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Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil11 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik.

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Präsentation zum Thema: "Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil11 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik."—  Präsentation transkript:

1 Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil11 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

2 Mathematik für die Lebenswelt handhabbar machen

3 Fragestellungen aus Alltag und Arbeitswelt Welche Menge an Farbe benötige ich für das Streichen des Zimmers? Welche Menge an Sand darf auf den Hänger geladen werden? Kann dieser Felsblock noch von diesem Kran gehoben werden? … In der Realität grobe Schätzungen ohne Hilfsmittel (TR, FS, Stift, …) schnelle Ergebnisse zuverlässig Im Unterricht exakte Ergebnisse komplexe Lösungswege Vielzahl an Hilfsmitteln lange Lösungszeiten geringe Erfolgsquote Interpretationsprobleme Charakteristika der Bearbeitung

4 Wie kann Unterricht handhabbare Mathematik vermitteln?

5 1. Stärkere Gewichtung von Schätzen und Überschlagen Benötigte Werte für Berechnungen werden in Aufgaben nicht vorgegeben, sondern müssen mit einfachen Mitteln geschätzt werden –Schätzwerte gewinnt man durch Vergleich mit bekannten Stützpunktgrößen –Eine Reihe von Stützpunktgrößen müssen auswendig beherrscht werden (Allgemeinbildung!) –Auf zentrale Stützpunktgrößen wie Körpermaße (Handspanne, Schrittlänge, …) oder andere typische Größenrepräsentanten wie Tafel Schokolade für 100g, Tetrapack Milch für ein Liter bzw. 1 kg, etc. muss permanent zurückgegriffen werden Überschlägiges Rechnen wird nicht als exotisches Randthema in zwei Schulstunden abgehandelt, sondern durchgängig als Werkzeug in Sachaufgaben genutzt und trainiert 1. Stärkere Gewichtung von Schätzen und Überschlagen

6 Beispiel aus dem Musterquali Teil I Turmhöhe h gesucht –Körperhöhe eines Modells 1,85 m –Rest auf Etagenhöhe der Körperhöhe 60 cm –Etagenhöhe 2,45 m –Turmhöhe 5 2,5 m 12,5 m h Überschlag! Stützpunktgröße! Vergleich! 1. Stärkere Gewichtung von Schätzen und Überschlagen

7 2. Motivierende Aufgabenstellungen im Umfeld der Schule aufgreifen Kann dieser Sitzblock von einer Person getragen werden? Wie viele Personen benötigt man, um diese Tischplatte zu heben? 2. Motivierende Aufgabenstellungen im Umfeld der Schule

8 3. Zur Wahl günstiger Maßeinheiten anleiten 20 cm 40 cm 2 dm 4 dm = 64 dm³ = cm³ Volumen dm³ Volumen cm³ günstige Maßeinheit ungünstige Maßeinheit Fehleranfällig durch unnötig hohe Stellenzahl hohe Ergebniszuverlässigkeit 3. Wahl günstiger Maßeinheiten

9 Volumen der Platte dm Kantenlänge 9 dm h 3 dm V 240 dm³ G 99 dm² = 81 dm² Überschlag! Geeignete Maßeinheit Geeignete Maßeinheit günstige Maßeinheit günstige Maßeinheit 80 dm² ¼ m³ 3. Wahl günstiger Maßeinheiten

10 Masse der Platte V 240 dm³ ¼ m³ zu kompliziert! 3. Wahl günstiger Maßeinheiten

11 4. Stützpunkt-Relativ-Prinzip anwenden 1cm³ 1 g 1dm³ 1m³ 1 kg 1 t Holz 0,5 x Stein 2 x Eisen 8 x Wasser 8 kg 4 dm³ 1 t 2 m³ 1dm³ 8 kg 4. Stützpunkt-Relativ-Prinzip

12 Nun kann leicht geantwortet werden Kann dieser Sitzblock mit 64 dm³ von einer Person getragen werden? Wie viele Personen benötigt man, um diese Tischplatte mit 240 dm³ zu heben? …als Wasser 64 kg als Stein doppelt soviel also 130 kg Nö! …als Wasser 240 kg als Stein doppelt soviel also 500 kg Bei 50 kg Hebevermögen etwa 10 Personen 4. Stützpunkt-Relativ-Prinzip

13 Überprüfung der Praxistauglichkeit Hau! Ruck! Mathematik funktioniert! 4. Stützpunkt-Relativ-Prinzip

14 Was macht man bei komplizierteren Formen? 5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln

15 Vereinfachen und Verbildlichen: Kugelvolumen 5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln

16 Wenn die Masse der Kugel zum Kinderspiel wird… Durchmesser 1m Würfel V 1 m³ Kugel V 0,5 m³ Wasserkugel m 0,5 t Steinkugel m 1 t 5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln

17 Gold ist Luxus aber faszinierend 1cm³ 1 g 1dm³ 1m³ 1 kg 1 t Holz 0,5 x Stein 2 x Eisen 8 x Wasser V 0,5 dm³ Gold 20 x d 10cm Froschkönig 10 kg ! 5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln

18 Vereinfachung und Verbildlichung: Kreisfläche A Kreis ¾ A Umquadrat A Kreis = r² A Kreis 3,14 r² 3 r² 5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln

19 Vereinfachung und Verbildlichung: Zylindervolumen V Zylinder ¾ V Quader V Zylinder = r²h G Zylinder ¾ G Quader 5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln

20 Vereinfachung und Verbildlichung: Kegelvolumen V Kegel = V Zylinder V Kegel = r²h V Kegel ¼ V Quader ¾ V Umquader 5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln

21 Vereinfachung und Verbildlichung: Kugeloberfläche O Kugel = 4 r² = ½ O Würfel O Kugel = 4 A Kreis 4 ¾ A Quadrat O Kugel 3 A Quadrat 5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln

22 3

23 Wie kann Unterricht handhabbare Mathematik vermitteln? 1.Stärkere Gewichtung von Schätzen und Überschlagen 2.Motivierende Aufgabenstellungen im Umfeld der Schule 3.Wahl günstiger Maßeinheiten 4.Stützpunkt-Relativ-Prinzip 5.Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln

24 Warum sollte im Unterricht auch handhabbare Mathematik vermittelt werden? Freihalten des Arbeitsgedächtnisses von unnötig komplizierten Verfahren (Entlastungsaspekt) Befähigung zu den in Alltag und Arbeitswelt oft notwendigen Abschätzungen (Anwendungsaspekt) Wahrnehmung von Mathematik als hilfreiches, einfach zu bedienendes Werkzeug (Motivationsaspekt) Wachhalten mathematischer Begriffe in Alltagssituationen (Rückwirkungseffekt) Aufrechterhaltung für die Begriffsbildung wesentlicher Vorstellungen (Begriffsbildungsaspekt) Verstärkung der Motivation, sich mit inhaltlichen Fragen der Sachsituation auseinanderzusetzen (Umwelterschließungsaspekt)

25 Die goldene Kuppel des Felsendoms Der Felsendom (im Sinne von Felsenkuppel قبة الصخرة qubbat as-sachra) ist das wohl bekannteste Wahrzeichen Jerusalems …kuppelJerusalems …Der Durchmesser des Innenkreises beträgt 20,37 Meter. 1.Welche Oberfläche etwa hat die Kuppel? 2.Welche Masse an Gold würde für eine Blattgold- belegung etwa benötigt? 3.Welchem Goldvolumen würde das etwa entsprechen? Anspruchsvolle Aufgabe zum Selbsttest

