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Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.1 Vorlesung Prozessidentifikation Bestimmung von Ersatzsystemen zur Identifizierung.

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2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.1 Vorlesung Prozessidentifikation Bestimmung von Ersatzsystemen zur Identifizierung gemessener Übergangsfunktionen 24. April 2002 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr Saarbrücken

3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.2 Ermittlung von Ersatzübertragungssystemen Wichtige Identifikationsaufgabe Bestimmung eines Ersatzübertragungssystem auf Basis von Messdaten (Eingangs- und Ausgangssignale). Parametrischer Ansatz (grey box): Struktur des Übertragungssystems wird angenommen (PTx-Glied, Übertragungsverhalten mit Ausgleich) Die Wahl der Struktur muß mit dem Kurvenverlauf korrespondieren ! (z.B.: Kurvenverlauf ohne Ausgleich / PTx-Glied sinnlos). Die Kenngrößen / Parameter des Übertragungssystem (Struktur) muß aus der vorliegenden Kurven ermittelt werden !

4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.3 Beispiel Heizungsregelung Schema: Ein/Aus Luft Gas y ReglerBrenner wu Kessel Rohrleitung Körper Raum Messen Wirkungsplan: Aufgabenstellung: Das Zeitverhaltens des Wohn- Raumes für die Heizungs- Regelung ist durch Identifikation zu bestimmen.

5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.4 Beispiel Heizungsregelung Wirkungsplan y ReglerBrenner wu1u1 Kessel Leitung Körper Raum Messen y Brenner u1u1 Kessel Rohrleitung Körper Raum PtPT1 PT1 PT1 Für Identifikation Raumverhalten Kenntnis von u 4 erforderlich u2u2 u3u3 u4u4

6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.5 Vorgehensweise Einfachster Fall: Suche als Ersatzsystem ein System 1. Ordnung (PT1-Glied) Vorgehen: Ermittlung / Einzeichnen der Anstiegstangente im Wendepunkt des Kurvenverlaufes Bestimmung der Verzugszeit (Tu) und Ausgleichszeit (Tg) Bestimmung des Proportionalbeiwertes K aus y( ) und u 0 K = y( )/u 0 K, Tu und Tg bestimmen die Parameter des Ersatzsystems Hinweise für die praktische Anwendung: Konstruktion der Wendetangenten Bewertung zur Modellgüte / Fehler & Unterschiede Ersatz-/ Ursprungssystem

7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.6 Ersatzsystem PT1

8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.7 Beispiel für Ersatzsystem PT1 Blau: Messkurve Rot: Wendetangente Grün: PT1 Ersatzsystem Ablesen: Tu = 15 sec. Tg = 85 sec. K = 1 G(s) = e -sTu / (1+sTg) Sprungantwort h(t) = 1-e -(t-Tu)/Tg Für t > Tu, sonst 0

9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.8 Ersatzsystem höherer Ordnung Fall 2: Ersatzsystem höherer Ordnung n > 1 (ab PT2-Glied) Ersatzsystem mit gleicher Zeitkonstanten Vorgehen: Ermittlung / Einzeichnen der Anstiegstangente im Wendepunkt des Kurvenverlaufes Bestimmung der Verzugszeit (Tu) und Ausgleichszeit (Tg) Bestimmung des Proportionalbeiwertes K aus y( ) und u 0 K = y( )/u 0 Bestimmung der Ordnung des Systems K, Tu und Tg bestimmen die Parameter des Ersatzsystems

10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.9 Mathematische Betrachtung Wendepunkt Definition des Wendepunktes (mathematisch). Wir finden den Wendepunkt der Sprungantwort in dem Zeitpunkt, wo sich das Maximum / Minimum der Ableitungskurve (Gewichtsfunktion) befindet. g(t) = y(t) = K / T n · t n-1 / (n-1)! · e -t/T PTn-Glied gleiche Zeitkonst. Wendepunkt bedeutet mathematisch: 1. Ableitung im WP Max/Mini 2. Ableitung O-stelle im WP

11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt Bestimmung Lage Wendepunkt für PTn-Glieder gleicher Zeitkonstanten Math. Vorschrift für WP:0-stelle der 2. Ableitung g(t) = y(t) = K / T n e -t/T [-1/T t n-1 /(n-1)! + 1 /(n-2)! t n-2 ]. g(to) = 0 : [-1/T t n-1 /(n-1)! + 1/(n-2)! t n-2 ] = 0 to = T (n-1). Beispiel System 5. Ordnung T = 40 sec -> Lage des Wendepunkte bei 4 T = 160 s

12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.11 Wert der Gewichtsfunktion im Zeitpunkt to (Wendepunkt) g(t) = y(t) = K / T n · t n-1 / (n-1)! · e -t/T mit to = T (n-1) und Einsetzen ergibt g(to) = y(to) = K / T n · to n-1 / (n-1)! · e -to/T g(to) = y(to) = K / T n · T n-1 (n-1) n-1 / (n-1)! · e -T(n-1)/T g(to) = y(to) = K / T · (n-1) n-1 / (n-1)! · e -(n-1) Ergebnis: mit zunehmender Ordnungszahl wird das Maximum kleiner Anstieg der Sprungantwort wird im Wendepunkt daher flacher für n = 1 (PT1-Glied) existiert kein Wendepunkt Maximum g(to) befindet sich im O-punkt (PT1-Glied)

