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Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.1 Vorlesung Regelungstechnik 1 21. Januar 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft.

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1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.1 Vorlesung Regelungstechnik Januar 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr Saarbrücken Nicht lineare Regelungen

2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.2 Bisherige Themen Regelungstechnik 1 Themen bisher: Zusammenfassung Ergebnisse Systemtheorie (P, PTn, ITn, PID, Tt-Systeme) Darstellungsformen der Systemtheorie (DGL, G, h, g, GW, GZ, Bode, PN, Ortskurve) Methoden und Verfahren zur Einstellung von Reglern / Regler- synthese im Zeit- und Frequenzbereich (Ziegler, Symmetrisches Optimum, Betragsoptimum) Anwendungsbereich/Einschränkung: Analog arbeitende Systeme Lineare Systeme Zeitinvariante Systeme

3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.3 Lineare / nicht lineare Systeme LTI-Systeme ist Voraussetzung für die bekannte einheitliche geschlossene Theorie (Systemtheorie): Zeitliches Verhalten mit linearen Differentialgleichungen Anwendung der Laplace-Transformation Vorhersage des statischen und dynamischen Verhaltens Getrennte Bestimmung des Führungsgrößen- und Störgrößenverhaltens. Nichtlineare Systeme: System ist linearisierbar: Linearisierung durchführen Rückführung auf LTI-System mit Anwendbarkeit der obigen Kriterien System nicht linearisierbar: Lösung nur im Zeitbereich Nicht lineare Dgls. Nicht immer lösbar

4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.4 Definition der Linearität Für lineare Systeme gilt das Superpositionsprinzip: Genaue Definition der Linearität umfasst zwei Kriterien: Verstärkungsprinzip Überlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip)

5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.5 Definition der Linearität Verstärkungsprinzip Superpositionsprinzip

6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.6 Beispiel für lineares System P-System Überprüfung der Linearitätsbeziehungen: Verstärkungsprinzip Superpositionsprinzip

7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.7 Definition lineares System Ein System ist dann linear, wenn es die Linearitätsprinzipien erfüllt: Alle Übertragungselemente, für die das Linearitätsprinzip nicht gilt, sind nichtlineare Übertragungselemente und haben nichtlineares Verhalten.

8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.8 Linearisierung nichtlinearer Systeme Analytisches Verfahren: Y = f(U,Z) = Z 2 /U + B Arbeitspunkt Yo;Zo;Uo; Gesucht: y = K u u + K z z K u = f(U,Z)/ U für Uo; Zo K u = -Zo 2 /Uo 2 K z = f(U,Z)/ Z für Uo; Zo K z = 2 Zo/Uo y = -Zo 2 /Uo 2 u + 2 Zo/Uo z Graphisches Verfahren: K u = f(U,Z)/ U für Uo; Zo K u = ΔYu/ΔU für Zo K z = f(U,Z)/ Z für Uo; Zo K z = ΔYz/ΔZ für Uo y = K u u + K z z

9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10.9 Lineares / Nicht lineares System Beispiel Bild , Wendt, S.704 Verstärkungsprinzip: Superpositionsprinzip:

10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Eigenschaften lineare / nicht lineare Systeme

11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Eigenschaften nichtlinearer Regelsysteme Bei nicht linearen Systemen hat das Linearitätsprinzip keine Gültigkeit. Im nicht linearen System gilt das Verstärkungsprinzip nicht. Das nicht lineare System wirkt entsprechend seiner Begrenzung: Linear im Linearitätsbereich Nicht linearer – begrenzend außerhalb des Linearitätsbereich

12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Beispiel 10 1 : 1

13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Beispiel PT1 mit P-Regler Zeit = T/2 (oben) PT1 mit Nichtlinearität Zeit = T (unten)

14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Beispiel Lösung für Sprung 1.5 mit Sättigung bei 1 : 1 Zusammengesetzte Lösung

15 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Allgemeine Lösungsstrategie Der Arbeitsbereich des nichtlinearen Übertragungsgliedes wird in Bereiche eingeteilt, in denen eine lineare Beziehung für den Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgröße gefunden werden kann. Für jeden dieser Bereiche wird der funktionale Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgröße des Gesamtsystems bestimmt. (Ziel: Handelt es sich eventuell um ein bekanntes Standardüber- tragungsverhalten?) Soweit möglich, wird die Eingangsgröße des nichtlinearen Übertra- gungsgliedes in die grafische Darstellung (Zeitverläufe w, e, x) ein- getragen und es werden die definierten Bereiche markiert. Die Anfangswerte aller zu zeichnenden Größen werden bestimmt (t=0). Damit liegt fest, in welchem Bereich des nichtlinearen Über- tragungsgliedes sich das System befindet. Der Zeitverlauf wird für jeden Bereich ermittelt und eingezeichnet. Bei Bereichswechsel sind die Start-(Anfangswerte) mit zu berücksichtigen.

