Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen,

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen,"—  Präsentation transkript:

1 Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden Skalierung, (Multi-)Fraktale Komplexität und Information von Zeitreihen Wavelets Michael Hauhs / Gunnar Lischeid

2 Beispiel: Fernsehturm "Telemax" (280 m) (R. Heer, Uni Hannover)

3 Kumulatives Periodogramm Periodogramm: Kumulatives Periodogramm: (normiert auf Summe = 1) Bei weissem Rauschen: gerade Linie von (0,0) nach (, 1) => Signifikanztest gegen weißes Rauschen! ε %-Signifikanz: Senkrechter Abstand zur Geraden: mit ε 0,01 0,05 0,10 0,25 d ε 1,63 1,36 1,22 1,02

4 Kumulatives Periodogramm: Beispiel Lehstenbach/Fichtelgebirge, Tageswerte

5 Endliches weißes Rauschen

6 Spektrale Dichte: Varianz der Schätzung (W.W.S. Wei, Time Series Analysis, Addison Wesley 1990)

7 Periodogramm als Schätzer Periodogramm als Schätzer für das Spektrum des die Zeitreihe erzeugende Prozesses: positiv: Erwartungswert des Periodogramms konvergiert mit zunehmender Länge der Zeitreihe negativ: die Varianz des Schätzers nimmt nicht mit zunehmender Länge des Datensatzes ab, da neu hinzukommende Information in die Verwendung von mehr Fourier-Stützstellen, und nicht in die Verringerung der Varianz an den einzelnen Stützstellen fließt: Erhöhung der Abtastrate => Verschiebung der Nyquist-Frequenz, d.h., Erfassung neuer Spektralanteile Verlängerung der Zeitreihe bei gleicher Abtastbreite => dichtere Verteilung der gleichbleibend ungenauen Schätzwerte. => verläßlichere Spektralschätzer zur Schätzung des der Zeitreihe zugrunde liegenden Prozeßspektrums gesucht

8 Spektogramm = Darstellung der Spektraldichten erfordert in der Regel eine Glättung des Periodogramms zur Verringerung von Bias und Varianz und zur Erhöhung der Stabilität der Schätzer Glättung erfolgt i.d.R. über Fenstertechniken = stückweise Gewichtung der Daten in der Zeitdomäne: Bartlett-Fenster in der Frequenzdomäne: Daniell-, Tukey-Hanning-, Hamming-, Parzen-Fenster

9 Typische Spektralschätzer: Versatzfenster

10 Fouriertransformation Jede periodische Zeitreihe x(t) lässt sich auch im Frequenzraum darstellen: => Verwendung der selektiven Fouriertransformation als Filter: Tiefpassfilterung: Eliminieren der hochfrequenten Anteile Hochpassfilterung: Eliminieren der niederfrequenten Anteile Bandpassfilterung: Eliminierung aller Anteile außerhalb eines bestimmten Frequenzbereiches

11 Fast Fourier Transformation (FFT) Numerisch schnelles Verfahren für Werte: lediglich statt Multiplikationen erforderlich Prinzip: Die diskrete Fourier-Transformation eines Datensatzes der Länge N ist gleich der Summe der beiden diskreten Fouriertransformationen der Länge N/2 (getrennt für geradzahlige und ungeradzahlige t )

12 Fast Fourier Transformation (FFT) Index g : für geradzahlige t Index u : für ungeradzahlige t

13 Fouriertransformation Für unendlich lange Zeitreihen gibt es alle Frequenzen Merkmale: umkehrbar existiert für absolut integrierbare Funktionen zeitglobal Stationarität prinzipiell erforderlich Spektrum von

14 Powerspektrum = Leistungsspektrum = Power Spectral Density (PSD) = Verallgemeinerung der Spektralanalyse für nicht-periodische, endliche (und diskrete) Funktionen methodisch: fensterweise Durchführung einer Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion übliche Darstellung: doppelt-logarithmischer Plot des Leistungsspektrums ( 'power-law' Charakteristik) bitte beachten: im Detail uneinheitliche Nomenklatur (z.B. Art der Normalisierung, Berücksichtigung negativer Frequenzen, etc.)

15 Powerspektrum = Leistungsspektrum Def.: Energie eines Signals Leistungsspektrum, Powerspektrum, spektrale Dichte,... Nachteil: keine Phaseninformation mehr => Viele Prozesse mit gleichem Powerspektrum!

16 Faltungstheorem Faltung (Convolution) zweier Funktionen: s. Orthogonalität / Korrelation! Anwendung: Faltungstheorem: Die Fouriertransformation der Faltung zweier Funktionen ist gleich dem Produkt der Fouriertransformationen der einzelnen Funktionen. Das Leistungsspektrum einer Zeitreihe ist die Fouriertransformierte ihrer Autokorrelation (Wiener-Khintchin-Theorem)

17 Powerspektrum = Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion

18 Farbiges Rauschen Klassifizierung nach Steigung der an den abfallenden Ast der Kurve im doppelt-logarithmischen Plot gefitteten Gerade = 0 weißes Rauschen: ohne jegliche Struktur, frequenzunabhängige spektrale Energiedichte 0 Tiefpassfilter; autokorrelierte Daten ("Trägheit") -1 Hochpassfilter 1/f Rauschen: spektrale Dichte ist umgekehrt proportional zur Frequenz (1/f Rauschen i.e.S. = rosa Rauschen: = 1 bzw. 0,5 < < 1,5 )

19 Beispiele für Powerspektren I Regen, β = 0.36 Abfluss, β = 1.15 Lehstenbach/Fichtelgebirge

20 Beispiele für Powerspektren II Lange Bramke/Harz Regen, β = 0.28 Abfluss, β = 1.53

21 Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete (Kirchner et al. 2000)

22 Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete (Kirchner et al. 2000)

23 Powerspektren für nicht-äquidistante Daten: Lomb-Scargle-Normalisierung Messungen der Zeitreihe zu beliebigen Zeitpunkten t j : für und = beste (im least squares Sinne) Approximation

24 Ein ziemlich lückiger Datensatz...

25 ...und sein Spektrum

26 Beispiel: Abflusspegel mit großer Lücke

27 Lomb-Scargle-Spektrum im Vergleich

28 Ausblick auf weitere Fouriermethoden Multivariate Fouriertransformationen Kreuzspektren (Kohärenz zwischen zwei Zeitreihen) Skalierung, Potenzgesetze Behandlung langreichweitiger Spektren Zeitlokale Spektren: Zeit-Frequenz-Diagramme, Wavelets

29 Beispiel: Kreuzspektrum (Mercube-Einzugsgebiet; Molénat et al. 1991) Niederschlag Abfluss Kreuz- spektrum

30 Aufgabe 1.Führen Sie eine Fourieranalyse des Niederschlags-Temperatur- Abfluss-Datensatzes durch. 2.Rekonstruieren Sie die Zeitreihen; führen Sie dabei eine Bandpassfilterung durch, indem Sie nur die vorherrschenden Frequenzen berücksichtigen. 3.Erstellen Sie das Powerspektrum der Niederschlags-, Temperatur- und Abflussdaten, und bestimmen Sie die Steigung β der Regressionsgeraden im doppelt-logarithmischen Plot.


Herunterladen ppt "Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen,"

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen