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Vergleich zwischen numerischer, exakter und Näherungslösung - Quasistationarität Technische Universität Darmstadt Vortrag von Maryia Shakun.

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Präsentation zum Thema: "Vergleich zwischen numerischer, exakter und Näherungslösung - Quasistationarität Technische Universität Darmstadt Vortrag von Maryia Shakun."—  Präsentation transkript:

1 Vergleich zwischen numerischer, exakter und Näherungslösung - Quasistationarität Technische Universität Darmstadt Vortrag von Maryia Shakun

2 Vortrag von Maryia Shakun, Inhalt EinleitungEinleitung exakte Lösung eines Differentialgleichungssystemsexakte Lösung eines Differentialgleichungssystems Näherungslösung des DifferentialgleichungssystemsNäherungslösung des Differentialgleichungssystems Beispiel IBeispiel I Beispiel IIBeispiel II Anwendung der numerischen VerfahrenAnwendung der numerischen Verfahren

3 Vortrag von Maryia Shakun, Einleitung die meisten chemischen Prozessen bestehen aus einer Vielzahl von Elementarreaktionendie meisten chemischen Prozessen bestehen aus einer Vielzahl von Elementarreaktionen exakte analytische Lösung des entstehenden Differentialgleichungssystems aus den Zeitgesetzten ist sehr aufwendig oder gar nicht möglichexakte analytische Lösung des entstehenden Differentialgleichungssystems aus den Zeitgesetzten ist sehr aufwendig oder gar nicht möglich in diesem Fall werden entweder numerische oder die Näherungsverfahren angewendetin diesem Fall werden entweder numerische oder die Näherungsverfahren angewendet der Vergleich dieser Verfahren wird hierbei auf dem Beispiel der Reaktionen mit Zwischenprodukten betrachtetder Vergleich dieser Verfahren wird hierbei auf dem Beispiel der Reaktionen mit Zwischenprodukten betrachtet

4 Vortrag von Maryia Shakun, Exakte analytische Lösung betrachtet wird eine Folgereaktion aus zwei Elementarreaktionen jeweils erster Ordnung:betrachtet wird eine Folgereaktion aus zwei Elementarreaktionen jeweils erster Ordnung: Zeitgesetze:Zeitgesetze: inhomogene DGL

5 Vortrag von Maryia Shakun, Exakte analytische Lösung Lösung: Methode der Variation der Konstanten; Randbedingungen: [S 1 ] t=0 =[S 1 ] 0 ; [S 2 ] t=0 =0; [S 3 ] t=0 =0.Lösung: Methode der Variation der Konstanten; Randbedingungen: [S 1 ] t=0 =[S 1 ] 0 ; [S 2 ] t=0 =0; [S 3 ] t=0 =0.

6 Vortrag von Maryia Shakun, Exakte analytische Lösung für den Fall: k 23 > k 12 (k 12 / k 23 = 0.1)für den Fall: k 23 > k 12 (k 12 / k 23 = 0.1) S 2 – kurzzeitiges reaktives SpeziesS 2 – kurzzeitiges reaktives Spezies

7 Vortrag von Maryia Shakun, Näherungslösung – Quasistationarität Annahme: die Konzentration des reaktiven Spezies S 2 ist während der gesamten Reaktion bis auf die Induktionsphase klein und nahezu konstant ! starke Vereinfachung der Geschwindigkeits- gesetze ! Konzentrationen werden aus [S 1 ] 0 berechnet

8 Vortrag von Maryia Shakun, Näherungslösung – Quasistationarität Die Lösung entspricht bis auf die anfängliche Überhöhung der [S 2 ] der exakten analytischen LösungDie Lösung entspricht bis auf die anfängliche Überhöhung der [S 2 ] der exakten analytischen Lösung k 23 > k 12 ! ( k 12 / k 23 =0.1) exakte Lösung Näherungslösung

9 Vortrag von Maryia Shakun, Beispiel I betrachtet wird der komplizierte Reaktionsmechanis- mus – der Zerfall von C 3 H 8betrachtet wird der komplizierte Reaktionsmechanis- mus – der Zerfall von C 3 H 8 CH 3., C 2 H 5., C 3 H 7. sind reaktive ZwischenstufenCH 3., C 2 H 5., C 3 H 7. sind reaktive Zwischenstufen d[RZ]/dt = 0d[RZ]/dt = 0

10 Vortrag von Maryia Shakun, Beispiel II: S N 1-Reaktionen zwei Fälle: 1)k 2 [Y - ] << k -1 [X] 2)k 2 [Y - ] >> k -1 [X]

11 Vortrag von Maryia Shakun, Grenzen der Näherungsverfahren die Näherungslösungen wie Quasistationarität sind nur bei bestimmten Reaktionsbedingungen (T und Zusammensetzung) eine gute Lösungdie Näherungslösungen wie Quasistationarität sind nur bei bestimmten Reaktionsbedingungen (T und Zusammensetzung) eine gute Lösung zur Lösung der DG wurde angenommen, dass k 12 konzentrationsunabhängig ist, was in der Realität nicht der Fall istzur Lösung der DG wurde angenommen, dass k 12 konzentrationsunabhängig ist, was in der Realität nicht der Fall ist schneller chemischer Prozess (~10 -6 s) ist nicht immer schnell in der Realität, weil dessen Kopplung mit den physikalischen Prozessen (~10 -3 s) stattfindetschneller chemischer Prozess (~10 -6 s) ist nicht immer schnell in der Realität, weil dessen Kopplung mit den physikalischen Prozessen (~10 -3 s) stattfindet

12 Vortrag von Maryia Shakun, in diesen Fällen werden numerische Verfahren angewendet: z.B. z.B. ILDM (intrinsish low dimensional manifolds) – Methode FGM (flamelet generated manifolds) – Methode. FGM (flamelet generated manifolds) – Methode. Anwendung der numerischen Verfahren

13 Vortrag von Maryia Shakun, Literatur M. Wright, Chemical Kinetics, John Wiley & Sons, 2004.M. Wright, Chemical Kinetics, John Wiley & Sons, Freyland, Kappes, Mitschrieb zu Physikalische Chemie I: Thermodynamik und Kinetik, 2001/2002.Freyland, Kappes, Mitschrieb zu Physikalische Chemie I: Thermodynamik und Kinetik, 2001/2002. P. W. Atkins, Physikalische Chemie, 2.Auflage, Wiley-VCH Verlag, Weinheim (1996).P. W. Atkins, Physikalische Chemie, 2.Auflage, Wiley-VCH Verlag, Weinheim (1996). R. Bender, Modelierung der Kopplung von chemischen Reaktion und turbulener Mischung, Diss. Universität Stuttgart, 2003.R. Bender, Modelierung der Kopplung von chemischen Reaktion und turbulener Mischung, Diss. Universität Stuttgart, 2003.


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