16 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Anwendungsbeispiel Folgender Fall ist zu untersuchen: Nichtlineares System mit Sättigungsbereich bei 1:1 Sprungfunktion Sollwert w(t) = 1.5 ewyx

17 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Lösung (1) Nicht Linearität Element mit Begrenzung Bild Nr. 27 eingerahmter Kasten, Wendt, S. 770 oben Ableitung der Kennlinienbeschreibung

18 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Lösung (2) Lösung für e > 1: Aus Kennlinie folgt y = 1

19 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Lösung (3) Lösung für –1 < e < 1: Aus Kennlinie folgt y = e

20 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Erstellen der Diagramme Übergang der beiden Fälle beim Durchgang beim Amplitudenwert 0.5 bei t = 0.69 s

21 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Erstellen der Diagramme Übergang der Kennlinie Für t>0.69s findet der Übergang vom Konstanten auf den linearen Bereich der Kennlinie statt.

22 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Auswirkungen nicht linearer Systeme Führungs- und Störübertragungsverhalten können nicht getrennt von- einander betrachtet werden. Getrennte Überlagerung liefert andere Werte als bei gemeinsamer Berücksichtigung Bild , Wendt, S.710

23 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Auswirkungen nicht linearer Systeme Bild , Wendt, S.711

24 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Auswirkungen nicht linearer Systeme Bild , Wendt, S.711 Führungsverhalten Störübertragungs- sverhalten Superposition Gleichzeitige Berück- sichtigung von w Und z

25 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Auswirkungen nicht linearer Systeme Bild , Wendt, S.711 Bei linearen Systemen können bei Reihen- Schaltung von Sys- temen die Übertra- gungssysteme getauscht werden. Bei nicht linearen Systemen führt dies zu falschen Ergebnissen

26 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Auswirkungen nicht linearer Systeme Bild , Wendt, S.711

27 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Auswirkungen nicht linearer Systeme

28 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Auswirkungen nicht linearer Systeme

29 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB) Schaltbild

30 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB) Schaltbild Bild , S.714 oben Bild , Wendt. S.715

31 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB) Zeitverläufe

32 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Grundtypen nicht linearer Funktionen Folgende Grundtypen sind unterscheidbar: Analytische Funktionen Funktionale Zusammenhänge sind definiert y = sin(t), y = x 2 Funktionen sind stetig und differenzierbar. Linearisierung nach Taylorreihenentwicklung im Arbeitspunkt möglich. Stückweise lineare Funktionen Unstetigkeit im Funktionsverlauf und der Ableitung. Zweipunktregler (ideal) Beschreibung erfolgt durch stückweise linearisierte Funktionen Mehrdeutige Funktionen Nicht eindeutige Verläufe (z.B. Hysterese, Umkehrspanne) Bei nicht eindeutigen Verläufen ergibt sich der richtige Wert aus der Historie

33 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Beispiele für nicht lineare Funktionen Stückweise lineare Funktion

34 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Beispiele für nicht lineare Funktionen Übersicht nicht linearer Funktionen Schaltende Elemente (Zwei-, Dreipunktregler) Schaltende Elemente mit Hysterese (Zwei-, Dreipunktregler) Elemente mit progressiver Kennlinie (Verstärkung wächst mit der Eingangsgröße) Elemente mit degressiver Kennlinie (Verstärkung fällt mit der Eingangsgröße) Elemente mit Begrenzung (Sättigung) Elemente mit Hysterese ohne Begrenzung Elemente mit Hysterese mit Begrenzung (Sättigung)

35 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Zweipunktregler mit PT1- Strecke Betrachtung einer PT1-Strecke mit Zweipunktregler mit Hysterese Schaltdifferenz xd PT1-Strecke ohne Totzeit Zweipunktregler mit Hysterese Schaltdifferenz xd PT1-Strecke mit Totzeit Variation der Schaltdifferenz Variation der Stellgröße Variation der Streckenzeitkonstanten

