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Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen,

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Präsentation zum Thema: "Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen,"—  Präsentation transkript:

1 Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden Skalierung, (Multi-)Fraktale Komplexität und Information von Zeitreihen Wavelets Michael Hauhs / Gunnar Lischeid

2 Eine äquidistante Zeitreihe mit Messintervall (Zeitauflösung) und N Werten Länge der Messperiode Anzahl der Perioden im Datensatz Periodenlänge Frequenz Kreisfrequenz harmonische Frequenz Grundfrequenz, Frequenzauflösung Nyquist-Theorem, Abtasttheorem Frequenzen, Zeiten, Längen, Perioden,...

3 Aufgabe 1.Berechnen Sie in Excel die Fourierkoeffizienten für den Datensatz in Aufgabe_Fourieranalyse.xls. 2.Erstellen Sie anhand der Fourierkoeffizienten ein Periodogramm. 3.Rekonstruieren Sie die Zeitreihe als Superposition der entsprechenden sin- und cos- Funktionen. Überprüfen Sie dabei das Parsevalsche Theorem (Verteilung der Gesamtvarianz auf die einzelnen Frequenzen). 4.Führen Sie mit den Daten eine Fourieranalyse in Statistica durch und vergleichen Sie die Ergebnisse.

4 Aliasing jenseits der Nyquist-Frequenz N = 30

5 Parsevalsches Theorem Die totale Varianz der Werte ist gleich der Summe der Varianzen der einzelnen Frequenzen: Energie ist im Zeit- und Frequenzraum gleich Def.: Energie eines Signals:

6 Periodogramm Aufteilung der Varianz auf die einzelnen Frequenzen: s 2 (k) (= spektrale Varianz) gegen k aufgetragen Berechnung anhand der Fourier-Koeffizienten:

7 Periodogramm = Darstellung der Varianzanteile für die einzelnen Frequenzen bzw. Phasenlängen

8 Amplitudenspektrum =Amplituden der harmonischen Schwingungen: mit a k, b k = Fourier-Koeffizienten grafische Darstellung im Amplitudenspektrum

9 Kumulatives Periodogramm Periodogramm: Kumulatives Periodogramm: (normiert auf Summe = 1) Bei weissem Rauschen: gerade Linie von (0,0) nach (, 1) => Signifikanztest gegen weißes Rauschen! ε %-Signifikanz: Senkrechter Abstand zur Geraden: mit ε 0,01 0,05 0,10 0,25 d ε 1,63 1,36 1,22 1,02

10 Kumulatives Periodogramm: Beispiel Lehstenbach/Fichtelgebirge, Tageswerte

11 Kumulatives Periodogramm: Beispiel Steinkreuz/Steigerwald, Stundenwerte

12 Periodogramm als Schätzer Periodogramm als Schätzer für das Spektrum des die Zeitreihe erzeugende Prozesses: positiv: Erwartungswert des Periodogramms konvergiert mit zunehmender Länge der Zeitreihe negativ: die Varianz des Schätzers nimmt nicht mit zunehmender Länge des Datensatzes ab, daneu hinzukommende Information in die Verwendung von mehr Fourier-Stützstellen, und nicht in die Verringerung der Varianz an den einzelnen Stützstellen fließt: Erhöhung der Abtastrate => Verschiebung der Nyquist-Frequenz, d.h., Erfassung neuer Spektralanteile Verlängerung der Zeitreihe bei gleicher Abtastbreite => dichtere Verteilung der gleichbleibend ungenauen Schätzwerte. => verläßlichere Spektralschätzer zur Schätzung des der Zeitreihe zugrunde liegenden Prozeßspektrums gesucht

13 Signifikanz und Verteilung von Spektralwerten Für weißes Rauschen entstammen die Schätzwerte einer Verteilung: => unabhängig von N, d.h., keine Verbesserung durch Verlängerung der Zeitreihe !

14 Endliches weißes Rauschen

15 Spektogramm = Darstellung der Spektraldichten erfordert in der Regel eine Glättung des Periodogramms zur Verringerung von Bias und Varianz und zur Erhöhung der Stabilität der Schätzer Glättung erfolgt i.d.R. über Fenstertechniken = stückweise Gewichtung der Daten in der Zeitdomäne: Bartlett-Fenster in der Frequenzdomäne: Daniell-, Tukey-Hanning-, Hamming-, Parzen-Fenster

