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Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 12.01.2007 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 12.01.2007 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603.

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1 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am Fr. 08:30-10:00 Uhr; R (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D Kassel Dr.-Ing. René Marklein Tel.: ; Fax: URL: URL:

2 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Potenzialfunktion (S. 159, CW, 6. Aufl.) Bestimmung der Feldstärke aus der Potenzialfunktion Orthonormale Basis, Einheitsvektoren: : senkrecht Eigenschaft: Kartesisches Koordinatensystem; Einheitsvektoren (vgl. Bild in Clausert & Wiesemann [2005] (3.13) Es gilt: differenzielles vektorielle Linienelement im Kartesischen Koordinatensystem

3 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V (3.13) Elektrisches Potenzial (Potenzialfunktion) (S. 160, CW, 9. Aufl.) Bestimmung der Feldstärke aus der Potenzialfunktion: Vollständiges Differenzial Skalarprodukt Relation Elektrischer Feldstärkevektor Koeffizientenvergleich

4 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V (3.15) Elektrisches Potenzial (S. 160, CW, 9. Aufl.) Bestimmung der Feldstärke aus der Potenzialfunktion: Feldstärkevektor Gradient: Gradient von : Endformel Beachte: Nur in der Elektrostatik (ES) und Elektroquasistatik (EQS) gültig! Der Gradient ist ein Operator, ein so genannter Differenzialoperator. Der Gradienten-Operator ist ein Vektor! Der Gradienten-Operator ist ein Differentialoperator in der Vektoranalysis! Vektoranalysis: grad = Gradient div = Divergenz rot = Rotation (3.14)

5 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Elektrisches Potenzial (S. 160, CW, 9. Aufl.) Bestimmung der Feldstärke aus der Potenzialfunktion: Gradient von Endformel zur Berechnung der elektrischen Feldstärke aus dem elektrischen Potenzial Interpretation: Der Gradient – grad – zeigt in die Richtung des stärksten (steilsten) Anstiegs. Damit zeigt der negative Gradient – grad – in die Richtung des stärksten (steilsten) Abstiegs.

6 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Elektrisches Potenzial (S. 160, CW, 9. Aufl.) Der Nabla-Operator: Der Nabla-Operator ist ein Vektor! Der Nabla-Operator ist ein Differentialoperator in der Vektoranalysis! Damit wird (Der Nabla-Operator im Kartesischen Koordinatensystem) Der (altgriechische) Name Nabla stammt von William Robertson Smith ( ), den die Form an eine antike Harfe erinnerte. Es gilt also Vektoranalysis: = Gradient = Divergenz x = Rotation

7 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.2: Elektrisches Potenzial und elektrische Feldstärke (S. 160, CW, 9. Aufl.) Gegeben: Elektrisches Potenzial Lösung: Gesucht: Elektrische Feldstärke?

8 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.2: Elektrisches Potenzial und elektrische Feldstärke (S. 160, CW, 9. Aufl.) Gegeben: Elektrisches Potenzial Lösung: Gesucht: Elektrische Feldstärke

9 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.2: Elektrisches Potenzial und elektrische Feldstärke (S. 160, CW, 9. Aufl.) Gegeben: Elektrisches Potenzial Lösung: Interpretation: Der Gradient – grad – zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs. Damit zeigt der negative Gradient - -grad – in die Richtung des stärksten Abstiegs. Gesucht: Elektrische Feldstärke

10 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.2: Elektrisches Potenzial und elektrische Feldstärke (S. 160, CW, 9. Aufl.) Gegeben: Elektrisches Potenzial Gesucht: Elektrische Feldstärke

11 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.2: Elektrisches Potenzial und elektrische Feldstärke (S. 160, CW, 9. Aufl.) Gegeben: Elektrisches Potenzial Gesucht: Elektrische Feldstärke

12 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.2: Elektrisches Potenzial und elektrische Feldstärke (S. 160, CW, 9. Aufl.) c = 1.0; v = -2:0.2:2; [x,y] = meshgrid(v); Phi = 2.0 * c * (x.^2 + y.^2); figure(1) pcolor(v,v,Phi); %shading flat; grid; colorbar; title('Phi = 2 * c * (x^2 + y^2), mit c = 1'); figure(2) colorbar; [px,py] = gradient(-Phi,.1,.1); contour(v,v,Phi,10); hold on; quiver(v,v,px,py); hold off; title('E = - grad Phi = - 2 * c * (x e_x + y e_y), mit c = 1'); grid; MATLAB-Programm Gegeben: Elektrisches Potenzial Gesucht: Elektrische Feldstärke