36 Benedikt Faupel Oktober 2001 Zweipunktregelkreis / Zeitverlauf ZweipunktreglerRegelstrecke Ofen K S ; T S y z w x x y y h yhyh x ob xunxun t = 0 / Startwert: 0°C neuer Sollwert w := 450°C Zeitverlauf: für y := y h gilt: x(t) = 850°C(1-e -t/Ts ) solange bis x(t) := x ob (453°C) t 1 = -T S ln(1-453/850) = 7,61min t 3 = T S ln(( )/( )) = 0,15 min für y := 0 gilt: x(t) = 850°C(e -t/Ts ) solange bis x(t) := x un (447°C) t 2 = T S ln(453/447) = 0,13 min K S := 2,83°C/m 3 /h T S := 10 min y h := 300 m 3 /h x sd := 6°C (± 3°C) Ergebnis: pendelnde Regelgröße zwischen x ob & x un Regelgenauigkeit Schaltdifferenz Wert y h ist höher als für w erforderlich Wert 0 ist kleiner als für w erforderlich vorhandene Leistungsreserve t1t1 t2t2 t3t3 ein aus

37 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Berechnungen Auswirkungen der Schaltdifferenz bei Varianz des Sollwertsprunges (w = 1, 2,..., 10) Schaltdifferenz 2 Der Zweipunktregler steuert die Regelstrecke mit 2 definierten Stellgrößen y h und 0. Y h ist so gewählt, dass ein sehr großer Sollwert erreicht werden kann. (z.B. Gasstrom so hoch, dass bei permanenten Betrieb 800 °C er- reicht werden kann.) Aufheizung / Fahrweise mit hoher Stellgröße solange, bis gewünsch- ter Sollwert erreicht wird. Stellgröße 0 für Überschreiten des Sollwertes Abfallen der Regelgröße mit erreichtem Endwert (Aufheizvorgang) mit gleicher Zeitkonstante Schaltendes periodisches Verhalten des Regelkreises

38 Benedikt Faupel Oktober 2001 Optimierung des Zweipunktregelkreises Optimierung / Einflussgröße MassnahmeAuswirkungErgebnis Zu große Regel- abweichung X ob / x un Zeitkonstante Regelstrecke T S Halbierung der Zeitkonstanten T S -> T S /2 Höhere Schaltfrequenz / Reduzierung der Reglerlebensdauer kleine Zeitkonstante -> höhere Schaltfrequenz Prüfung der Schalthäufigkeit bei Reglerauswahl Einsatz Zweipunkt- regler mit reduzierter Schaltdifferenz X sd

39 Benedikt Faupel Oktober 2001 Berechnung der Schaltfrequenz Annahme Leistungsüberschuß 100 % w := x max /2 Verhältnisgleichheit Winkel α x max / 2T S = 2x sd / T f S := 1/T f S = ¼ x max /x sd 1/T S w Herleitung Regelgröße: X(t) = K s y h (1-e -t/Ts ) Zeitpunkt t 1 : x(t=t 1 ) = x max /2 = ½ K s y h t 1 = T S ln(2) Anstieg im Punkt x(t 1 ): dx(t)/dt= K s y h / T S e -t/Ts dx(t 1 )/dt= K s y h / T S e -t1/Ts = K s y h / 2T S = x max / 2T S

40 Benedikt Faupel Oktober 2001 Einfluß der Leistungsreserve auf den Zeitverlauf Annahmen: Zweipunktregler mit X sd := 0 Regelstrecke (PT n )mit T u und T G X pa Regeldifferenz; ΔX Schwankungsbreite Fallbeispiele: Stellbereich 100% Dauereinschaltung Sollwert = x Max / Endwert w Stellgröße ausreichend für Erreichen von w Stellbereich 125% Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 4 x pa positiv Sollwert > x m / Endwert 1,25 w Stellbereich 200% Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1 x pa = 0 Sollwert = x m / Endwert 2 w Stellbereich 500% Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1/4 x pa negativ Sollwert < x m / Endwert 5 w ΔX T ein /T = ¾ T ein /T = ¼ T ein /T = ½

41 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Zweipunktregler mit PT1- Strecke

42 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Zweipunktregler mit PT1- Strecke

43 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt Zeitverhalten mit PT1-Strecke mit Totzeit und Schaltdifferenz


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