26 Möglicher Schätzweg 1.Welche Oberfläche etwa hat die Kuppel? Oberfläche ½ (20m)² = 600 m² Daraus folgt: Für 600 m² sind 1200g nötig 2.Welche Masse an Gold würde für eine Blattgoldbelegung etwa benötigt? 3.Welchem (Kugel-) Volumen würde das etwa entsprechen? 1dm 1,2dm 1dm 1,2 kg Wasser misst 1,2 dm³; Für 1 m² sind 2 g nötig. 1dm 0,6cm 1dm Gold misst 1/20, also 60 cm³ Der Umwürfel der Goldkugel 120 cm³ = 125 d 5cm Workshop

27 Kongruenzabbildungen Propädeutisch: Abbildungen, die Figuren stets auf deckungsgleiche abbilden, heißen Kongruenzabbildungen –Frage: Wie bildet man eine Figur F1 auf eine deckungsgleiche Figur F2 ab? Bildfigur parallel Bildfigur zusätzlich gedreht gedreht Bildfigur liegt spiegelbildlich Bildfigur hat entgegengesetzten Drehsinn, liegt aber nicht spiegelbildlichentgegengesetzten Drehsinn –Antwort: Die Abbildung auf eine deckungsgleiche Figur gelingt stets allein durch Verschiebung, Drehung (mit Sonderfall Punktspiegelung), Achsenspiegelung oder Schubspiegelung!

28 Fachmathematisch: -Mögliche Definitionen: -Def 1.: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich heißt Kongruenzabbildung (Satz: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich ist immer auch geradentreu und winkelmaßtreu) -Def 2.: Eine Verkettung von Achsenspiegelungen heißt Kongruenzabbildung -Es lässt sich zeigen, dass jede längentreue Abbildung durch eine Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen ersetzt werden kann (Dreispiegelungssatz). Somit sind die beiden Definitionen äquivalent! -Eine Figur F2 heißt kongruent zur Figur F1, wenn F1 durch eine Kongruenzabbildung auf F2 abgebildet werden kann. -Die Hintereinanderausführung von zwei Achsenspiegelungen entspricht stets einer Drehung oder eine Verschiebung ( Drehsinn erhaltend/gerade ), die von drei Achsenspiegelungen stets einer Achsenspiegelung oder einer Schubspiegelung ( Drehsinn umkehrend/ungerade ) -Es gibt damit nur diese vier Typen von Kongruenzabbildungen -Hintereinanderausführungen mehrerer Kongruenzabbildungen können stets durch eine einzige ersetzt werden

29 Verkettung von Kongruenzabbildungen Wesentliches Argument ist die Drehsinnerhaltung –gg, uu liefert g, also Drehung oder Verschiebung –gu, ug liefert u, also Achsenspiegelung oder Schubspiegelung Verschiebung Verschiebung = Verschiebung Verschiebung Drehung = Drehung Verschiebung = Drehung Drehung = Verschiebung, falls die Summe beider Drehwinkel ganzzahliges Vielfaches von 360° ist = Drehung, andernfalls Achsenspiegelung Achsenspiegelung = = Verschiebung, falls die beiden Achsen parallel liegen = Drehung, um den doppelten Schnittwinkel der Achsen andernfalls

30 Symmetrie Symmetrie nennt man die Eigenschaft einer Figur bzw. eines Körpers, durch eine (von der Identität verschiedenen) Kongruenzabbildung auf sich selbst abgebildet zu werden. Zu jeder Kongruenzabbildung existiert eine eigene Form der Symmetrie. In der Ebene sind dies: –Achsenspiegelung Achsensymmetrie –Drehsymmetrie –Verschiebungs- bzw. Translationssymmetrie –Schubspiegelungssymmetrie

31 Allgemeinerer Symmetriebegriff z.B. in der Physik Allgemein sprechen wir von Symmetrie, wenn man ein Objekt bzw. ein physikalisches Gesetz einer bestimmten Operation unterwerfen kann und es danach dieselbe Gestalt hat bzw. auf dieselben Resultate führt wie zuvor. Die in den Gesetzen erhaltenen Symmetrieeigenschaften erkennt man also dadurch, daß die entsprechenden Gleichungen und damit die durch sie beschriebenen Vorgange invariant gegenüber bestimmten Symmetrieoperationen sind". Bethge. K., Schröder. U. E., 1991, Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen, Darmstadt. (S.20)

