Karl Erich Wolff Fachbereich Mathematik der Fachhochschule Darmstadt Ernst-Schröder-Zentrum für Begriffliche Wissensverarbeitung Forschungsgruppe Begriffsanalyse.

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1 Karl Erich Wolff Fachbereich Mathematik der Fachhochschule Darmstadt Ernst-Schröder-Zentrum für Begriffliche Wissensverarbeitung Forschungsgruppe Begriffsanalyse der Technischen Universität Darmstadt Forschungszentrum Begriffliche Wissensverarbeitung Von der Geometrie zur begrifflichen Analyse von Raum und Zeit

2 Gliederung 1 Von der Geometrie zur Formalen Begriffsanalyse 2 Begriffsverbände als Wissensräume 3 Eine begrifflich-granulare Raum-Zeit-Objekt-Theorie

3 Die Pickert-Ebene

4 Geometrische Grundbegriffe Günter Pickert: Analytische Geometrie (Das Vorwort zur 1. Auflage wurde im Sommer 1952 geschrieben: Herzlichen Glückwunsch zum 50.!!!) Seite 1: Unter einem Punkt wollen wir uns vorläufig eine ganz grob gekennzeichnete Stelle im Raum vorstellen und unter einem Vektor eine Verschiebung der Dinge im Raum... Seite 2: Die Grundregeln nennt man Axiome.... Aus ihnen werden dann alle geometrischen Sätze durch rein logische Schlüsse hergeleitet.

5 Probleme Wie beschreibt man eine Stelle im Raum tatsächlich? Welche Beziehung hat die Granularität einer groben Beschreibung zur einer ganz präzisen? Welche Rolle spielen die Dinge, die durch Vektoren verschoben werden? Warum werden Vektoren auf Punkte und nicht auf Dinge angewendet? Was haben Vektoren mit Bewegung und Zeit zu tun? Wie kann man die starken Regularitätsbedingungen, die in den Axiomen der affinen Räume stecken, verallgemeinern? (z.B. direkte Produkte von Ketten) Wie hängt die klassische Logik mit der Realität bzw. deren Repräsentationen zusammen?

6 Realität und Repräsentation Realität ? Raum ? Zeit ? Zeitpunkt ? Zustand ? Transition ? Objekt ? Granularität ?

7 Philosophische Kategorientheorien Aristoteles: 384 - 322 10 Kategorien: Substanz, Quantität, Qualität, Relation, Wo, Wann, Lage, Haben, Wirken, Leiden Immanuel Kant: 1724 – 1804 12 Kategorien in 4 Klassen: Quantität, Qualität, Relation, Modalität (mit je 3 Kategorien) Charles Sanders Peirce: 1839 – 1914 3 Kategorien: Firstness, Secondness, Thirdness

8 Aristoteles: Raum – Zeit – Objekt Im Band 6, Buch III – VI untersucht Aristoteles: Aristoteles Bewegung, Wechsel Kontinuum, Unendlichkeit Stelle, leere Stelle fester Körper, Objekt Zeit, Zeitpunkt (Zustand)

9 Präzision und Granularität Aristoteles (Band. 6, Buch VI, S.163): In der Zeit, in welcher es sich bewegt, und zwar der unmittelbaren, nicht über (Bewegung) in einem ihrer Teile vermittelt, kann das Bewegte unmöglich im genauen Sinne an einer bestimmten Stelle sein.

10 Immanuel Kant: Raum und Zeit Kritik der reinen Vernunft, Band 2, Transzendentale Ästetik: Immanuel Kant Raum und Zeit sind: nicht empirisch, notwendig reine Anschauungen a priori unendliche Größen Zeit: hat nur eine Dimension Form des inneren Sinnes, d.i. des Anschauens unserer selbst und unsers innern Zustandes.