13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.12 Kurvenverläufe Sprung- und Gewichtsfunktion PTn-Glieder mit gleicher Zeitkonstanten

14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.13 Kennpunkte der Sprungantwort PTn-Glieder mit gleicher Zeit T Kennwerte: TuVerzugszeit TgAusgleichszeit y q Wert der Sprungantwort im Wendepunkt t q Zeitpunkt des Wendepunktes yqyq

15 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.14 Relationen / Math. Beziehungen to = T (n-1) y q /y( ) = 1 – e -(n-1) Σ (n-1) k /k!Einsetzen von to in y(t) Tg/T = (n-2)! /(n-1) n-2 e n-1 Anstieg im Wendepunkt = y( )/Tg Tu/T = n – 1 – (n-2)! / (n-1) n-2 [e n-1 - Σ (n-1) k /k!] Zusammenstellung der Kennwerte für PTn mit Gleicher Zeitkonstante:

16 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.15 Fazit Tu / Tg ist nicht von T abhängig, sondern von der Ordnung n ! Es gilt näherungsweise für 1 <= n <= 7: n 10 Tu /Tg + 1 Mit Bestimmung der Kennwerte Tg, Tu, und y( ) können unmittelbar Die Werte für K, T und n bestimmt werden und damit ein Ersatz- System PTn für gleiche Zeitkonstanten angegeben werden G(s) = K / (1 + sT) n

17 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.16 Blau: Messkurve Rot: Wendetangente Grün: PT1 Ersatzsystem Pink: PT3-Ersatzsystem Ablesen: Tu = 15 sec. Tg = 85 sec. K = 1 n = 1O Tu/Tg +1 n = 3 T = to/2 = 20 sec G(s) = 1 / (1+sT) 3 Sprungantwort: h(t) = 1 – e -t/T [1 + t/T + ½ t 2 /T 2 ] Beispiel für Ersatzsystem (höherer Ordnung)

18 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.17 Alternative Verfahren zur Findung Ersatzsysteme (1) Strategie: Feststellen von Totzeiten Bei Totzeit Verschieben um Tt Konstruktion der Wende- tangenten Bestimmung der Ordnung über Verhältnis y WT (o)/y( ) Ansatz für n=2 mit PT2-Glied und 2 verschiedenen Zeit- konstanten Ansatz für n>= 2 mit PTn-Glied mit gleicher oder harmonisch gestaffelter Zeitkonstanten

19 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.18 Alternative Verfahren zur Findung von Ersatzsystemen Lösungsansatz: PT2-Glied mit unterschiedlichen Zeit- konstanten Aus dem Verhältnis der Werte y(t70/4) und y( ) ermittelt man q und damit T1 & T2

20 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.19 Alternative Verfahren zur Findung von Ersatzsystemen (2) Bestimmung des PTx-Gliedes für gleiche und verschiedene Zeitkonstanten: Aus dem Verhältnis der Sprung- Antwortwerte y(t63/2) und y( ) ist n und D(n) festlegt.

21 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.20 Verfahren nach Radtke

22 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.21 Verfahren nach Sponer

23 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.22 Anwendungsbeispiel Kurvenverlauf: PT3-Ersatzsystem Excel-Beispiel : PTx-Kurve PTx-Kurve mit 1. und 2. Ableitung PTx-Kurve mit Wendetangente PTx-Kurve mit Bestimmung der Verzugszeit (Tu) PTx-Kurve mit Bestimmung der Ausgleichszeit (Tg) PTx-Kurve mit Ersatzsystem als PT1-Glied PTx-Kurve mit Ersatzsystem nach n = 10Tu/Tg + 1

24 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.23 Erfahrungswerte zur Reglerein- stellung für technische Prozesse Quelle: Samal Über die Regelbarkeit von Prozessen gibt das Zeitverhältnis Tu/Tg Aufschluss: gut regelbar noch regelbar schwer regelbar Aus der Sprungantwort eines Systems mit Ausgleich kann direkt auf die Regelbarkeit geschlossen werden (Faustformel).

25 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.24 Einstellungsregeln für Regelstrecken und Regler Wenn gilt: Tg/Tu > 3 können die Regeln nach Chien, Hrones und Rewick angewendet werden. Führungsverhalten ReglerartAperiodischer Verlauf ü=0 Regelverlauf mit 20% Überschwingen P-ReglerKR PI-ReglerKR TN PID-ReglerKR TN TV

26 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.25 Beispiel für Regelkreis Messkurve zur Regelstrecke: Gesucht: Einstellung eines PI-Reglers nach Chien, Hrones und Rewick für minimales Überschwingen!

27 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.26 Beispiel für Regelkreis Messkurve zur Regelstrecke: Gesucht: Einstellung eines PI-Reglers nach Chien, Hrones und Rewick für Überschwingen von 20%!


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