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Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 1 Spezielle Tests Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Vergleich zweier Anteilswerte.

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Präsentation zum Thema: "Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 19.1.2006 1 Spezielle Tests Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Vergleich zweier Anteilswerte."—  Präsentation transkript:

1 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Spezielle Tests Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Vergleich zweier Anteilswerte Test auf einen Mittelwert (Ein-Stichproben Gauss bzw. t-Test) Vergleich zweier Mittelwerte (t-Test)

2 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Test auf einen Anteilswert (Binomialtest) Beispiel: Untersucht werden soll ein Präparat zur Rückbildung von Tumoren Dabei: Weiterentwicklung des Präparats bei Rückbildung in mindestens 40% der Fälle H 0 : 40% H 1 : > 40% : Anteil der Fälle, in denen sich der Tumor zurückbildet Erfolgswahrscheinlichkeit

3 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Exakter Binomialtest Y: Anzahl der Erfolge Lehne H 0 zugunsten von H 1 ab, falls Y > c Berechnung des kritischen Wertes Hier: = 0.05, H 0 : 40% vs. H 1 : > 40% n = 10: c = 7 n = 20: c = 12 n = 100: c = 48

4 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Berechnung des Fehlers 2. Art Signifikanzniveau: = 0.05, =P(H 0 wird beibehalten | H 1 ) :wahre Erfolgswahrscheinlichkeit 1- :Teststärke (Power) n = 10: = 0.45 = 0.97 = 0.6 = 0.83 = 0.8 = 0.32 n = 20: = 0.45 = 0.94 = 0.6 = 0.58 = 0.8 = 0.03 n = 100: = 0.45 = 0.75 = 0.6 = 0.01 = 0.8 = 0.000

5 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beachte : Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art abhängig von wahrer Erfolgswahrscheinlichkeit, d.h. der Abweichung von H 0 Stichprobenumfang Für große N: Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximativer Binomialtest

6 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Vergleich zweier Anteilswerte Beispiel: Verglichen werden soll ein neues Präparat zur Rückbildung von Tumoren mit einem Standardpräparat. 1 : Erfolgswahrscheinlichkeit Standardpräparat 2 : Erfolgswahrscheinlichkeit neues Präparat Zweiseitiger Test: H 0 : 2 = 1 vs. H 1 : 2 1 Randomisierte Studie mit je n = 30 für Standardpräparat und m=30 für neues Präparat.

7 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Ergebnis wird in Form einer Vierfeldertafel dargestellt: Erfolgsanteile: Erfolgkein ErfolgSumme Standardpräparat neues Präparat

8 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Es gibt 2 Möglichkeiten zur Berechnung der Testgröße: 1. Verwendung des approximativen Binomialtests. Testgröße Z ist approximativ N(0,1)-verteilt:

9 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Im Beispiel: Z = 1.31 Kritischer Wert (zweiseitig) für α=0.05 ist Also |Z| < Damit kann H 0 nicht abgelehnt werden! 2. Möglichkeit (äquivalent zu Möglichkeit 1). H 0 ist äquivalent zur Hypothese, dass die Merkmale Erfolg und Präparat unabhängig sind! Berechne Pearsons Chi-Quadrat (siehe Vorlesung vom !) und führe einen Chi-Quadrat-Test durch. Im Beispiel:

10 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

11 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Es gilt: Deshalb sind beide Möglichkeiten äquivalent. Bemerkungen: 1. Bei kleinen Stichprobenumfängen sollte der exakte Test nach Fisher verwendet werden. 2. Der obige Test lässt sich auf einseitige Fragestellungen übertragen, z.B. H 0 : 1 2 vs. H 1 : 1 < 2

12 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Test auf einen bestimmten Mittelwert Beispiel: Ist Mittelwert eines Laborparameters in behandelter Population größer als Standardwert 0 = 15.5? Gauss-Test: Hypothesen: H 0 : 0 vs. H 1 : > 0 Annahme: Laborparameter normalverteilt mit Standardabweichung = 2.0 (bekannt) Daten: y 1, …, y n mit Mittelwert Testvorschrift: Lehne H 0 ab, falls c c = 0 + z 1- x für = 0.05 bzw. 1.64

13 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin In der Praxis ist die Annahme bekannter Streuung häufig unrealistisch Schätzung der Streuung aus den Daten t-Test (Ein-Stichproben-Fall) Hypothesen: H 0 : 0 vs. H 1 : > 0 Annahme: Laborparameter normalverteilt Daten: y 1, …, y n mit Lehne H 0 ab, falls T > t 1- (n-1) t 1- (n-1): (1-)-Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden

14 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Daten aus dem Beispiel: t-Test: = 0.05 t 0.95 (10) = > 1.81 H 0 wird abgelehnt p-Wert: Gauss-Test: Annahme = 5 = > H 0 wird abgelehnt

15 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Bemerkungen: Häufig wird die zweiseitige Fragestellung verwendet. Testvorschrift (Gauss-Test) Lehne H 0 ab, falls Bei größeren Stichprobenumfängen (n 30) sind t-Test und Gauss-Test praktisch identisch. Bei größeren Stichprobenumfängen (n 30) ist die Normalverteilungsannahme nicht erforderlich. Das Auftreten von Ausreißern kann zu falschen Testentscheidungen führen.

