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Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz 28.04.2008.

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Präsentation zum Thema: "Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz 28.04.2008."—  Präsentation transkript:

1 Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Methoden der Psychologie Ziele Maximale Trennung von Gruppen auf einem gegebenem Set von p Meßvariablen. Auffinden von latenten Diskriminanzfunktionen, die sukzessive maximale Gruppentrennung gewährleisten. In der Regel: Auffinden eines niedrig dimensionierten Diskriminanzraumes, in dem die Gruppen separierbar sind. Case-Classification in optimalen, niedrig dimensionierten Räumen. Bestimmung von Klassifikationsfunktionen für Case-Classification. Discriminant Function Analysis (DFA) Gleiche (homogene) Varianz-Kovarianz Matrizen in allen Gruppen. Testungen der Gruppenunterschiede (Centroide), sowie der Homogenität der j - Matrizen erfordern die Gültigkeit der multivariaten Normalverteilung. Voraussetzung Diskriminanzanalyse (DFA) Klassifikation

3 Methoden der Psychologie Optimierung des Verhältnisses der Quadratsummen für between und within Group Varianz. Lösung über Eigenwertzerlegung einer aus B und W Komponenten zusammengesetzten Matrix. Diagnostische Trennung schwierig zu trennender Gruppen. Bestimmung kritischer diagnostischer Variablen / Reduktion auf relevante diagnostische Variablen in multivariaten Klassifikationen. Konstruktion von Algorithmen zur Mustertrennung (Pattern recognition machines) und Bildklassifikation (bildgebende Verf.). Qualitätskontrolle und Evaluation von Versuchs- und Kontrollgruppen in multivariaten Designs. Anwendung Restriktion gleicher Varianz-Kovarianz Matrizen in allen Gruppen. Case-Classification: Klassifikation im Diskriminanzraum hat gegen- über MDC und Baysian Classifier keine wesentlichen Vorteile (außer Sparsamkeit) und läuft auf dasselbe hinaus. Ansatz Nachteile Diskriminanzanalyse (DFA) Klassifikation

4 Methoden der Psychologie 2D-Beispiel Klassifiziere anhand von Fühlerlänge (X 1 ) und Flügellänge (X 2 ) möglichst eindeutig in Stechmücke (c 1 ) und Blindmücke (c 2 ). Das geht mit einem Kriteriumswert auf jeder einzelnen Variable X 1 und X 2 offenbar nicht. Problem 2D BeispielDiskriminanzanalyse Bestes Kriterium auf x 2 Bestes Kriterium auf x 1

5 Methoden der Psychologie 2D-Beispiel 2D BeispielDiskriminanzanalyse Lösung: Eine lineare Kriteriumsfunktion teilt den Variablenraum in 2 Gebiete: Oberhalb Stechmücke (c 1 ), unterhalb Blindmücke (c 2 ) Fühlerlänge: X1 Flügellänge: X2 BlindmückeStechmückeKriterium Kriteriumsfunktion Somit folgt die Klassifikationsfunktion

6 Methoden der Psychologie Einfache Lösung: 2D BeispielDiskriminanzanalyse Zuerst die Daten im Nullpunkt zentrieren und dann um den optimalen Winkel drehen ! x1x1 x2x2 Zentrierung & Rotation Die Varianz zwischen den Gruppen wird auf der Achse x 1 maximiert, und x 2 steht senkrecht x 1. Eine Parallele zu x 2 liefert das optimale Trennkriterium.

7 Methoden der Psychologie z-Standard 2D BeispielDiskriminanzanalyse Diskriminanz- funktion Die neue x- Achse z 1 ist die Diskriminanzfunktion y. Auf ihr läßt sich ein Kriterium zur optimalen Trennung beider Gruppen finden. standardisiert Koordinaten rotiert um = 46° (clockwise) Da eine Drehoperation auf die Diskriminanzfunktion geführt hat, ist sie darstellbar als eine Linearkombination der alten Koordinaten:

8 Methoden der Psychologie y: Linear- kombination 2D BeispielDiskriminanzanalyse Koeffizienten von y Das Auffinden der Koeffizienten b 1 und b 2 ist also identisch mit dem Problem, den optimalen Drehwinkel zu bestimmen. Hierfür braucht man ein Kriterium der gewünschten maximalen Trennung, und die Lösung des dahinter stehenden Maximierungsproblems. y (Diskriminanzfunktion) Kriterium y 0 blind stech Da gilt mitund [Excel-Beispiel]

9 Methoden der Psychologie Rotation zur y - Funktion 2D BeispielDiskriminanzanalyse y (Diskriminanzfunktion) z1z1 z2z2 Klassifikation Case-Classification durch einfachen Vergleich mit dem Kriterium y 0. Prüfung des Gruppenunterschieds mit einem einfachen t - Test auf y. Voraussetzung: homogene Varianz-Kovarianz Matrizen. y (Diskriminanzfunktion) Kriterium y 0 blind stech

10 Methoden der Psychologie Maximiert wird das Verhältnis der Quadratsummen für die Variation auf y zwischen Gruppen QS B und der Variation innerhalb Gruppen QS w. Güte-Kriterium Diskriminanzanalyse Kriterium der Maximierung (Wähle die Koeffizienten b so, daß (b) maximal wird) mit K = Anzahl Gruppen n l = Umfang Gruppe l Wie in der Varianzanalyse gilt die Quadratsummenzerlegung Quadrat- summen- zerlegung

