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Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.1 Mathematische Modelle zur Prozessidentikation TestsignaleZur Durchführung der PI sind experimentelle.

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1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.1 Mathematische Modelle zur Prozessidentikation TestsignaleZur Durchführung der PI sind experimentelle Untersuchungen erforderlich, um hieraus auf das Systemverhalten zu schließen und ein mathematisches Modell erstellen zu können. Anforderungen einfach zu erzeugen an Signale reproduzierbar (z.B. Signalgenerator) einfache mathematische Beschreibung anwendbar/zugeschnitten auf Prozess anwendbar auf vorhandene Stellglieder Signalverarbeitung auf System

2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.2 Identifikation / Einfluss der Stellglieder Stellglied y Prozess u1u1 Gesucht: Übertragungsverhalten P Alle Elemente und Glieder des Systems sind zu berücksichtigen ! u2u2 G = G S G P U 2 = G S U 1 Y = G P U 2 Y = G P G S U 1 Wenn u 2 messbar, kann G P2 direkt aus u 2 und y identifiziert werden ! Wenn u 2 nicht messbar, kann G P2 direkt aus u 1, y und Kenntnis von G S identifiziert werden ! G P = Y/U 2 G P = 1/G S Y/U 1

3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.3 Beispiel Heizungsregelung Schema: Ein/Aus Luft Gas y ReglerBrenner wu Kessel Rohrleitung Körper Raum Messen Wirkungsplan: Aufgabenstellung: Das Zeitverhaltens des Wohn- Raumes für die Heizungs- Regelung ist durch Identifikation zu bestimmen.

4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.4 Beispiel Heizungsregelung Wirkungsplan y ReglerBrenner wu1u1 Kessel Leitung Körper Raum Messen y Brenner u1u1 Kessel Rohrleitung Körper Raum PtPT1 PT1 PT1 Für Identifikation Raumverhalten Kenntnis von u 4 erforderlich u2u2 u3u3 u4u4

5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.5 Einfluss Verzögerungselemente Identifikation: Bei Wahl der Messorte Sind Verzögerungselemente (Systemkomponenten) zu berücksichtigen, welche die Dynamik des Zeitverhaltens beeinflussen. Fälle: a)Proportional / zeitverzögert b)Proportional / zeitverzögert mit Rückkopplung c)unstetig / integrierend (z.B. Stell-/Schrittmotor)

6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.6 Signalarten Kriterien für Signale: natürlich / künstlich deterministisch / stochastisch periodisch / nicht periodisch kontinuierlich / diskret Signale: Physikalisch in Form von Spannung, Strom, Temperatur, Druck Beschreibung in Form von Amplitudenwert (Funktionswert) für definierte Zeitpunkte Definitionen: Deterministisch: in jedem Zeitpunkt ist ein eindeutig vorher- sehbarer Wert definiert. Stochastisch: Signalverlauf ist nicht eindeutig vorhersehbar Beschreibung durch Mittelwert, Streuung, etc.

7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.7 KontinuierlichDiskret Nicht periodischSprungfunktion Rampe Dreiecksfunktion Sprungfunktion Rampe Dreiecksfunktion PeriodischSinus-/Cosinusfunktion Rechteckfolge Dreiecksfolge Sinus-/Cosinusfunktion Rechteckfolge Dreiecksfolge stochastischZufallsignal (kontinuierlich) Binäres Rauschen (beliebige O/1-Folge) Unterscheidungsmerkmale Signalformen

8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.8 Beispiele für Signalverläufe Nicht periodisch Periodisch stochastisch (Binäres Rauschen) stochastisch (konti. Rauschen)

9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.9 LTI-Systeme – Voraussetzung für unsere Betrachtungen Ausgangspunkt für die Entwicklung von Identifikationsverfahren ist die Verwendung math. Modelle für Systeme, Prozesse und Signale. Es werden LTI-Systeme betrachtet. linear: Superposition zeitinvariant: Systemreaktion unabhängig vom Zeitpunkt der Betrachtung Signalbeschreibungen für nichtparametrische Modelle Kurven / Wertetabellen System als black box g(t), h(t), Frequenzgang System

10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.10 Beschreibungen für nicht para. Modelle Beschreibung im Zeitbereich/Frequenzbereich: Gewichtsfunktion g(t) = g(t) * δ(t)G(s) = G(s) 1 Sprungantwort h(t) = g(t) * ε (t)H(s) = G(s) 1/s Systemantworty(t) = g(t) * u(t) Y(s) = G(s) U(s) g(t) = d/dt h(t) Frequenzgang G(s) -> G(jw) G(jw) = Y(jw)/U(jw) = |G(jw)|e jphi(w) g(t) G(s)

11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.11 Beschreibungen für param. Modelle Signalbeschreibungen für parametrische Modelle System als white/grey box Systemstruktur bekannt (DGL, G(s)) g(t) G(s) d m y/dt m + a m-1 d m-1 y/dt m a 0 y = b n d n u/dt + b n-1 d n-1 u/dt n b 1 du/dt + b o u Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße wird durch eine Dgl. oder Übertragungsfunktion eindeutig wiedergegeben !