32 Achsensymmetrie (bzw. analog: Ebenensymmetrie im Raum) Def.: Eine Figur F heißt achsensymmetrisch, wenn eine Achsenspiegelung existiert, die F auf sich selbst abbildet. Beispiele: –Figur F 1 und F 2 haben jeweils keine Symmetrieeigenschaft –F 1 liegt spiegelbildlich zu F 2 –F 1 ist Urbild und F 2 ist Bild der Spiegelung an a (bzw. umgekehrt) –Die Vereinigung von F 1 mit F 2 ergibt eine achsensymmetrische Figur F1F2 a

33 Wo findet man (näherungsweise) achsensymmetrische Objekte und warum haben sie diese Eigenschaft? Natur: –Tierwelt: Mensch, Huftiere, Katzen, Schmetterlinge, Vögel, Insekten,… –Pflanzenwelt: Blätter, Blüten, Früchte, Grobumriss von Bäumen, … –Geologie: Kristalle, Vulkane,… –Ursache: Fortbewegung erfolgt in eine Richtung; Orientierung nach links bzw. rechts gleichberechtigt, Flugfähigkeit, Symmetrisches Wachstum aufgrund symmetrischer Bedingungen…. Artefakte: –Alltagsgegenstände, Bauwerke, Kunstobjekte: Ursache: –Anpassung an vorhandene Symmetrie (z.B.: Brille, Stuhl, Toilette, …) –Vermeidung von Drehmomenten, Kräfteverteilung, Statik (z.B.: Schaufel, Rechen, Gewölbe…) –Ästhetik (Abbild von Mensch und Tier, Symbol für Ausgewogenheit und Ordnung)

34 Drehsymmetrie Def.: Man sagt: Eine Figur F hat eine n-zählige Drehsymmetrie, wenn eine Drehung um 360°/n (n>1) existiert, die F auf sich selbst abbildet. Beispiele: –Punktsymmetrische Figur –Drehsymmetrische Figur mit dreizähliger Drehsymmetrie vierzähliger Drehsymmetrie –Reguläres n-Eck –Dreht man eine Figur n-1-mal um 360°/n und vereinigt sie mit ihren n-1 Bildern, so entsteht eine Figur mit n-zähliger Drehsymmetrie

35 Verschiebungssymmetrie Verschiebungssymmetrische Figuren können nicht begrenzt sein Beispiele: –Gerade –Bandornamente –Parkette

36 Schüleraktivitäten und Veranschaulichungen zu Kongruenzabbildungen und Symmetrien Achsenspiegelung - Achsensymmetrie: –Klecksbilder –Umklappen einer Figur auf Folie –Einfach gefaltetes Papier schneiden durchstechen –Kohlepapier –Spiegel –Pantomime –Miraspiegel –Bauen z.B. mit Lego –Karopapier (Achslage parallel oder diagonal) –Konstruktion mit Zirkel Geodreieck –Finden (z.B. mit Spiegel) und Einzeichnen von Symmetrieachsen, –Ergänzen zu symmetrischer Figur

37 Drehung - Dreh- bzw. Punktsymmetrie: –Drehung einer Figur auf Folie –Konstruktion mit Zirkel Geodreieck –Doppelt gefaltetes Papier schneiden –Doppelspiegel –Erzeugung einer drehsymmetrischen Figur durch mehrfaches Abbildenmehrfaches Abbilden –Finden und Einzeichnen des Drehpunkts bzw. des Symmetriezentrums –Problematisieren: Riesenrad (Gondeln parallel) vs. Mond (Mondgesicht) Verschiebung - Verschiebungssymmetrie: –Verschiebung einer Figur auf Folie –Parallelverschiebung mit Geodreieck und Lineal –Erzeugung von Bandornamenten –Doppelt (mehrfach) parallel gefaltetes Papier schneiden –Finden und Markieren einer Elementarzelle eines Bandornaments


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