13 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.2: Elektrisches Potenzial und elektrische Feldstärke (S. 161, CW, 9. Aufl.) Gesucht: Elektrisches Potenzial Es folgt: Gegeben: Elektrische Feldstärke Feldlinie Integration von entlang einer Feldlinie

14 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.2: Elektrisches Potenzial und elektrische Feldstärke (S. 161, CW, 9. Aufl.) Es folgt: Integration von entlang einer Feldlinie Feldlinie Gesucht: Elektrisches Potenzial Gegeben: Elektrische Feldstärke

15 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.3: Richtung und Betrag des Gradienten (S. 161, CW, 9. Aufl.) auf einer Äquipotenzialfläche, entlang einer Äquipotenziallinie Im allgemeinen gilt: Damit muss also gelten: Feldlinie Äquipotenziallinie

16 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.3: Richtung und Betrag des Gradienten (S. 161, CW, 9. Aufl.) Feldlinie Äquipotenziallinie Bestimmungsgleichung für eine Feldlinie des elektrischen Feldstärkevektors

17 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.4: Wegunabhängigkeit vom Integral E-Punkt-ds: Lösung: Eine Probeladung q wird im Feld der Punktladung Q bewegt. Wie groß ist die Energieänderung? Bild Verschiebung der Probeladung q im Feld der Punktladung Q (vgl. Bild in Clausert & Wiesemann [Bd. 1, S. 162, 2005]) Mit der elektrischen Feldstärke der Punktladung Q folgt Für die Energieänderung gilt bei der Bewegung der Punktladung q im elektrischen Feld der Punktladung Q

18 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.4: Wegunabhängigkeit vom Integral E-Punkt-ds: … Lösung: ist der Zuwachs in r –Richtung (s. Bild 3.13) also dr Eine Probeladung q wird im Feld der Punktladung Q bewegt. Wie groß ist die Energieänderung? Bild Verschiebung der Probeladung q im Feld der Punktladung Q (vgl. Bild in Clausert & Wiesemann [Bd. 1, S. 162, 2005])

19 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 3.4: Wegunabhängigkeit vom Integral E-Punkt-ds: … Lösung: Ergebnis ist vom Weg unabhängig! Es hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab! Bild Verschiebung der Probeladung q im Feld der Punktladung Q (vgl. Bild in Clausert & Wiesemann [Bd. 1, S. 162, 2005])

20 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Die Erregung des elektrischen Feldes (S. 162, CW, 6. Aufl.) Die elektrische Flussdichte (alt: Verschiebungsdichte) (S. 162, CW, 6. Aufl.) Veraltete Bezeichnungen die im Buch verwendet werden: Aktuelle Bezeichnungen nach DIN 1324 Elektromagnetisches Feld... Zustandsgrößen... Materialgrößen Wichtiger Kommentar zum Buch von Clausert und Wiesemann:

21 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Die Erregung des elektrischen Feldes (S. 162, CW, 6. Aufl.) Die elektrische Flussdichte (alt: Verschiebungsdichte) (S. 162, CW, 6. Aufl.) Elektrische Feldstärke einer Punktladung Q Abhängigkeit vom Material Elektrische Flussdichte (alt: elektrische Verschiebungsdichte) (3.16) Die elektrische Flussdichte ist materialunabhängig: D f (ε) (3.4) Materialunabhängige Größe durch Multiplikation von mit : Ortsvektor Betrag (gibt die Länge an!) Einheitsvektor (gibt die Richtung an!) Z.B. für Punktladung: (3.17) Z.B. für Punktladung: Die elektrische Feldstärke ist materialabhängig: E = f (ε)

22 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Die elektrische Flussdichte (alt: Verschiebungsdichte) (S. 162, CW, 9. Aufl.) (3.4) Einheit von D ? Materialgleichung Einheit von ε ? (3.16) Elektrische Flussdichte einer Punktladung Q

23 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Die elektrische Flussdichte (alt: Verschiebungsdichte) (S. 163, CW, 9. Aufl.) Speziell: Material = Vakuum Permittivität des Vakuums = elektrische Feldkonstante (3.16) Allgemein gilt für isotrope Materialien: elektrische Feldkonstante (Permittivität des Vakuums) Relative Permittivität Permittivität

24 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Material Bakelit6 Bariumtitanat1000…4000 Bernstein2,8 Epoxidharz3,7 Fernsprechkabelisolation (Papier, Luft)1,6…2 Glas10 Glimmer8 Gummi2,6 Kautschuk2,4 Luft, Gase1 Mineralöl2,2 Papier, chlorophen.5,4 Papier, paraffin.4 Pertinax5 Polyäthylen2,3 Polystyrol2,5 Polyvinylchlorid (PVC)3,1 Porzellan5,5 Starkstromkabelisolation (Papier, Öl)3…4,5 Transformatorenöl2,5 Wasser80 Tabelle 3.1: Relative Permittivitäten (relative Dielektrizitätskonstanten) Bariumtitanat: ferroelektrisches Material, piezoelektrisch! piezoelektrische Sensoren piezoelektrische Aktoren

25 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Die elektrische Flussdichte (alt: Verschiebungsdichte) (S. 162, CW, 6. Aufl.) Materialgleichung: D zeigt immer in die gleiche Richtung wie E, nur der Betrag ändert sich (3.16) Isotrope Materialien Richtungsunabhängige Materialeigenschaften! z. B. Luft, Wasser... D kann in eine andere Richtung als E zeigen und der Betrag ändert sich Anisotrope Materialien Richtungsabhängige Materialeigenschaften! z. B. Kristalle, piezoelektrische Keramiken...

26 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Die elektrische Flussdichte (alt: Verschiebungsdichte) (S. 162, CW, 6. Aufl.) Calcit, auch Kalzit oder Kalkspat, ist ein sehr häufig vorkommendes Mineral aus der Mineralklasse der wasserfreien Carbonate ohne fremde Anionen Anisotrope Materialien -> Optik: Doppelbrechung am Calcit

27 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Die elektrische Flussdichte (alt: Verschiebungsdichte) (S. 162, CW, 9. Aufl.) Anisotrope Materialien: Piezoelektrisches Material Piezoelektrischer Ultraschallsensor Piezoelektrische Keramik: Pz27

28 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Die elektrische Flussdichte (alt: Verschiebungsdichte) (S. 162, CW, 9. Aufl.) Die elektrische Polarisation elektrische Polarisation Ableitung der elektrischen Polarisation als Funktion der elektrischen Feldstärke elektrische Flussdichte elektrische Flussdichte in Vakuum elektrische Polarisation im Material Vakuum:

29 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Der Gaußsche Satz der Elektrostatik (S. 163, CW, 9. Aufl.) Elektrische Flussdichte (Verschiebungsdichte) im Abstand r von einer Punktladung Q interpretiert als elektrischer Fluss umgestellt hier auf Kugelfläche

30 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Der Gaußsche Satz der Elektrostatik (S. 163, CW, 9. Aufl.) Elektrischer Teilfluss durch Flächenelement Teilfluss ist unabhängig vom Radius r … als Produkt von D und A

31 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Der Gaußsche Satz der Elektrostatik (S. 163, CW, 6. Aufl.) Wenn nicht senkrecht auf D gilt Bild Zur Herleitung von Gl. (3.20) (vgl. Bild in Clausert & Wiesemann [Bd. 1, S. 164, 2005]) beliebige Hüllfläche vergrößerte Darstellung

32 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Der Gaußsche Satz der Elektrostatik (S. 163, CW, 6. Aufl.) demnach nicht nur für Kugelfläche gültig! Hüllenintegral ( nach außen positiv) Grenzübergang Bild Zur Herleitung von Gl. (3.20) (vgl. Bild in Clausert & Wiesemann [Bd. 1, S. 164, 2005]) beliebige Hüllfläche vergrößerte Darstellung (3.20)

33 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Das elektrische Feld ist ein Quellenfeld, seine Quellen sind die elektrischen Ladungen! Hüllintegral, Oberflächenintegral, geschlossenes Flächenintegral ( zweidimensionales Integral ) … Zweifachintegral, Doppelintegral … … zwei Integralzeichen … Gaußscher Satz der Elektrostatik: Der elektrische Fluss der elektrischen Flussdichte durch eine beliebig geschlossene Fläche A ist gleich den von der Fläche eingeschlossenen Ladungen. Hüllfläche offen: Wenn die Hüllfläche nicht geschlossen ist: (3.21) Hüllfläche geschlossen: Wenn die Hüllfläche geschlossen ist gilt:

34 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Der Gaußsche Satz der Elektrostatik (S. 165, CW, 6. Aufl.) Berechnung der elektrischen Flussdichte um eine Punktladung direkt mit dem Gaußschen Satz. 1.Hülle wird als konzentrische Kugelschale zur Punktladung Q gewählt 2. Aus Symmetriegründen ist die elektrische Flussdichte D auf der Kugelschale überall gleich 3. Die elektrische Flussdichte steht senkrecht auf der Kugelfläche, liegt also auf der Kugelschale parallel zum Flächenvektor und zwar in radiale Richtung ( r – Richtung )

35 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Der Gaußsche Satz der Elektrostatik (S. 165, CW, 6. Aufl.) Nach D r aufgelöst: Kugeloberfläche einer Kugel mit dem Radius r

36 Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V Ende der Vorlesung


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