Einführung in die Systemtheorie

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1 Einführung in die Systemtheorie
Definition System: Ein in sich geschlossenes, geordnetes und gegliedertes Ganzes; Gesamtheit, Gefüge von Teilen, die voneinander abhängig sind, ineinander greifen oder zusammenwirken z.B. in der Physik Gesamtheit von Körpern, Feldern u.s.w. die voneinander abhängig sind und als Ganzes betrachtet werden z.B. Biologie z.B. Informationsübertragungssysteme z.B. Energieübertragungssysteme

2 Signals and Systems Signale und Systeme
Theorie Wissenschaftl., rein gedankliche Betrachtungsweise, Lehrmeinung Erkenntnis von gesetzlichen Zusammenhängen USA Signals and Systems Signale und Systeme

3 Aufgabenstellung Systemanalyse
Für ein gegebenes System wird bei gegebener Eingangssignalfunktion x(t) die Ausgangsfunktion y(t) gesucht. Hierzu ist das Übertragungsverhalten des Systems zu ermitteln! x(t) y(t) ? System

4 Aufgabenstellung Systemsynthese
Es ist ein System zu entwerfen, das für eine gegebene Eingangssignalfunktion eine gewünschte Ausgangssignalfunktion y(t) liefert x(t) y(t) System ?

5 Aufgabenstellung Systemidentifikation
Es ist für ein vorhandenes System durch geeignete Wahl der Eingangsgröße und Messen der Ausgangsgröße das Übertragungsverhalten des Systems zu ermitteln. x(t) y(t) System g(t)

6 Bezeichnungsweisen Übertragungsfunktion G(s)
Systemeigenschaft im Frequenzbereich H(s), T(s) in amerikanischer Literatur

7 Bezeichnungsweisen Eingangssignal x(t) Bezeichnung im Zeitbereich
X(s) Bezeichnung im Frequenzbereich Impulsantwort Systemeigenschaft im Zeitbereich g(t) Systemeigenschaft im Frequenzbereich G(s) Ausgangssignal y(t) Beschreibung im Zeitbereich Y(s) Beschreibung im Frequenzbereich

8 Mathematisches Modell
Das System wird durch ein mathematisches Modell beschrieben bei kontinuierlichen Signalen  Differentialgleichungen bei diskreten Signalen  Differenzengleichungen

9 Kontinuierliche Signale
periodische Funktionen  Verwendung der Fourier-Reihe allgemeine Signale  Fourier-Integral  Laplace

10 Diskrete Signale Verwendung von DFT FFT Z-Transformation

11 Beschränkung zunächst:
Kontinuierliche Signale Lineare zeitinv. Systeme  Behandlung von nichtlinearen Systemen durch Linearisierung numerische Lösung nichtlinearer DGL

12 Keine Selbsterregung Kausale Systeme Kausale Systeme Ursache Wirkung
Stabile Systeme Keine Selbsterregung t

13 Mathematische Beschreibung
Linearität: Mehrere gleichzeitig auftretende Eingangssignale durchlaufen das System unabhängig voneinander und überlagern sich auf Ausgangsseite ungestört. lineares System k1x1(t)+k2x2(t) k1y1(t)+k2y2(t)

14 Mathematische Beschreibung
Zeitinvarianz: x(t) y(t) t x(t-t0) y(t-t0) t0

15 Stabilität Stabilität: wenn! dann!
Ursache verschwindet  Wirkung geht auf 0

16 Kausalität aus x(t)=0 für t<t0 folgt y(t)=0 für t<t0

17 Signalklassen Deterministisch - stochastisch digital-analog
 Abtasttheorem

18 Beschreibung von Systemen
x(t) y(t) Beschreibung im Zeitbereich g(t) X(s) Y(s) Beschreibung im Frequenzbereich G(s) Eingang System Ausgang Strukturbild - Strukturplan

19 Erweiterung auf mehrere Ein-Ausgangsgrößen
x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 Ursache Eingangs-signal Erregung Wirkung Ausgangs-signal Antwort x y [A] Vektor Matrix Vektor y=[A]x

