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Info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 1 Einführung in die Systemtheorie Definition System: Ein in sich geschlossenes, geordnetes und gegliedertes.

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1 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 1 Einführung in die Systemtheorie Definition System: Ein in sich geschlossenes, geordnetes und gegliedertes Ganzes; Gesamtheit, Gefüge von Teilen, die voneinander abhängig sind, ineinander greifen oder zusammenwirken z.B. in der Physik Gesamtheit von Körpern, Feldern u.s.w. die voneinander abhängig sind und als Ganzes betrachtet werden z.B. Biologie z.B. Informationsübertragungssysteme z.B. Energieübertragungssysteme

2 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 2 Theorie Wissenschaftl., rein gedankliche Betrachtungsweise, Lehrmeinung Erkenntnis von gesetzlichen Zusammenhängen USA Signals and Systems Signale und Systeme

3 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 3 Aufgabenstellung Systemanalyse Systemanalyse: Für ein gegebenes System wird bei gegebener Eingangssignalfunktion x(t) die Ausgangsfunktion y(t) gesucht. Hierzu ist das Übertragungsverhalten des Systems zu ermitteln! System x(t)y(t) ?

4 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 4 Aufgabenstellung Systemsynthese Systemsynthese: Es ist ein System zu entwerfen, das für eine gegebene Eingangssignalfunktion eine gewünschte Ausgangssignalfunktion y(t) liefert System ? x(t)y(t)

5 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 5 Aufgabenstellung Systemidentifikation Es ist für ein vorhandenes System durch geeignete Wahl der Eingangsgröße und Messen der Ausgangsgröße das Übertragungsverhalten des Systems zu ermitteln. System g(t) x(t)y(t)

6 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 6 Bezeichnungsweisen Übertragungsfunktion G(s) Systemeigenschaft im Frequenzbereich H(s), T(s) in amerikanischer Literatur

7 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 7 Bezeichnungsweisen Eingangssignal x(t) Bezeichnung im Zeitbereich X(s) Bezeichnung im Frequenzbereich Impulsantwort Systemeigenschaft im Zeitbereich g(t) Systemeigenschaft im Frequenzbereich G(s) Ausgangssignal y(t) Beschreibung im Zeitbereich Y(s) Beschreibung im Frequenzbereich

8 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 8 Mathematisches Modell Das System wird durch ein mathematisches Modell beschrieben bei kontinuierlichen Signalen Differentialgleichungen bei diskreten Signalen Differenzengleichungen

9 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 9 Kontinuierliche Signale periodische Funktionen Verwendung der Fourier-Reihe allgemeine Signale Fourier-Integral Laplace

10 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 10 Diskrete Signale Verwendung von DFT FFT Z-Transformation

11 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 11 Kontinuierliche Signale Lineare zeitinv. Systeme Behandlung von nichtlinearen Systemen durch Linearisierung numerische Lösung nichtlinearer DGL Beschränkung zunächst:

12 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 12 Kausale Systeme Ursache Wirkung Stabile Systeme Keine Selbsterregung t

13 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 13 Mathematische Beschreibung Linearität: Mehrere gleichzeitig auftretende Eingangssignale durchlaufen das System unabhängig voneinander und überlagern sich auf Ausgangsseite ungestört. lineares System k 1 x 1 (t)+k 2 x 2 (t)k 1 y 1 (t)+k 2 y 2 (t)

14 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 14 Mathematische Beschreibung Zeitinvarianz: x(t)y(t) x(t-t 0 )y(t-t 0 ) t t0t0

15 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 15 Stabilität Stabilität: wenn!dann! Ursache verschwindet Wirkung geht auf 0

16 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 16 Kausalität aus x(t)=0 für t

17 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 17 Signalklassen Deterministisch - stochastisch digital-analog Abtasttheorem

18 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 18 Beschreibung von Systemen g(t) x(t)y(t) G(s) X(s)Y(s) Beschreibung im Zeitbereich Beschreibung im Frequenzbereich EingangAusgangSystem Strukturbild - Strukturplan

19 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 19 Erweiterung auf mehrere Ein-Ausgangsgrößen x1x2x3x4x1x2x3x4 y1y2y3y4y1y2y3y4 Ursache Eingangs- signal Erregung Wirkung Ausgangs- signal Antwort [A] xy VektorMatrixVektor y=[A]x

20 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 20 Behandlung im Zeit-oder Frequenzbereich möglich Übergang mit Fourier- oder Laplace-Transformation Bei Fouriertrf. Frequenz komplexe Frequenz Ermöglicht Auf-abklingende Schwingungen zu behandeln

