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3. Ergänzung: Nichtlineare Systeme und Chaos 3.1. Dynamische Systeme Literatur: z.B. R.C. Hilborn,,,Chaos and Nonlinear Dynamics, Oxford University Press.

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1 3. Ergänzung: Nichtlineare Systeme und Chaos 3.1. Dynamische Systeme Literatur: z.B. R.C. Hilborn,,,Chaos and Nonlinear Dynamics, Oxford University Press (1994) Literatur: z.B. R.C. Hilborn,,,Chaos and Nonlinear Dynamics, Oxford University Press (1994) Beispiele: Hamiltonsche Systeme: Temperatur, Druck, Strom, Spannung, Bevölkerungszahlen Aktiennotierungen Herz- und Atemfrequenz, Hirnströme Zustandsvektor des Systems: Phasenraum

2 Kontrollparameter des Systems: Parameter zur Steuerung der Systemdynamik Beispiele: Massen, Federkonstanten, Reibungskoeffizienten Sensitivität auf Nahrungsangebot, Wetterschwankungen,... Sensitivität auf Ölpreise, politische Krisen,... Stärke der äußeren Nervenreize,... Stochastische Systeme: Aus dem Zustandvektor zur Zeit t 0 folgt die Wahrscheinlichkeits- verteilung des Zustandvektors zu allen Zeiten t > 0:

3 Deterministische Systeme: Aus dem Zustandvektor zur Zeit t 0 folgt der Zustandvektors zu allen Zeiten t > 0: Störung durch Rauschen: streng deterministisch: Das System ist unempfindlich auf Rauschen: schwach deterministisch (potentiell chaotisch): andernfalls Beispiel: x x > 0 0

4 Kontinuierliche Systeme: Zeit-Variable t kontinuierlich Wichtigste Klasse:i.a. nicht-linear Diskrete Systeme: Zeit-Variable t k 0 diskret (Zählindex) Wichtigste Klasse: Autonome Systeme: Dynamik ohne explizite Zeitabhängigkeit z.B.

5 Diskretisierung kontinuierlicher Systeme a)System hat natürliche Periode T (z.B. Periode einer äußeren Anregung) b)Sukzessive Durchstoßpunkte durch (n 1)-dimensionale Hyperebene im Phasenraum Poincaré-Schnitt z.B.: t k sukzessive Zeitpunkte mit Poincaré-Abbildung:

6 Beispiel 1: Harmonischer Oszillator Kontrollparameter: Zustandsvektor: mit Systemgleichung: Der harmonische Oszillator ist als zweidimensionales kontinuierliches, lineares und autonomes System darstellbar

7 Beispiel 2: Getriebenes dissipatives Pendel Kontrollparameter: Zustandsvektor: mit Systemgleichung: Das getriebene dissipative Pendel ist als zweidimensionales kontinuierliches, nicht-lineares und nicht-autonomes System darstellbar

8 Beispiel 3: Getriebenes dissipatives Pendel (Alternative) Zustandsvektor: Systemgleichung: Das getriebene dissipative Pendel ist als dreidimensionales kontinuierliches, nicht-lineares und autonomes System darstellbar Kontrollparameter:

9 Beispiel 4: Populationsdynamik Zustandsvektor (1-dim): Populationszahl einer biologischen Spezies in der k-ten Generation ( k 0, 1, ) Systemgleichung: Die logistische Gleichung beschreibt ein eindimensionales diskretes, nicht-lineares System Kontrollparameter: Vermehrungsfaktor Dämpfungsparameter für Futtermangel Umbenennung: Logistische Gleichung (Verhulst-Gleichung)

10 3.2. Spezielle Phasenraumgebiete a)Fixpunkte: Ein Zustandsvektor heißt Fixpunkt wenn gilt: kontinuierliches System: bzw. äquivalent: diskretes System: bzw. äquivalent:

11 b)Attraktoren stabile Fixpunkte oszillatorisches Verhalten ii) Schwingfall Fixpunkt exponentielles Verhalten i) Kriechfall Fixpunkt c)Repulsoren instabile Fixpunkte ii) Schwingfall Fixpunkt i) Kriechfall Fixpunkt oszillatorisches Verhaltenexponentielles Verhalten

12 d)Sattelpunkte semistabile Fixpunkte Fixpunkt (n 1)-dimensionaler Grenztorus n-dimensionaler Phasenraum Poincaré-Schnitte: e)Grenzzyklen / Grenztori (bei nicht-linearen Systemen) Grenzzyklus 2-dim. Phasenraum instabiler Fixpunkt

13 f)Seltsame Attraktoren: stabile aber irreguläre (chaotische) Bewegung im Attraktionsgebiet. Poincaré-Schnitte sind verschlungene selbstähnliche Figuren nicht-ganzzahliger Dimension (Fraktale). Beispiel: Lorenz-Attraktor (3-dim.) 2-dimensionale Projektionen Experimentelle Realisierung dieses Systems Abschnitt

14 Poincaré-Schnitte seltsamer Attraktoren Ikeda-System Getriebenes Pendel mit Dämpfung

15 Selbstähnlichkeit des Poincaré-Schnitts des Henon-Attraktors

16 Einschub: Fraktale und gebrochene Dimensionen Beispiel: Koch-Kurven: Ersetze durch ad Infinitum 1 Koch-Schneeflocke C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 C5C5 1 Dimension: Überdeckung von C k mit N k Kästchen 1-dimensionale Figur: 2-dimensionale Figur: d-dimensionale Figur: Koch-Kurven:

17 3.3. Stabilität von Fixpunkten a)Diskrete Systeme: Fixpunkt, d.h. Jacobi-Matrix zu : Eigenwerte von A: 1, 2,, n zu Hauptachsen 1,..., n o.B.d.A.: i 0 ( i 0 nur für singuläre Wahl von Kontrollparametern ) Theorem: Ein Fixpunkt ist bzgl. der Richtung der Hauptachse i stabil, falls i 1, und instabil, falls i 1. Ein Fixpunkt ist insgesamt genau dann stabil, wenn gilt: Bemerkung:Im i 0 exponentielles Verhalten Im i 0 oszillatorisches Verhalten Beweis: Tafel

18 b)Kontinuierliche Systeme: Fixpunkt, d.h. Jacobi-Matrix zu : Eigenwerte von A: 1, 2,, n zu Hauptachsen 1,..., n o.B.d.A.: i 0 ( i 0 nur für singuläre Wahl von Kontrollparametern ) Theorem: Ein Fixpunkt ist bzgl. der Richtung der Hauptachse i stabil, falls Re i 0, und instabil, falls Re i 0. Ein Fixpunkt ist insgesamt genau dann stabil, wenn gilt: Bemerkung:Im i 0 exponentielles Verhalten Im i 0 oszillatorisches Verhalten Beweis: Tafel

19 3.4. Chaotische Trajektorien Betrachte Trajektorien, beschränkt auf endliche Bereiche (um Fixpkte.) chaotisch nicht chaotisch Grenztorus / Fixpunkt Eigenwerte: Lyapunov-Exponent (diskreter Fall) Lyapunov-Exponent (kontinuierl. Fall) Die Trajektorie ist chaotisch, wenn der maximale, entlang der Trajektorie gemittelte, Lyapunov-Exponent 0 Begründung: Tafel Nachbartrajektorie noch nicht,,zurückgefaltet,,klein

20 Praktische Berechnung des maximalen mittleren Lyapunov-Exponenten: Referenz- Trajektorie t0t0 d0d0 Anfangsauslenkung nicht entlang einer Hauptachse t 0 d1d1 d0d0 t 0 2 d2d2 d0d0 t 0 3 d3d3 d0d0 und möglichst kleinen Abstand d 0 im Phasenraum. Wähle möglichst kleines Zeit-Intervall diskret kontinuierlich Hardware:Rauscheinfluss noch klein Software: Rundungsfehler noch klein

