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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 1 Begriff der Zufallsgröße Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt:

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Präsentation zum Thema: "Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 1 Begriff der Zufallsgröße Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt:"—  Präsentation transkript:

1 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Begriff der Zufallsgröße Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt: Beispiele: Punkte beim Werfen zweier Würfel Zeit beim Warten auf den Bus Ja= 1 nein = 0 Formal Abbildung: Im Beispiel:

2 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Sie ist definiert als. Im Beispiel:

3 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine Zufallsgröße definiert als Im Beispiel:

4 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen Werten. Dann sind der Erwartungswert und die Varianz wie folgt definiert:

5 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel: Einfacher Würfel

6 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen Für eine Zufallsvariable gilt (mit beliebigen Konstanten a und b):

7 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Binomialverteilung: Idee Frage: Wenn man aus diesem Bestand zufällig n Tiere auswählt (mit Zurücklegen), wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß hiervon m Tiere erkrankt sind? insgesamt N Tieren davon sind M erkrankt und (N-M) nicht erkrankt Betrachtet wird ein Bestand mit

8 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Binomialverteilung: Formal Frage: ist Zufallsvariable mit möglichen Realisierungen Dann gilt:

9 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Binomialverteilung: Definition Die Zufallsvariable der Summe aus n unabhängigen 0-1-Variablen, heißt binomial-verteilt mit Parametern n und P, kurz X~Bin(n, P) Es gilt

10 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Binomialkoeffizient: Definition Beispiel Die Größe heißt Binomialkoeffizient.

11 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Binomialverteilung: Anwendungen krank vs. gesund schwarzbunt vs. braun Niedersachsen vs. Bayern Grenzwert überschritten vs. unterschritten Versuch war erfolgreich vs. nicht erfolgreich Die Binomialverteilung kann stets angewendet werden, wenn dichotome bzw. binäre, d.h. nomial skalierte Merkmale mit nur zwei Merkmalsausprägungen vorliegen

12 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Binomialverteilung: Beispiel Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10 gezogene Stichprobe n = 5 Hormonuntersuchung bei Kälbern etc.

13 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

14 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

15 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Binomialverteilung: Eigenschaften Anzahl der erwarteten erkrankten Tiere E(X) = n P Beispiel: E(X) = = 0.5 Varianz Var(X) = n P (1-P) Beispiel: Var(X) = = 0.45

16 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Stetige Zufallsgrößen Darstellung durch Dichtefunktion f

17 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin : Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen b

18 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin ab Stetige Gleichverteilung

19 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Stetige Gleichverteilung für Beschreibung: X ist eine Größe zwischen a und b, kein Punkt wird bevorzugt Beispiel: a=0, b=10, Wartezeit auf S-Bahn

20 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen Ist stetig mit Dichtefunktion, so definiert man:

21 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b):

22 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern, kurz X~N, falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt: Erwartungswert Varianz Normalverteilung: Definition

23 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Normalverteilung

24 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Normalverteilung Beschreibung: Glockenkurve

25 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Anwendung der Normalverteilung Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodell in vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei Metrische Größen einer Population Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen Natürliche Variabilität Messfehler

26 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Schwankungsbereiche der Normalverteilung

27 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

28 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

29 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel zur Normalverteilung Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen: Studie: Judit Zapirain Gastón et al. Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten

30 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Quantile der Normalverteilung: Beispiel P (X > 20) P (5 < X < 20) P (-2 < X < 15) Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit =10 und =5. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:


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