Klicke Dich mit der linken Maustaste durch das Übungsprogramm!

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1 Klicke Dich mit der linken Maustaste durch das Übungsprogramm!
Berechnungen am Kreis Ein Übungsprogramm der IGS - Hamm/Sieg © IGS-Hamm/Sieg 2007 Dietmar Schumacher Klicke Dich mit der linken Maustaste durch das Übungsprogramm!

2 Vorbemerkungen: Du bekommst in dieser Übung
Berechnungen am Kreis erklärt.

3 Berechnungen am Kreis Hallo, ich bin ein Kreis. k Kreislinie k
Was du von mir hier siehst, ist die Kreislinie k. Mittelpunkt M Meine Kreislinie hat überall den gleichen Abstand von meinem Mittelpunkt. M r Radius r d Durchmesser d Meist nennt man meinen Mittelpunkt einfach M. Ich habe aber noch mehr wichtige Körperteile. Diese wichtige Linie ist mein Radius, er heißt r. Mein Radius ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Kreislinie. Dann gibt es noch meinen Durchmesser d, mein Durchmesser ist eine Strecke von Kreislinie zu Kreislinie durch meinen Mittelpunkt.

4 Berechnungen am Kreis Hopsa, hier bin ich wieder!
Es gibt aber auch noch andere Körperteile von mir: die Sekanten, Sehnen, Kreisbögen, Tangenten und Mittelpunktswinkel. Einige von Ihnen werde ich euch später zeigen. Fangen wir jetzt aber mit der Sekante an. Wird die Kreislinie von einer Geraden geschnitten, deren Abstand vom Mittelpunkt kleiner ist, als der Radius des Kreises, so nennt man diese Linie eine Sekante. Der Abschnitt der Sekante, der innerhalb des Kreises liegt, heißt Sehne. Die längsten Sehnen eines Kreises sind diejenigen, die durch den Kreismittelpunkt gehen. Ihre Länge ist gleich dem Durchmesser des Kreises.

5 Berechnungen am Kreis Hier ist ein roter Kreissektor dargestellt. b
Er besteht aus: r s a einer Sehne s einem Kreisbogen b r zwei Radien r einem Mittelpunktswinkel a Man kann die Fläche des Sektors und die Länge des Kreisbogens berechnen. Das machen wir jedoch erst, wenn wir den Umfang und die Fläche eines Kreises berechnet haben.

6 Berechnungen am Kreis Manchmal geht bei mir auch der
Mittelpunkt verloren, dann muss ich meine Kumpels, die Strecken, Geraden und Winkel bitten, mir bei der Suche zu helfen. M Weißt du, wie ich meinen Mittelpunkt finden kann? Lösung: Ich zeichne zwei beliebige Sehnen. Ich errichte auf jeder Sehne die Mittelsenkrechte. Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich im Mittelpunkt des Kreises.

7 Berechnungen am Kreis r Zur Berechnung meines Umfangs brauchst du eine
besondere Zahl, sie wird mit dem griechischen Buchstaben p (pi) bezeichnet. Die Größe von p ist nur näherungsweise zu bestimmen, sie entspricht 3,14…. Bisher wurde das Geheimnis um p noch nicht ganz gelöst. Da p eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: sie ist unendlich und nicht periodisch. Die ersten 50 dezimalen Nachkommastellen sind: p = 3, ….. Du kannst p herausfinden, in dem du dir einen Kreis aufmalst, ihn in 16 Sektoren aufteilst, die Sektoren ausschneidest und sie wie im Beispiel oben zusammenlegst. Wenn du nun die Länge der Strecke U/2 misst und durch den Radius deines Kreises teilst, so erhältst du eine Zahl, die 3,14, also p, nahe kommt. Du kannst auch einen Kreis zeichnen und die Länge des halben Umfangs mit einem Bindfaden messen. Wenn du jetzt das Ergebnis deiner Messung durch den Radius deines Kreise teilst, bekommst du eine Ergebnis, was sich auch 3,14, also p, noch mehr nähert.

8 Berechnungen am Kreis Wenn ist, dann ist r
Schauen wir uns jetzt mal die Berechnung meines Umfangs genauer an. Da die zusammengelegten Sektoren fast ein Parallelogramm ergeben, entspricht mein Umfang der Summe der längeren Seiten dieses Parallelogramms, also: Wenn ist, dann ist Zur Berechnung des Umfang reicht es aus, wenn wir für p den Wert 3,14 einsetzen.

9 Berechnungen am Kreis Wir berechnen jetzt einmal meinen Umfang:
Mein Radius beträgt 4 cm. Ich setze diesen Wert in die Formel für die Umfangsberechnung ein. Zur Berechnung des Umfang reicht es aus, wenn wir für p den Wert 3,14 einsetzen. r = 4 cm Mein Umfang beträgt also 25,12 cm.

10 Berechnungen am Kreis Jetzt noch ein Beispiel mit einem anderen Wert für den Radius r. Der Radius r beträgt 7 cm. Ich setze diesen Wert in die Formel für die Umfangsberechnung ein. Zur Berechnung des Umfang reicht es aus, wenn wir für p den Wert 3,14 einsetzen. r = 7 cm Der Umfang beträgt also 43,96 cm.

