gleichzeitig das Dreieck AXC mit
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Wir wissen, dass und daher
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Wir wissen, dass und daher
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Wir wissen, dass und daher
beziehungsweise
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Fügen wir nun noch einen Punkt P ein
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Fügen wir nun noch einen Punkt P ein
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Dann erhalten wir
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Dann erhalten wir das Dreieck BXP mit dem Flächeninhalt B1
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Dann erhalten wir das Dreieck BXP mit dem Flächeninhalt B1
das Dreieck XCP mit dem Flächeninhalt B2
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Dann erhalten wir das Dreieck BXP mit dem Flächeninhalt B1
das Dreieck XCP mit dem Flächeninhalt B2 das Dreieck ABP mit dem Flächeninhalt C1
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Dann erhalten wir das Dreieck BXP mit dem Flächeninhalt B1
das Dreieck XCP mit dem Flächeninhalt B2 das Dreieck ABP mit dem Flächeninhalt C1 das Dreieck APC mit dem Flächeninhalt C2
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Analog zu
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Analog zu gilt nun
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Durch Umformungen erhalten wir
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Durch Umformungen erhalten wir
II.
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Durch Umformungen erhalten wir
II. I. – II.
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Durch Umformungen erhalten wir
II. I. – II.
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Durch Umformungen erhalten wir
II. I. – II. wobei und
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Es gilt also
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Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden,
dann gilt für die Seiten b und c das gleiche wie für a
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Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden,
also
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Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden,
also
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Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden,
also
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Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden,
also
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Zurück zur Behauptung
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Zurück zur Behauptung setzen ein: , und
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Zurück zur Behauptung setzen ein: , und und erhalten
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Zurück zur Behauptung setzen ein: , und und erhalten w.z.b.w.
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Das gilt natürlich nur für Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen
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Es gilt aber auch der Umkehrschluss, nämlich
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Es gilt aber auch der Umkehrschluss, nämlich:
Erfüllen drei Ecktransversalen die Gleichung so schneiden sie sich in einem Punkt
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Beweis:
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Beweis: Wir nehmen ein Dreieck mit zwei Ecktransversalen, die sich in P schneiden,
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Beweis: Wir nehmen ein Dreieck mit zwei Ecktransversalen, die sich in P schneiden, dann gibt es nur eine Ecktransversale durch C, die ebenfalls durch P geht. Diese schneidet sich mit c in Z´
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Beweis: Damit erfüllt Z´ die Bedingungen für die Gleichung
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Beweis: Damit erfüllt Z´ die Bedingungen für die Gleichung Da aber unsere Voraussetzung ist, folgt daraus, dass Z und Z´ zusammenfallen. Daher schneidet CZ die anderen Ecktransversalen in P.
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Beweis: Damit erfüllt Z´ die Bedingungen für die Gleichung Da aber unsere Voraussetzung ist, folgt daraus, dass Z und Z´ zusammenfallen. Daher schneidet CZ die anderen Ecktransversalen in P. Fertig!!!
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