11 Immanuel Kant: Bewegung Kritik der reinen Vernunft, Band 2, Transzendentale Ästetik: Transzendentale Erörterung des Begriffs der Zeit: Hier füge ich noch hinzu, daß der Begriff der Veränderung und, mit ihm, der Begriff der Bewegung (als Veränderung des Orts) nur durch und in der Zeitvorstellung möglich ist: daß, wenn diese Vorstellung nicht Anschauung (innere) a priori wäre, kein Begriff, welcher es auch sei, die Möglichkeit einer Veränderung, d.i. einer Verbindung kontradiktorisch entgegengesetzter Prädikate (z.B. das Sein an einem Orte und das Nichtsein eben desselben Dinges an demselben Orte) in einem und demselben Objekte begreiflich machen könnte.

12 C. S. Peirce: Pragmatismus, Semiotik und Logik C. S. Peirce Pragmatismus: als philosophische Methode zur begrifflichen Klärung von Bedeutungen von Handlungen durch Verbindung mit den möglichen Konsequenzen Semiotik: Zeichentheorie zur Repräsentation und Kommunikation Logik: Relationenlogik Existential Graphs 1839 – 1914

13 Ernst Schröder (1841 - 1902): Algebra der Logik Vorlesungen über die Algebra der Logik 3 Bände (1890/91/95): Mengenkalkül Aussagenkalkül Logik der Relative (Relationslogik)

14 Einsteins Fußnote zur Granularität Albert Einstein: Zur Elektrodynamik bewegter Körper Annalen der Physik 17 (1905): 891-921 Fußnote auf S. 893: Die Ungenauigkeit, welche in dem Begriff der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse an (annähernd) demselben Orte steckt und gleichfalls durch eine Abstraktion überbrückt werden muß, soll hier nicht erörtert werden.

15 Wissensverarbeitung benötigt eine Theorie mehrstelliger Relationen An einer solchen Theorie wird zur Zeit in vielen Bereichen theoretisch und praktisch gearbeitet: Conceptual Graphs Description Logic Reduktionstheorie von Burch: n 3 Datenbanktheorie (n = 3) Begriffliche Wissensverarbeitung 3 2

16 Begriffliche Wissensverarbeitung 1982: Einführung durch Prof. Dr. Rudolf Wille Mathematisierung des Begriffs Begriff Visualisierung begrifflicher Hierarchien Datenanalyse Begriffliche Skalierungstheorie Begriffliche Wissensakquisition Kontextuelle Logik Begriffliche Fuzzy-Theorie Begriffliche Zeitsysteme Rudolf Wille

17 Ein klassisches Beispiel Aristoteles

18 Formale Kontexte und Begriffsverbände Promotion vor Ende 18271845188419211938 Pickert Hasse Hensel Kronecker Dirichlet 1938 Hasse Hensel Kronecker Dirichlet Pickert 1921 1884 1845 1827 Günter Pickert und seine Doktor-Vorväter:

19 Begriffliche Konstruktion der reellen Zahlen Der Begriffsverband des Kontextes (Q,Q, ) ist der vollständige Verband der reellen Zahlen inclusive plus und minus Unendlich.

20 011DF SELBSTIDEALVATERMUTTER 1 rational denkend 2 emotional 2325 3 ehrlich 4 unehrlich 1223 5 optimistisch 6 pessimistisch 5135 7 interessiert 8 desinteressiert 5223 9 flexibel 10 gehemmt 5133 11 materialistisch 12 idealistisch 5542 13 nicht modebewußt 14 modebewußt 2225 15 lebensfroh 16 depressiv 6134 17 zielbewußt 18 unsicher 5234 19 zwanglos 20 zwanghaft 4223 Daten einer Magersuchtpatientin

21 Der abgeleitete Kontext 011D2FXSELBSTIDEALVATERMUTTER 1 rationalX X 2 emotional X 3 ehrlichXXX 4 unehrlich 5 optimistisch X 6 pessimistischX X 7 interessiert XX 8 desinteressiertX 9 flexibel X 10 gehemmtX 11 materialistisch X 12 idealistischXX 13 nicht modebewußt XXX 14 modebewußt X 15 lebensfroh X 16 depressivX 17 zielbewußt X 18 unsicherX 19 zwanglos XX 20 zwanghaft

22 Der Begriffsverband der Familie

23 Familie und Bekannte: 1. Zeitpunkt

24 Familie und Bekannte: 4. Zeitpunkt

25 Begriffliche Systemtheorie Probleme in der Mathematischen Systemtheorie: Was ist ein System? Wie sollte man allgemein die Zeit beschreiben? Was ist ein Zustand? Raum – Zeit – Kontinuum versus diskrete Phänomene? Was ist ein Gegenstand? Was ist ein Teilsystem?

