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Veröffentlicht von:Ernst Strasburg Geändert vor über 10 Jahren
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 1 Begriff der Zufallsgröße Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt: Beispiele: Punkte beim Werfen zweier Würfel Zeit beim Warten auf den Bus Ja= 1 nein = 0 Formal Abbildung: Im Beispiel:
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 2 Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Sie ist definiert als. Im Beispiel:
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 3 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine Zufallsgröße definiert als Im Beispiel:
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 4 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen Werten. Dann sind der Erwartungswert und die Varianz wie folgt definiert:
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 5 Beispiel: Einfacher Würfel
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 6 Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen Für eine Zufallsvariable gilt (mit beliebigen Konstanten a und b):
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 7 Binomialverteilung: Idee Frage: Wenn man aus diesem Bestand zufällig n Tiere auswählt (mit Zurücklegen), wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß hiervon m Tiere erkrankt sind? insgesamt N Tieren davon sind M erkrankt und (N-M) nicht erkrankt Betrachtet wird ein Bestand mit
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 8 Binomialverteilung: Formal Frage: ist Zufallsvariable mit möglichen Realisierungen Dann gilt:
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 9 Binomialverteilung: Definition Die Zufallsvariable der Summe aus n unabhängigen 0-1-Variablen, heißt binomial-verteilt mit Parametern n und P, kurz X~Bin(n, P) Es gilt
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 10 Binomialkoeffizient: Definition Beispiel Die Größe heißt Binomialkoeffizient.
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 11 Binomialverteilung: Anwendungen krank vs. gesund schwarzbunt vs. braun Niedersachsen vs. Bayern Grenzwert überschritten vs. unterschritten Versuch war erfolgreich vs. nicht erfolgreich Die Binomialverteilung kann stets angewendet werden, wenn dichotome bzw. binäre, d.h. nomial skalierte Merkmale mit nur zwei Merkmalsausprägungen vorliegen
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 12 Binomialverteilung: Beispiel Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10 gezogene Stichprobe n = 5 Hormonuntersuchung bei Kälbern etc.
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 15 Binomialverteilung: Eigenschaften Anzahl der erwarteten erkrankten Tiere E(X) = n P Beispiel: E(X) = 5 0.1 = 0.5 Varianz Var(X) = n P (1-P) Beispiel: Var(X) = 5 0.1 0.9 = 0.45
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 16 Stetige Zufallsgrößen Darstellung durch Dichtefunktion f
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 17 : Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen b
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 18 ab Stetige Gleichverteilung
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 19 Stetige Gleichverteilung für Beschreibung: X ist eine Größe zwischen a und b, kein Punkt wird bevorzugt Beispiel: a=0, b=10, Wartezeit auf S-Bahn
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 20 Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen Ist stetig mit Dichtefunktion, so definiert man:
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 21 Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b):
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 22 Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern, kurz X~N, falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt: Erwartungswert Varianz Normalverteilung: Definition
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 23 Normalverteilung
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 24 Normalverteilung Beschreibung: Glockenkurve
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 25 Anwendung der Normalverteilung Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodell in vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei Metrische Größen einer Population Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen Natürliche Variabilität Messfehler
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 26 Schwankungsbereiche der Normalverteilung
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 29 Beispiel zur Normalverteilung Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen: Studie: Judit Zapirain Gastón et al. Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 30 Quantile der Normalverteilung: Beispiel P (X > 20) P (5 < X < 20) P (-2 < X < 15) Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit =10 und =5. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
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