20 Behandlung im Zeit-oder Frequenzbereich möglich
Übergang mit Fourier- oder Laplace-Transformation Bei Fouriertrf. Frequenz komplexe Frequenz Ermöglicht Auf-abklingende Schwingungen zu behandeln

21 Fourier-Transformation
Abbildung Orginalraum(in t) Bildraum (in ω) f(t) Objektfunktion Resultatfunktion f(t) im allgemeinen Komplex

22 Einseitige Laplacetransformation
Voraussetzung f(t)=0 für t<0

23 Einseitige Laplacetransformation
f(t) : für große t gegen 0 konvergiert besser als

24 Beispiel

25 Zweimalige partielle Integration oder Maple

26 Übertragungsfunktion s
x(t) g(t) G(s) y(t) Strukturplan X(s) Y(s)

27 Übertragungsfunktion
Numerische Lösung

28 Zusammenfassen von Strukturplänen bei zeitinvarianten(linearen) Gliedern
Parallelschaltung: G1(s) x y = x G1(s)+G2(s) y G2(s) y(s)=G1(s)x(s)+G2(s)x(s)=[G1(s)+G2(s)]*x(s)

29 Reihenschaltung: y x G1(s) G2(s) y x G1(s) G2(s)
Y(s)=G1(s) [G2(s) x(s)]=G1(s) G2(s) x(s)

30 Gegenkopplung: x y G1(s) - G2(s) x y

31 Mitkopplung: x y x y G1(s) = + G2(s)

32 Vertauschen zweier Blöcke
x G1(s) G2(s) y x G2(s) G1(s) y = Y(s)=G2(s) G1(s) X(s)=G1(s) G2(s) X(s)

33 Verlegung eines Blocks vor eine Summationsstelle
x1 x1 G y y = G x2 x2 G y=G (x1+x2)=G x1+G x2

34 Verlegung eines Blocks hinter die Summationstelle
x1 x1 G y = G y x2 x2 G-1 Y=GX1+X2 = G (X1+G-1 X2)

35 Verlegung eines Blockes vor eine Verzweigungsstelle
x x G-1 x x G = y y G

36 Verlegung eines Blockes hinter eine Verzweigungsstelle
y G x G x = y G

37 Die gedämpfte Schwingung
Physikalisch völlig verschiedene Systeme können identische Systemstrukturen haben. Bsp.: gedämpfte Schwingung x Fd=-d*v v k m d Ruhelage

38 Die gedämpfte Schwingung
ist Kraft u(t) vorhanden gilt

39 RLC-Glied u C R L

40 Systemstruktur - identisch
Mechanik Elektronik

41 Übertragungsfunktion R,L,C-System
i=Ursache C U R L

42 R,L,C Reihenschaltung u C R L

43 Echt gebrochen rationale Funktion
G(s) ist bei linearen zeitinvarianten Systemen als gebrochene rationale Funktion darstellbar beliebige R,L,C-Netzwerke m<n  echt gebrochen rationale Funktion

44 Beispiel

45 Ermittlung der Übertragungsfunktion G(s) bei RLC-Netzwerken
i wird eingespeist u Wirkung C u R L jω durch s ersetzen! Vorsicht! höchste Potenz Faktor1 Nennerpolynom

46 Polstellen Definition Polstelle: Klammerausdruck in Nenner wird 0
G(s) wird ∞ Untersuchung der Funktion G(s)

47 Einfach reelle Polstelle, Partialbruchzerlegung

48 S-Ebene - Zeitbereich sxi=-σ0 jω Ai gi(t) σ t sxi=-σ0

49 S-Ebene – aufklingende Funktion
sxi=+σ0 jω gi(t) Ai σ t sxi=σ0

50 S-Ebene – Realteil = 0 sxi=0 jω gi(t) Ai σ t sxi=0

51 k-fach reelle Polstelle
jω gi(t) k-fach σ t -σ0

52 Einfach konjugiert komplexe Polstelle
sx1 gx(t) t σ -σ0 sx2 -jω0

53 Einfach konjugiert komplexe Polstelle
sx1 gx(t) σ +σ0 t -jω0 sx2

54 Einfach konjugiert komplexe Polstelle
sx1 gx(t) σ t sx2 -jω0