11 Methoden der Psychologie : (Eigenwert der Maximierung) KennwerteDiskriminanzanalyse Kenngrößen der Güte Offenbar gilt

12 Methoden der Psychologie Test & NormierungDiskriminanzanalyse - Test der ist 2 verteilt mit m(K-1) Freiheitsgraden Trennleistung Die Trennleistung wird mit einem 2 Test auf Signifikanz getestet K = Anzahl Gruppen N = n l = n 1 + n 2 +…n K m = Anzahl Variablen Gepoolte Varianz der y - Funktion Die Varianz innerhalb der Gruppen wird zu einer gepoolt: Normierte y - Funktion Damit wird die Varianz der Diskriminanzfunktion auf 1 normiert:

13 Methoden der Psychologie B und W Matrix der x-VariablenDiskriminanzanalyse Es gilt: MANOVA Additivität der Variation Totale QS und Kreuzprodukte Kompakte Darstellung Regel Hierin sind die x Vektoren mit m Komponenten (Variablen): Within Group QS und Kreuzprodukte Between Group QS und Kreuzprodukte Die Matrizen B und W werden als inneres Produkt (Zeilen- mal Spalten) der Variablen-Vektoren aufgebaut und dann über Fälle und Gruppen summiert.

14 Methoden der Psychologie B und W Matrix der x-VariablenDiskriminanzanalyse Treatment (Group) Quadratsummen & Kreuzprodukte B-Matrix (p=2 Vars) Komponenten x1x1 x2x2 x1x1 x2x2 Var Group

15 Methoden der Psychologie B und W Matrix der x-VariablenDiskriminanzanalyse Within group Quadratsummen & Kreuzprodukte (gepoolt) W-Matrix (p=2 Vars) Komponenten x1x1 x2x2 x1x1 x2x2 Var Group W aus gepoolten - Matrizen mit l der Varianz-Kovarianz Matrix in Gruppe l.

16 Methoden der Psychologie Gang der Lösung (DFA)Diskriminanzanalyse ist die Darstellung der Quadratsummen der Diskriminanzfunktion y über die quadratische Form mit dem Vektor der b - Koeffizienten Max-Bedingung Eigenwert- bedingung b ist Eigenvektor von A A ist eine m x m Matrix, also ist v allgemein m- stellig. Zu jedem Eigenwert ungleich 0 existiert ein Eigenvektor v. Die Stellen des v Vektors sind die gesuchten Diskriminanzkoeffizienten jeder Diskrimi- nanzfunktion. mit Maximierung führt auf und dies auf nach Vormultiplizieren mit auf was eine Eigenwertbedingung für die Matrix ist.

17 Methoden der Psychologie Lösung (DFA)Diskriminanzanalyse Eigenvektoren v Normierung der Diskriminanz- funktion y Damit kann y direkt nach der Bestimmung normiert werden, indem man Anzahl von v mit Es gibt so viele Eigenvektoren v, und damit auch so viele Diskriminanzfunktionen, wie die kleinere Zahl aus der Anzahl der Gruppen-1 und der Anzahl der Variablen, m. Die gepoolte Varianz der einer Diskriminanzfunktion erhält man direkt aus der quadratischen Form als Koeffizientenvektor der normierten Diskriminanzfunktion verwendet: Nicht standardisiert Sind die Variablen x nicht standardisiert worden, kommt eine additive Konstante hinzu: mit

18 Methoden der Psychologie Mehrere DFs (Diskriminanz- raum) Sukzessive extrahierte Diskriminanzfunktionen klären absteigend geordnet Diskriminationsvarianz auf. Es gilt für die anteilige Varianzaufklärung durch Funktion y i Alle Diskriminanzfunktionen können auf signifikante Diskrimi- nationsleistung getestet werden (s. z.B. Bortz, 2005, S. 610) DiskriminanzraumDiskriminanzanalyse Alle sukzessiven Diskriminanzfunktionen sind orthogonal. Das Prinzip der Aufteilung der Diskriminationsvarianz auf sukzessiv nach Beitrag geordnete und orthogonale Diskriminanz- faktoren ist mit der PCA gut vergleichbar. Daraus ergibt sich auch ein vergleichbarer Anwendungszusammen- hang (s.n.)

19 Methoden der Psychologie Anwendung Ermittlung relevanter Diskriminationsvariablen. Wenn man an einer Reduktion der kritischen Varablen interessiert ist. DiskriminanzraumDiskriminanzanalyse Kann im Diskriminanzraum mit denselben Verfahren (MDC, QCR, Baysian Classifier) wie üblich gemacht werden. Die Einzelfall-Klassifikation wird im vollständigen Diskriminanz- nicht besser als im Variablenraum mit allen Variablen. Vorteile ergeben sich nur, wenn weniger Variablen verwendet werden sollen. Wenn der Vergleich / die Trennung von Populationen im Vordergrund steht: Benutzt man k -Diskriminanzfunktionen als Eingabedaten für MANOVA oder T 2 Kontraste, wird eine maximale Trennschärfe erreicht, die größer ist als die der k einzelnen Variablen des Sets für k < m. Einzelfall- Klassifikation Die DFA gestattet die Herleitung einfacher Klassifikationsfunktionen mit denen die Fallklassifikation besonders ökonomisch ist.


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