21 Identität f(x) x x Anschauliches Beispiel (1): in Einheiten von a x0x0 x 1 F(x 0 ) x1x1 Fixpunkt Fixpunkt ist stabil (Attraktor) 3.5. Die Logistische Gleichung

22 Identität f(x) x x Fixpunkt x0x0 Attraktor Repulsor Anschauliches Beispiel (2): in Einheiten von a

23 Identität f(x) x x x0x0 Attraktor Repulsor Anschauliches Beispiel (3): in Einheiten von a

24 Repulsor x x0x0 Grenzzyklus Periode 2 Repulsor Anschauliches Beispiel (4): in Einheiten von a Identität f(x) x

25 x Anschauliches Beispiel (5): in Einheiten von a Repulsor Identität f(x) x Grenzzyklus Periode 4

26 x Chaotische Trajektorie (Seltsamer Attraktor) Anschauliches Beispiel (6): in Einheiten von a Identität f(x) x Repulsor

27 x Grenzzyklus Periode 5 Anschauliches Beispiel (7): in Einheiten von a Repulsor Identität f(x) x

28 Zusammenfassung der experimentellen Resultate: Feigenbaum-Diagramm xkxk a Fixpunkt 0 stabil Fixpunkt 0 instabil neuer stabiler Fixpunkt a1a1 a2a2 a3a3 a2a2 Hopf- Bifurkation Periode 2 Bifurkation Periode 4 Chaos stabile Inseln

29 Feigenbaumdiagramme Fraktale Definition: Eigenschaften: a1a1 a a2a2 a3a3 Feigenbaumkonstante Theorem (Universalität des Chaos): Für glatte Systemfunktionen ist unabhängig vom System und von der Wahl des variierten Kontroll- parameters. Die Feigenbaumkonstante ist transzendent und hat den Wert: Dies gilt sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Systeme.

30 Formale Untersuchung der logistischen Gleichung: Fixpunkte: ex. nur für a 1 Stabilität: 0 a 1 stabil a 3instabil stabil 3 a 4instabilinstabil

31 Bifurkationspunkt a 3 Betrachte iterierte Systemfkt. F F: x F a 2,8 x F a 3,0 x F a 3,2 y x stabil labil instabil Wendepunkt 2 neue stabile Fixpunkte Fixpunkt x Bifurkationspunkt: F (x ) 1 Wendepunkt in iterierter Systemfkt. 2 neue stabile Fixpunkte in F F mit gleicher Steigung in F F entstehen. F bildet diese aufeinander ab Periode 2 Nachrechnen!

32 y x x F F Zweite Bifurkation: 4 neue stabile Fixpunkte entstehen in F F F F Periode 4 Wendepunkte labil instabil etc. Beispiel für einen Weg ins Chaos über eine unendliche Bifurkationsfolge. Es gibt noch viele andere Wege!

33 Bifurkationsweg ins Chaos: Eine experimentelle Realisierung (Chaos-Generator) x2x2 v L RmRm CmCm C R U0U0 U UmUm nicht-linearer Schwingkreis Kontrollparameter Übungsaufgabe: Zeige

34 Umformulierung auf Systemgleichung: Dreidimensionales, nicht-lineares, autonomes, kontinuierliches System x2x2 v L RmRm CmCm C R U0U0 U UmUm

35 Labormessungen (T.L. 1998) n n n-te Bifurkation hohe Messgenauigkeit,,hohe Bifurkationsordnung

36 3.6. Der Lorenz-Attraktor T1 > T2T1 > T2 T2T2 Flüssigkeit Konvektionszellen T T T T X Strömungsgeschwindigkeit Y Z t Zeit Ra Rayleigh Zahl X, Y, Z, t Zahlen Vereinfachung der Navier-Stokes- Gleichung (nach Lorenz) Typische Werte der Kontrollparameter:,,Rayleigh-Zahl,,Prandtl- Zahl Standard