16 Typische Spektralschätzer: Versatzfenster

17 Peak-Identifikation: Beispiel (Quelle: W.W.S. Wei, Time Series Analysis (Addison Wesley 1990))

18 Powerspektrum und Varianz

19 Frequenzraumdarstellung von Zeitreihen bisher: Zeitreihen wurden durch ihre Werte dargestellt (Zeitdomäne): x = x(t) alternativ: Darstellung in einem Funktionenraum - möglich für jede Funktion in einem n-dimensionalen Vektorraum: : Koeffizienten : Basisfunktionen sinnvolle Wahl des Funktionenraums: additiv (Superposition) => orthogonale Funktionen

20 Fouriertransformation Jede periodische Zeitreihe x(t) lässt sich auch im Frequenzraum darstellen: => Verwendung der selektiven Fouriertransformation als Filter: Tiefpassfilterung: Eliminieren der hochfrequenten Anteile Hochpassfilterung: Eliminieren der niederfrequenten Anteile Bandpassfilterung: Eliminierung aller Anteile außerhalb eines bestimmten Frequenzbereiches

21 Fast Fourier Transformation (FFT) Numerisch schnelles numerisches Verfahren für Werte: lediglich statt Multiplikationen erforderlich Prinzip: Die diskrete Fourier-Transformation eines Datensatzes der Länge N ist gleich der Summe der beiden diskreten Fouriertransformationen der Länge N/2 (getrennt für geradzahlige und ungeradzahlige t )

22 Fast Fourier Transformation (FFT) Index g : für geradzahlige t Index u : für ungeradzahlige t

23 Fouriertransformation Für unendlich lange Zeitreihen gibt es alle Frequenzen Merkmale: umkehrbar existiert für absolut integrierbare Funktionen zeitglobal Stationarität prinzipiell erforderlich Spektrum von

24 Leistungsspektrum (Powerspektrum) Def.: Energie eines Signals Leistungsspektrum, Powerspektrum, spektrale Dichte,... Nachteil: keine Phaseninformation mehr => Viele Prozesse mit gleichem Powerspektrum!

25 Powerspektrum = Verallgemeinerung der Spektralanalyse für nicht-periodische, endliche (und diskrete) Funktionen methodisch: fensterweise Durchführung einer Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion übliche Darstellung: log-log-Plot des Leistungsspektrums ( 'power-law' Charakteristik)

26 Powerspektrum = Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion

27 Bestimmung des Powerspektrums mit ρ:Autokorrelationswert η: h :Verschiebung (Time Lag) der Autokorrelationsfunktion M :maximale Verschiebung der Autokorrelationsfunktion D(k) "Fenster", z.B. Hamming Window

28 Faltungstheorem und Autokorrelation Fouriertransformierte einer Funktionenfaltung Faltung zweier Funktionen: Anwendung: Faltungstheorem Das Leistungsspektrum einer Zeitreihe ist die Fouriertransformierte ihrer Autokorrelation (Wiener-Khintchin-Theorem)

29 Farbiges Rauschen Klassifizierung nach Steigung der an den abfallenden Ast der Kurve im doppelt-logarithmischen Plot gefitteten Gerade = 0 weißes Rauschen: ohne jegliche Struktur, frequenzunabhängige spektrale Energiedichte 1/f Rauschen: spektrale Dichte umgekehrt proportional zur Frequenz (1/f Rauschen i.e.S. = rosa Rauschen: = 1 bzw. 0,5 < < 1,5 ) 0 Tiefpassfilter; autokorrelierte Daten ("Trägheit") -1 Hochpassfilter

30 Beispiele für Powerspektren I Regen, β = 0.36 Abfluss, β = 1.15 Lehstenbach/Fichtelgebirge

31 Beispiele für Powerspektren II Lange Bramke/Harz Regen, β = 0.28 Abfluss, β = 1.53

32 Beispiel: Fernsehturm "Telemax" (280 m) (R. Heer, Uni Hannover)

33 Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete (Kirchner et al. 2000)

34 Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete (Kirchner et al. 2000)

35 Powerspektren für nicht-äquidistante Daten: Lomb-Scargle-Normalisierung Messungen der Zeitreihe zu beliebigen Zeitpunkten t j : für und = beste (im least squares Sinne) Approximation

36 Ein ziemlich lückiger Datensatz...

37 ...und sein Spektrum

38 Beispiel: Abflusspegel mit großer Lücke

39 Lomb-Scargle-Spektrum im Vergleich

40 Ausblick auf weitere Fouriermethoden Multivariate Fouriertransformationen Kreuz-Spektren (Kohärenz zwischen zwei Zeitreihen) Skalierung, Potenzgesetze Behandlung langreichweitiger Spektren Zeitlokale Spektren: Zeit-Frequenz-Diagramme, Wavelets


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