12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.12 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT1) Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied) y(t) = Ku 0 (1-e- t/T ) u0u0 u Ku 0 (1-e -t/Ts ) Δ y TSTS Y(00) := K S *u 0 y/Ku 0

13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.13 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2) Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied) T 1 = Zeitkonstante T 2 = Zeikonstante K = K 1 K 2 Fall 1:Die Zeitkonstanten sind voneinander verschieden Wie sieht die Sprungantwort des Systems aus ? PT1 K 1 T 1 PT1 K 2 T 2 PT2 K T 1 T 2 = Y(s) = U(s) G(s) = K / s (1 + sT 1 ) (1 + sT 2 )

14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.14 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2) Lösung / Rücktransformation in den Zeitbereich: Partialbruchzerlegung: Y(s) = K / s (1 + sT 1 ) (1 + sT 2 ) = A 0 /s + A 1 /(1 + sT 1 ) + A 2 /(1 + sT 2 ) Koeffizientenbestimmung nach (Satz nach HEAVISIDE): A k = lim (Y(s) ( s-s k )) A 0 = K A 1 = lim (K/s(1+sT 2 )) = -KT 1 /(1-T 2 /T 1 ) = -KT 1 2 /(T 1 – T 2 ) A 2 = lim (K/s(1+sT 1 )) = -KT 2 /(1-T 1 /T 2 ) = -KT 2 2 /(T 1 – T 2 ) s->s k s->-1/T1 s->-1/T2

15 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.15 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2) Y(s) = A 0 /s + A 1 /(1 + sT 1 ) + A 2 /(1 + sT 2 ) Y(s) = K/s - KT 1 2 /(T 1 – T 2 ) 1 /(1 + sT 1 ) + KT 2 2 /(T 1 – T 2 ) 1/(1 + sT 2 ) Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt: y(t) = K [ 1 - T 1 /(T 1 – T 2 ) e -t/T1 + T 2 /(T 1 – T 2 ) e -t/T2 ] Beipiel PT1-PT9 Glieder mit verschiedenen Zeitkonstanten Excel-Kurven (Anlage) Verdopplung der Zeitkonstanten T 2 = 2 T 1 ; T 3 = 2 T 2 ; T 4 = 2 T 3 ;.....

16 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.16 Verallgemeinerung PTn-Glied mit unterschiedlichen Zeitkonstanten: Ai = 1 für i = 0 Ai = - (T i ) n / Π (T i – T j ) für i > 0 i j und n>1 j=1 n Beispiel : PT4-Glied, d.h. n=4 A 0 = 1 A 1 = -T 1 4 / [ (T 1 -T 2 ) (T 1 - T 3 ) (T 1 -T 4 ) ] A 2 = -T 2 4 / [ (T 2 -T 1 ) (T 2 - T 3 ) (T 2 -T 4 ) ] A 3 = -T 3 4 / [ (T 3 -T 1 ) (T 3 - T 2 ) (T 3 -T 4 ) ] A 4 = -T 4 4 / [ (T 4 -T 1 ) (T 4 - T 3 ) (T 4 -T 3 ) ] Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PTn)

17 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.17 Sprungantwort System 4. Ordnung Beispiel : PT4-Glied, (n=4), verschiedene Zeitkonstanten A 0 = 1 A 1 = -T 1 4 / [ (T 1 -T 2 ) (T 1 - T 3 ) (T 1 -T 4 ) ] A 2 = -T 2 4 / [ (T 2 -T 1 ) (T 2 - T 3 ) (T 2 -T 4 ) ] A 3 = -T 3 4 / [ (T 3 -T 1 ) (T 3 - T 2 ) (T 3 -T 4 ) ] A 4 = -T 4 4 / [ (T 4 -T 1 ) (T 4 - T 3 ) (T 4 -T 3 ) ] y(t) = K [ 1 - T 1 3 /(T 1 – T 2 ) (T 1 - T 3 ) (T 1 -T 4 ) e -t/T1 - T 2 3 /(T 2 – T 1 ) (T 2 - T 3 ) (T 2 -T 4 ) e -t/T2 - T 3 3 / (T 3 -T 1 ) (T 3 - T 2 ) (T 3 -T 4 ) e -t/T3 - T 4 3 / (T 4 -T 1 ) (T 4 - T 2 ) (T 4 -T 3 ) e -t/T4 ]