21 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 21 Fourier-Transformation Orginalraum(in t) Bildraum (in ω) Abbildung f(t) Objektfunktion Resultatfunktion f(t) im allgemeinen Komplex

22 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 22 Einseitige Laplacetransformation Voraussetzung f(t)=0 für t<0

23 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 23 Einseitige Laplacetransformation f(t) : für große t gegen 0 konvergiert besser als

24 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 24 Beispiel

25 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 25 Zweimalige partielle Integration oder Maple

26 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 26 Übertragungsfunktion s g(t) G(s) x(t)y(t) X(s)Y(s) Strukturplan

27 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 27 Übertragungsfunktion Numerische Lösung

28 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 28 Zusammenfassen von Strukturplänen bei zeitinvarianten(linearen) Gliedern G 1 (s) G 1 (s)+G 2 (s) G 2 (s) xyxy= Parallelschaltung: y(s)=G 1 (s)x(s)+G 2 (s)x(s)=[G 1 (s)+G 2 (s)]*x(s)

29 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 29 G 1 (s)G 1 (s) G 2 (s) x y G 2 (s) yx Reihenschaltung: Y(s)=G 1 (s) [G 2 (s) x(s)]=G 1 (s) G 2 (s) x(s)

30 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 30 Gegenkopplung: G 1 (s) G 2 (s) xy xy -

31 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 31 Mitkopplung: G 1 (s) G 2 (s) xyxy + =

32 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 32 Vertauschen zweier Blöcke G 1 (s)G 2 (s) yx G 1 (s) yx = Y(s)=G 2 (s) G 1 (s) X(s)=G 1 (s) G 2 (s) X(s)

33 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 33 Verlegung eines Blocks vor eine Summationsstelle x1x1 y x2x2 G y G G = x1x1 x2x2 y=G (x 1 +x 2 )=G x 1 +G x 2

34 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 34 Verlegung eines Blocks hinter die Summationstelle y G x1x1 x2x2 y G G -1 x1x1 x2x2 = Y=GX 1 +X 2 = G (X 1 +G -1 X 2 )

35 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 35 Verlegung eines Blockes vor eine Verzweigungsstelle G x G = y x G -1 x y x

36 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 36 Verlegung eines Blockes hinter eine Verzweigungsstelle G x G = y y G x

37 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 37 Die gedämpfte Schwingung Physikalisch völlig verschiedene Systeme können identische Systemstrukturen haben. Bsp.: gedämpfte Schwingung m x k v d Ruhelage F d =-d*v

38 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 38 Die gedämpfte Schwingung ist Kraft u(t) vorhanden gilt

39 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 39 RLC-Glied RL C u

40 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 40 Systemstruktur - identisch Mechanik Elektronik

41 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 41 Übertragungsfunktion R,L,C-System R L C U i=Ursache

42 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 42 R,L,C Reihenschaltung RL C u

43 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 43 Echt gebrochen rationale Funktion G(s) ist bei linearen zeitinvarianten Systemen als gebrochene rationale Funktion darstellbar beliebige R,L,C-Netzwerke m

44 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 44 Beispiel

45 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 45 Ermittlung der Übertragungsfunktion G(s) bei RLC-Netzwerken R L C u i I i wird eingespeist u Wirkung jω durch s ersetzen! Vorsicht! höchste Potenz Faktor1 Nennerpolynom

46 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 46 Polstellen Definition Polstelle: Klammerausdruck in Nenner wird 0 G(s) wird Untersuchung der Funktion G(s)

47 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 47 Einfach reelle Polstelle, Partialbruchzerlegung

48 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 48 S-Ebene - Zeitbereich σ jω s xi =-σ 0 t AiAi g i (t)

49 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 49 S-Ebene – aufklingende Funktion σ jω s xi =+σ 0 s xi =σ 0 t AiAi g i (t)

50 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 50 S-Ebene – Realteil = 0 σ jω s xi =0 t AiAi g i (t)

51 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 51 k-fach reelle Polstelle σ jω k-fach -σ 0 t g i (t)

52 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 52 Einfach konjugiert komplexe Polstelle σ jω 0 s x1 -σ 0 -jω 0 s x2 g x (t) t

53 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 53 Einfach konjugiert komplexe Polstelle σ jω 0 s x1 +σ 0 -jω 0 s x2 g x (t) t

54 info2 Prof. J. WALTER info2 Stand: Januar 2006 Seite 54 Einfach konjugiert komplexe Polstelle σ jω 0 s x1 -jω 0 s x2 g x (t) t


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