Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet

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1 Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet
Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 5. Vorlesung „Bionik I“ Bionik auf dem mathematischen Prüfstand Optimallösungen als Ergebnis der Evolution Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet

2 Der kubisch paraboloide Baumstamm

3 Materialminimierung:
Solarbetriebener CO2-Sammler P y 2 r Mast Form eines Kiefernstamms Materialminimierung: Theorie „Träger gleicher Festigkeit“

4 Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße

5 Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes
Arteriole Kleine Vene Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes Arterienzweig Kapillare Gewebe Vene Gefäßart Durchmesser D [mm] Anzahl Aorta 10 1 Große Arterien 3 40 Arterienäste 1 600 Arterienzweige 0,6 1800 Arteriolen 0,02 Kapillaren 0,008

6 z D Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen 10 1 0.1 5% 0.01 10 10 10
Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste 1 Arterienzweige Genauigkeit ! 0.1 + 5% - Arteriolen 0.01 Kapillaren 3 6 z 9 10 10 10 10 Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen

7 Mensch 10000 kJ Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung a b
Gehirnzellen Mensch kJ Beinmuskeln Armmuskeln Herzantrieb Blutkörperchen/s Blutneubildung a b Pumpleistung Herz [kJ] groß klein Neubildung Blut [kJ] klein groß

8 Qualitätsfunktion: p Gesetz von Hagen Poiseuille D Q

9 Minimierungsproblem:

10 Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion:
Die Gleichungen lassen sich elementar nach D0 und Di auflösen

11 Für vorgegebene Anfangswerte D0 und Q0 hängt der optimale Durchmesser eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab! Beispiel: D Q Q 1 = Q z

12 z D Bedingung für die Lösung:
Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste 1 Arterienzweige 0.1 + 5% - Arteriolen 0.01 Kapillaren 3 6 z 9 10 10 10 10 Bedingung für die Lösung: Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt.

13 Hydraulik des Hämatokrits

14 Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ?
Blutzellenvolumen Hämatokrit H = Gesamtvolumen v Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen a v Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? b

15 Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms
HMensch = 42 – 44% Hoptimal = 43,3% (mathematische Lösung) Zeit HKamel = 28% HSchaf = 32% Künstliche H-Werte HSchwein = 41% Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms

16 Optimaler Blutkörperchenstrom

17 Geometrie der Bienenwaben

18 Schlaue Gärtner b g g j g g v v Dumme Gärtner für b
Eingesparte Strecke Hinzugefügte Strecke g g j g g für v v

19 Zur “Mathematik” der Bienenwaben Am Boden der sechseckigen
Zellen der Bienenwabe sieht man die versetzt angeordneten Zellwände der Gegenseite durchscheinen.

20 Das Angrenzungsproblem
Gartenzaun Bienenwabe Das Angrenzungsproblem

21 Bienenwabe Zelle von Fejes Tóth
Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution

22 Eine Science-Fiction-Geschichte

23 Planet der Halslinge Alpha Tauri

24 Osmium Magnesium

25 Evolution auf dem extrasolaren Planeten

26 2204 Erdlinge

27

28 Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz
Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz !

29 S  L7/6 Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere
Theorie für minimales Gewicht S  L7/6

30 Theorie für minimales Trägergewicht
G  L7/6

31 Optimale Auslegung der Beinlingsarten auf dem extrasolaren Planeten
Euler Knickung l variabel Aus & Es kommen die Gleichungen hinzu:

32 Isometrie Allometrie Beltistometrie ( = gleich) Mit gleichem Maß
Was ist Allometrie ? Isometrie ( = gleich) Mit gleichem Maß Allometrie ( = anders) Mit anderem Maß Beltistometrie ( = bester) Mit bestem Maß

33 Beltistometrie Von der Zwergmaus zur Elenantilope
Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel

34 MAN-Schiffsdiesel mit 22 000 kW Leistung
Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung

35 Vergleich von Leistung und Gewicht:
Großdiesel für Kreuzfahrtschiff: Gewicht: 250 Tonnen Leistung: kW Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g Leistung: 0,99 kW Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel. Sie leisten zusammen kW. Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !

36 Ende