18 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.18 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2) Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied) T 1 = T 2 Zeitkonstante K = K 1 K 2 Fall 2:Die Zeitkonstanten sind voneinander verschieden Wie sieht die Sprungantwort des Systems aus ? PT1 K 1 T PT1 K 2 T PT2 K T = Y(s) = U(s) G(s) = K / s (1 + sT) 2 = K / T 2 / [s (s + 1/T) 2 ]

19 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.19 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2) Lösung / Rücktransformation in den Zeitbereich: Partialbruchzerlegung: Y(s) =K / T 2 / [s (s + 1/T) 2 ] = A 0 /s + A 1 /(s + 1/T) + A 2 /(s + 1/T) 2 Koeffizientenbestimmung nach A k = 1/(n-k)! lim (d (n-k) /ds (n-k) [Y(s) ( s-s k ) n ]) k = 1...n-1 A n = lim (Y(s) ( s-s k ) n ) A 0 = K A 1 = lim (K/T 2 d/ds(1/s)) = lim K/T 2 (-1/s 2 ) = -K A 2 = lim ( K/T 2 /s) = -K/T s->s k s->-1/T s->s k

20 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.20 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2) Y(s) = A 0 /s + A 1 /(s+ 1/T) + A 2 /(s + 1/T) 2 Y(s) = K/s - K 1 /(s + 1/T) + K/T 1/(s + 1/T) 2 Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt: Y(t) = K [ 1 - e -t/T - t/T e -t/T ] = K[1-(1+t/T)e -t/T ] Herleitung nach Laplace-Korrespondenztabelle 1/s(s-a) 2 1/a 2 [1 + (at-1) e at ]

21 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.21 Verallgemeinerung Sprungantwort von PTn-Gliedern mit gleicher Zeitkonstanten: Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PTn) Y(t) = K (1 - e -t/T [ Σ 1/k! (t/T) k ] k=0 n-1 Beispiele: n=1:y(t) = K(1- e -t/T ) n=2:y(t) = K(1- e -t/T [1+t/T]) n=3:y(t) = K(1- e -t/T [1+t/T+ 1/2 t 2 /T 2 ]) n=4:y(t) = K(1- e -t/T [1+t/T+ 1/2 t 2 /T 2 + 1/6 t 3 /T 3 ]) Beipiel PT1-PT9 Glieder mit gleicher Zeitkonstanten Excel-Kurven (Anlage)

22 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.22 Kurvencharakteristik Kurvenverlauf: mit zunehmender Ordnung flacher mit zunehmender Ordnung wird die Systemreaktion langsamer Kurvenverlauf mit Wendepunkt Wendepunkt bedeutet mathematisch: 1. Ableitung weist im WP Maximum/Minimum auf 2. Ableitung hat O-stelle im WP Wir finden den Wendepunkt der Sprungantwort in dem Zeitpunkt, wo sich das Maximum / Minimum der Ableitungskurve (Gewichtsfunktion) befindet. g(t) = y(t) = K / T n · t n-1 / (n-1)! · e -t/T PTn-Glied gleiche Zeitkonst..

23 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.23 Kurvenzusammenstellung PTn- Glied mit gleicher Zeitkonstanten SprungantwortGewichtsfunktion

24 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.24 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (2) Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2S-Glied) ω 0 = Kreisfrequenz D = Dämpfung K = Verstärkungsfaktor G(s) = K / (s-s 1 )(s-s 2 ) mit s 1,2 = ω 0 (-ζ± (ζ 2 -1) Fall 1: ζ >1:aperiodische Dämpfung / Reihenschaltung von 2 Verzögerungs- Gliedern 1. Ordnung (wie vor; s 1 = -1/T 1 ; s 2 = -1/T 2 ) h(t) = K(1 + 1/(T 1 -T 2 ) (T 2 e -t/T2 -T 1 e -t/T1 )

25 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.25 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (3) Fall 2: D=1 Doppelpoliger aperiodischer Grenzfall (wie vor) h(t) = K(1 – (1+ t/T )e -t/T ) Fall 3: 0< ζ < 1 Periodische Dämpfung h(t) = K(1 – 1/ (1- ζ 2 ) e - ζ ωo t (sin( ω 0 (1- ζ 2 )t + φ)

26 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.26 Übersicht einfacher Übertragungsglieder

27 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.27 Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (1)

28 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.28 Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (2)

29 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.29 Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder © Übetragungsglieder 1- 3: Quelle: Unbehauen: Regelungstechnik I, Vieweg Verlag


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