16 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Vergleich zweier Mittelwerte Beispiel:Vergleich zweier Futtermittel Zielgröße:Gewichtszunahme 2 unabhängige Stichproben (jeweils n = 6) Futtermittel A: 22, 21, 18, 16, 22, 17 Futtermittel B: 20, 22, 17, 13, 17, 18 1 : Mittelwert der Gewichtszunahme durch Futtermittel 1 2 : Mittelwert der Gewichtszunahme durch Futtermittel 2 Fragestellung: Gibt es Unterschiede zwischen den Futtermitteln?

17 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Zwei-Stichproben t-Test Annahme: Unabhängige normalverteilte Stichproben mit gleicher Varianz Hypothesen: Teststatistik: Lehne H 0 ab, falls

18 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Im Beispiel: t = Kritischer Wert: < 2.28 H 0 wird nicht abgelehnt p-Wert:

19 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Zusammenfassung I (was Sie können müssen) Beide Möglichkeiten für Tests zum Vergleich zweier Anteilswerte (zweiseitige Fragestellung) Ein-Stichproben Gauss-Test und Ein-Stichproben t- Test (ein –und zweiseitige Fragestellung) Zwei-Stichproben t-Test (zweiseitige Fragestellung) Die kritischen Werte werden Ihnen vorgegeben

20 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Bestimmung der erforderlichen Tierzahl Allgemeines Vorgehen Exakter Binomialtest t-Test Fisher-Test zum Vergleich zweier Anteile

21 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Festlegung der wissenschaftlichen Fragestellung Typ der Studie: Orientierungsstudie Vergleichsstudie Äquivalenzstudie Festlegung der Hauptzielgrößen Nebenzielgrößen

22 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Festlegung der statistischen Auswertungsstrategie Häufig: Bestimmung des Stichprobenumfangs durch primäre Fragestellung Dazu sind folgende Angaben notwendig: Art des statistischen Tests -Fehler (meist 1% oder 5%) -Fehler (meist 0.2) Größe des nachzuweisenden Effekts

23 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Beispiel:Präparat zur Rückbildung von Tumoren Vergleichsstudie (mit Standardwert = 40%) Hauptzielgröße: Anteil der rückgebildeten Tumoren Testverfahren: Exakter Binomialtest H 0 : = 40% vs. H 1 : > 40% Biol. rel. Unterschied:d = 20%Punkte Signifikanzniveau: = 0.05 Fehler 2. Art: 0.20 Wahl des Stichprobenumfangs N: N = 20, = 60%, = 0.58 zu klein N = 100, = 60%, = 0.01 zu groß Wähle kleinstes N, dass 0.20 erfüllt N = 42, = 60%, = 0.197

24 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Bestimmung des Stichprobenumfangs beim t-Test Vergleich zweier Futtermittel (Daten aus Beispiel werden als Vorstudie verwendet) Typus:Vergleichsstudie Zielgröße:Gewichtszunahme Biol. rel. Unterschied:d = 2 Signifikanzniveau: = 0.05 Fehler 2. Art: = 0.2 Test: Annahme Streuung aus Vorstudie: = 3 Relevante Größe: Aus Tabelle (Bock, 1998): N = 74 Gruppengröße: n 1 = n 2 = 37

25 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Nötige Angaben zur Fallzahlberechnung Signifikanzniveau Fehler 2. Art biologisch relevante Differenz d Annahme zur Streuung Einige Werte für Stichprobenumfang N unter = 0.05, = 0.2 (zweiseitige Fragestellung Zwei-Stichproben t-Test) d/ n 1 = n

26 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Bestimmung der Stichprobenumfangs Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten Vergleich zweier Behandlungen Typus:Vergleichsstudie Zielgröße:Behandlungserfolg (Ja/Nein) Biol. rel. Untersch.:10% 80% 40% 60% Signifikanzniveau: = 0.05 Fehler 2. Art: = 0.2 Test: Aus Tabelle (Bock, 1998) Umfang pro Gruppe n 10% 80%n = 8 40% 60%n = 84

27 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Wichtig: Erforderliche Tierzahl ist in jedem Einzelfall neu zu bestimmen und zu begründen also: allgemeingültige Angaben von erforderlichen Tierzahlen nicht sinnvoll

28 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Zusammenfassung II (was Sie wissen müssen für den zweiseitigen t-Test) Für vorgegebene Wahrscheinlichkeiten für die Fehler 1.Art und 2.Art hängt der erforderliche Stichprobenumfang von dem nachzuweisenden Unterschied (der biologisch relevant sein sollte) und der Streuung ab Je kleiner der nachzuweisende Unterschied, desto größer muss der Stichprobenumfang sein (ceteris paribus) Je größer die Streuung, desto größer muss der Stichprobenumfang sein (ceteris paribus)

29 Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin Literaturhinweise: 1.Bock, J. (1998): Bestimmung des Stichprobenumfangs. R. Oldenbourg Verlag, München Wien 2.Cavalli-Sforza, L. (1969): Biometrie: Grundzüge biologisch- medizinischer Statistik. Gustav Fischer Verlag, Stuttgart 3.Fahrmeir, L., Künstler, R., Pigeot, I., Tutz, G. (2003): Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. Springer Verlag Berlin – Heidelberg 4.Lorenz, R.J. (1996): Grundbegriffe der Biometrie. 4. Auflage. Gustav Fischer Verlag, Stuttgart – New York 5.Mead, R., Curnow, R.N. (1983): Statistical Methods in Agriculture and Experimental Biology. Chapman and Hall, London – New York 6.www.stat.uiowa.edu/~rlenth/Powerwww.stat.uiowa.edu/~rlenth/Power


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