37 Fixpunkte und Stabilitätsanalyse (Nachrechnen!) Voraussetzung: p > b 1 Kritische Rayleigh-Zahl: X F Y F r 0 0 stabilinstabil 1 rkrk stabil instabil WärmeleitungKonvektion Turbulenz Chaos Einzugsbereiche der stabilen Fixpunkte schrunpfen Grenzzyklen, Periodenverdopplung mit sinkendem r bei großen r r k

38 Elektronische Realisierung des Lorenz-Systems (Analoge Rechenschaltung mit Operationsverstärkern) Mathematik Umrechnung auf physikalische Größen Physik Standardwerte : Zeitkonstante ( R C von Integratoren ) s 1, s 2 : Skalierungsfaktoren

39 Standardwerte UyUy , U x (0) U y (0) U z (0) 0,267 UxUx UxUx UzUz UzUz

40 3.7. Anhang: Über Operationsverstärker ( OpAmp ) a)Unendliche Verstärkung: mit d.h. U a endlich (nicht gesättigt) UaUa U U I I Der ideale Operationsverstärker U, U, U a gemessen gegen Erde U, U, U a U 0, U 0 U 0 Versorgungsspannung, typisch 15 V b)Leistungsfreiheit:

41 Gegenkopplung UaUa I 0 ZPZP Z1Z1 Z2Z2 ZnZn I1I1 I2I2 InIn U 0 U1U1 U2U2 UnUn IPIP Frequenzraum (Wechselstrom):Zeit-Darstellung:

42 a) Addierer UaUa I 0 RPRP R1R1 R2R2 RnRn I1I1 I2I2 InIn U 0 U1U1 U2U2 UnUn IPIP UaUa U1U1 U2U2 UnUn c1c1 c2c2 cncn Schaltsymbol

43 b) Integrierer UaUa I 0 C R1R1 R2R2 RnRn I1I1 I2I2 InIn U 0 U1U1 U2U2 UnUn IPIP Zeitkonstante (beliebig) UaUa U1U1 U2U2 UnUn Schaltsymbol r1r1 r2r2 rnrn

44 Initialisierung: UaUa I 0 C R1R1 R2R2 RnRn I1I1 I2I2 InIn U 0 U1U1 U2U2 UnUn IPIP U a (0) R R UaUa U1U1 U2U2 UnUn r1r1 r2r2 rnrn U a (0) t RC stationär, 0 symmetrischer Addierer für Initialisierungszeiten Physikalisch: Initialisierung bedeutet Aufladung des Kondensators mit Q C U a (0)

45 c) Spannungsfolger UaUa U 0 UiUi Anwendung: Koeffizientengeber (belastungsunabhängiger Spannungteiler) R UiUi UaUa RxRx R R x c Schaltzeichen UiUi UaUa

46 Belasteter Koeffizientengeber: unabhängig von R L R UiUi UaUa RxRx R R x RLRL ULUL R UiUi RxRx RLRL ULUL Schaltung ohne Spannungsfolger: abhängig von R L ( lastabhängig)

47 Nichtlineare Bauelemente basierend auf OpAmps Kombiniere OP-Verstärker mit Dioden, Transistoren,... ( nicht- lineare Strom-Spannungs-Kennlinie) unbeschränkte Möglichkeiten Beispiel 1: Vier-Quadranten-Multiplizierer UaUa U1U1 U2U2 k oft: Aus Multiplizierern ableitbar: Quadrierer, Dividierer, Radizierer Beispiel 2: Funktionsgeber UaUa UeUe f Typische Spezialbausteine: f abs, sign, sin, cos, tan, log, exp,...

48 Rechenschaltung für gedämpfte Schwingungen Problem: Gegeben: Wahl der Zeitkonstante: Zeit in Einheiten von : Einsetzen Zahl ohne Einheiten U, U, U Dimension einer Spannung

49 Realisierung als Rechenschaltung: U0U0 U

50 Die elektronische Differentialgleichung: U 1 U darstellbar mit dieser Schaltung Schwingfall aperiodischer Grenzfall Kriechfall


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