11 Berechnungen am Kreis h = r
Zur Berechnung meiner Fläche brauchst du wieder die Zahl p. Die zusammengelegten Sektoren entsprechen der Fläche des Kreises und bilden ein Parallelogramm. Die Fläche eines Parallelogramms berechnen wir mit der Formel In unserem Fall entspricht und Wenn wir also für g und h die Bezeichnungen des Kreises einsetzen, erhalten wir zur Berechnung der Kreisesfläche folgende Formel: oder

12 Berechnungen am Kreis Wir berechnen jetzt einmal meine Fläche:
Mein Radius beträgt 4 cm. Ich setze diesen Wert in die Formel für die Flächenberechnung ein. Zur Berechnung der Fläche reicht es aus, wenn wir für p den Wert 3,14 einsetzen. r = 4 cm Meine Fläche beträgt also 50,24 cm².

13 Berechnungen am Kreis Jetzt noch ein Beispiel mit einem anderen Wert für den Radius r. Der Radius beträgt 7 cm. Ich setze diesen Wert in die Formel für die Flächenberechnung ein. Zur Berechnung der Fläche reicht es aus, wenn wir für p den Wert 3,14 einsetzen. r = 7 cm Die Fläche beträgt also 153,86 cm².

14 Berechnungen am Kreis Zum Schluss noch eine mathematische Spielerei, die aber wichtig ist. Gegeben ist der Umfang eines Kreises von 37,68 cm. Berechne seine Fläche. Die Lösung ist eigentlich einfach. Ich nehme die Formel zur Berechnung des Umfangs und stelle sie so um, dass r gesucht ist. | die Gleichung durch 2p teilen Ich nehme jetzt die Formel zur Berechnung der Kreisfläche und gebe dort den gerade errechneten Wert für r ein. Jetzt erst setze ich den gegebenen Wert für den Umfang und p in die Gleichung ein und rechne aus. Die Fläche beträgt also 113,04 cm².

15 Berechnungen am Kreis Nun in einem Rutsch!
Gegeben ist der Umfang eines Kreises von 37,68 cm. Berechne seine Fläche. 1. Teil (Berechnung von r) | die Gleichung durch 2p teilen 2. Teil (Berechnung der Fläche) | den errechneten Wert für r einsetzen Die Fläche beträgt also 113,04 cm².

16 Berechnungen am Kreis Zum Schluss noch eine weitere mathematische Spielerei, die aber auch wichtig ist. Gegeben ist die Fläche eines Kreises von 113,04 cm². Berechne seinen Umfang. Die Lösung ist eigentlich auch sehr einfach. Ich nehme die Formel zur Berechnung der Fläche und stelle sie so um, dass r gesucht ist. | die Gleichung durch p teilen | die Wurzel ziehen Ich nehme jetzt die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs und gebe den eben errechneten Wert für r ein. Jetzt erst setze ich den gegebenen Wert für Fläche und p in die Gleichung ein und rechne aus. Der Umfang beträgt also 37,68 cm.

17 Berechnungen am Kreis Nun in einem Rutsch!
Gegeben ist die Fläche eines Kreises von 113,04 cm². Berechne seinen Umfang. 1. Teil (Berechnung von r) 2. Teil (Berechnung des Umfangs) Der Umfang beträgt also 37,68 cm.

18 Berechnungen am Kreis Berechnungen am Kreis
Hier wird ein roter Kreissektor dargestellt. b Er besteht aus: r s a einer Sehne s einem Kreisbogen b r= 4cm zwei Radien r einem Mittelpunktswinkel a Wir berechnen jetzt die Fläche des roten Kreissektors. Wir sehen, dass der Mittelpunktswinkel a eine besondere Bedeutung hat, er ist hier 90°. Da ein Vollkreis einen Mittelpunktswinkel von 360° hat, ist die dargestellte Sektorfläche bei einem Mittelpunktswinkel von 90° also ¼ eines Vollkreises Es gibt dazu eine Formel, die uns beim Lösen hilft: Der dargestellte rote Sektor hat eine Fläche von 12,56 cm².

19 Berechnungen am Kreis Berechnungen am Kreis
Hier wird ein roter Kreissektor dargestellt. b Er besteht aus: r s a einer Sehne s einem Kreisbogen b r= 4cm zwei Radien r einem Mittelpunktswinkel a Wir berechnen jetzt die Länge des Kreisbogens b. Wir sehen, dass der Mittelpunktswinkel a eine besondere Bedeutung hat, er ist hier 90°. Da ein Vollkreis einen Umfang vom 2pr hat, ist die dargestellte Bogenlänge b bei einem Mittelpunktswinkel von 90° also ¼ des Umfangs eines Vollkreises. Es gibt dazu eine Formel, die uns beim Lösen hilft: Der dargestellte rote Bogen b hat eine Länge von 6,28 cm.

20 Berechnungen am Kreis Nur zur Erinnerung!
Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck, dessen Grundseite der Durchmesser eines Kreises ist und dessen Spitze auf diesem Kreis liegt, rechtwinklig ist. Kurz gesagt: Der Winkel im Halbkreis ist ein rechter. Ich zeichne die Strecke AB und halbiere sie. C2 Um den Mittelpunkt der Seite zeichne ich einen Halbkreis mit dem Radius MA. b C1 C3 Auf dem Halbkreis lege ich die Punkte C1 , C2 und C3 fest. a g Ich verbinde die Punkte jeweils mit A und B und erhalte 3 rechtwinklige Dreiecke. a = 90° A B b = 90° M g = 90°