26 Zwei Zitate: Liu: (General Systems Theory: A Mathematical Approach. 1999) There might not exist an ideal definition for general systems, upon which a general systems theory could be developed so that this theory would serve as the theoretical foundation for all approaches of systems analysis, developed in various disciplines. Zadeh: (The Concept of State in System Theory. 1964)To define the notion of state in a way which would make it applicable to all systems is a difficult, perhaps impossible, task. In this chapter, our modest objective is to sketch an approach that seems to be more natural as well as more general than those employed heretofore, but still falls short of complete generality.

27 Begriffliche Zeitsysteme Hauptideen: Zustände als formale Begriffe definieren Systemdefinition: skalierter mehrwertiger Kontext Zeitobjekte einführen Zerlegung in Zeit- und Raum-Merkmale Begriffliche Skalierung als Granularitätstheorie Einführung von Situations- und Zustandsräumen Objekte und Teilsysteme Aktuelle Objekte Transitionen Lebenslinien

28 Zu jeder Stunde: Temperaturen: Aussen Raum 2 Raum 3 Vorlauftemperatur Ein Beispiel: Klimaanlage bei ROCHE Im Folgenden: Nur die ersten drei Tage

29 Die ersten drei Tage

30 Was ist ein Zustand dieses Systems? Derselbe Zustand in drei Situationen!

31 Die Außentemperatur

32 Ein Film im Situationenraum: 1. Tag

33 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 1. Tag

34 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 1. Tag

35 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 1. Tag

36 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 1. Tag

37 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 1. Tag

38 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 1. Tag

39 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

40 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

41 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

42 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

43 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

44 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

45 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

46 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

47 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

48 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

49 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

50 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

51 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

52 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 2. Tag

53 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 3. Tag

54 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 3. Tag

55 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 3. Tag

56 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 3. Tag

57 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 3. Tag

58 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 3. Tag

59 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 3. Tag

60 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 3. Tag

61 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 3. Tag

62 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 3. Tag

63 Die Außentemperatur Ein Film im Situationenraum: 3. Tag

64 Ein dreidimensionaler Situationenraum:

65 Ein dreidimensionaler Zustandsraum (grob skaliert)

66 Ein dreidimensionaler Zustandsraum (feiner skaliert)

67 Transitionen in begrifflichen Zeitsystemen In begrifflichen Zeitsystemen kann man unterscheiden zwischen Transitionen in verschiedenen Räumen, zum Beispiel: Transitionen zwischen Zuständen, Transitionen zwischen Situationen, Transitionen zwischen Zeitzuständen, Transitionen zwischen Phasen. Alle diese lassen sich erzeugen aus einer gemeinsamen Relation R aus Transitionen auf den Zeitobjekten.

68 Lebenslinien Transition: ( (g,h), (f(g), f(h) ) Lebenslinie f := {(g,f(g)) | g G }

69 Der Zustandsraum einer Familie (in der Sprache des Therapeuten Dr. N. Spangenberg)

70 Lebenslinien und Objekte Geburt Kopie Kooperation Kann ein Objekt in einem Zeitpunkt in zwei verschiedenen Zuständen sein? ?

71 Objekte als Untersysteme Für Objekte: Verboten! Jedes Objekt ist zu jedem Zeitpunkt in genau einem Zustand. Für Objektklassen: Erlaubt!?

72 Granulare Raum-Zeit-Objekt-Theorie Schema eines begrifflichen Zeitsystems mit Objekten g h Objekt 2 Objekt 1 g h Zeitteil TEreignisteil C ZeitskalenEreignisskalen vw K(C) K(T) Zeit-Zustände Zustände Situationen Gegenstandsbegriffe

73 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! karl.erich.wolff@t-online.de