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Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz 21.05.2008.

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Präsentation zum Thema: "Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz 21.05.2008."—  Präsentation transkript:

1 Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Methoden der Psychologie Ziele Mehrgruppen / Mehrfaktorenvergleiche von Messungen auf mehreren abhängigen Variablen. Vermeidung von Entscheidungsfehlern durch fälschliche implizite Unabhängigkeitsannahme bei univariater Abtestung der einzelnen abhängigen Variablen. Vermeidung der Probleme durch multiples Testen durch Verwendung eines einzigen Tests für das gesamte Design. Verbesserte Teststärke und Validität bei Verwendung von Testbatterien und (mäßig) korrelierten Profilskalen. Multivariate Varianzanalyse (MANOVA) Gleiche (homogene) Varianz-Kovarianz Matrizen ( j ) in allen Gruppen. Testungen der Gruppenunterschiede (Centroide), sowie der Homogenität der j - Matrizen erfordern die Gültigkeit der multivariaten Normalverteilung. Voraussetzung Multivariates Testen MANOVA

3 Methoden der Psychologie Vergleich der Quadratsummen für between und within Group Varianz, erzeugt aus allen Variablenkomponenten. Statistik erhält man ebenso über über Eigenwertzerlegung einer aus B und W Komponenten zusammengesetzten Matrix. Allgemein: Experimentelle Analyse im Rahmen von multidimen- sionalen Evaluationsstudien. Multiple Effektivitätsstudien. Nachweise der Veränderung von Profilen durch experimentelle oder therapeutische Intervention in repeated measurement Designs. Untersuchung differentieller Effekte auf mehren Ebenen (Mehrebeneanalyse). (Z.B. Arbeitszufriedenheit auf 3 Hierachieebenen untersuchen). Anwendung Restriktion gleicher Varianz-Kovarianz Matrizen in allen Gruppen. Auswirkung der Verletzung der Annahme der multivariaten Normalverteilung schwer abzuschätzen. Ansatz Nachteile Multivariates Testen MANOVA

4 Methoden der Psychologie 1 Promill 0.5 Promill 2D-Beispiel Generell: g- Gruppen gemessen auf p Variablen. Hier g=2, p=2, Koordination (X 1 ) und Fahrleistung (X 2 ) Gleiche Regressionssteigungen und gleiche Varianzen in den Gruppen auf beiden Variablen (Homogenität der Varianzen und Covarianzen) Stichprobendaten entstammen multivariat normalverteilten Populationen. Prototypische Datensituation 2D Beispiel MANOVA Koordination: X1 Fahrleistung: X2 Regression 1 Promill Regression 0.5 Promill

5 Methoden der Psychologie 2D-Beispiel Univariat sind die Rohwertverteilungen nicht gut getrennt, und daher ebenfalls nicht die Mittelwerteverteilungen (hohes N nötig für signi- fikante Gruppenunterschiede in den Kennwerteverteilungen) Signifikanzurteile sind unabhängig und führen zu p Signifikanzaus- sagen, obwohl nur eine erwünscht ist Information der gleichen Beziehung zwischen den abhängigen Variablen (gleiche Korrelation) wird nicht genutzt. 1D - Testen unzulänglich 2D Beispiel MANOVA Koordination: X1 Regression 1 Promill Regression 0.5 Promill Fahrleistung: X2 1 Promill 0.5 Promill

6 Methoden der Psychologie 2D-Beispiel 2D 95% Quantile zeigen an, daß die Mittelwerte der jeweils anderen Gruppe nicht mehr im Konfidenzbereich der Rohwerte liegen (bei den univariaten Verteilungen liegen sie darin) Orthogonal zur Hauptvarianzrichtung der Ellipsen bestehen optimale Trennbedingungen für die Mittelwerte Ein Test, in den die Korrelation der beiden Variablen eingeht, hat daher optimale Chancen, Unterschiede der Centroide aufzudecken. 2D - Testen Ausgangslage 2D Beispiel MANOVA Koordination: X1 Regression 1 Promill Regression 0.5 Promill Fahrleistung: X2 MANOVA 1 Promill 0.5 Promill

7 Methoden der Psychologie Problem Annahmen 1. One-Way MANOVA MANOVA Unterscheiden sich g unabhängige Populationen in ihren auf p Variablen gemessenen Centroiden ? 1.Die Samples X 1l, X 2l,…, X nll sind Zufallsstichproben der Größe n l mit einem Populationszentroiden m l. Die Zufallsstichproben sind unabhängig. 2.Alle Populationen haben dieselbe wahre Varianz-Covarianzmatrix S. 3.Jede Population ist p- variat normalverteilt. g = Anzahl Gruppen n = n l = n 1 + n 2 +…n g p = Anzahl Variablen Population 1: Population 2: Population g: Konstanten i : Fälle (Personen) l : Gruppen Indices

8 Methoden der Psychologie Datenschema 1. One-Way MANOVA MANOVA Population 1: Var Group Case x ilj Population 2:Population g: Zu prüfende Annahmen Homogenität der Varianz-Covarianz-Matrizen und p-variate Normalverteilung der Stichprobenwerte Parameter- schätzer …

9 Methoden der Psychologie MANOVA Modell 1D Analog Grand Mean abziehen, Kreuzprodukt bilden, und summieren über Fälle ergibt: Totale QS und Kreuzprodukte Treatment QS und Kreuzprodukte Fehler QS und Kreuzprodukte p x p Matrizen Additive Zerlegung BeobachtungGrand MeanTreatmenteffektFehlerkomponente Additives Modell zum Vergleich von Centroiden aus g Populationen mit e il unabhängigen und N(0, S ) verteilten Fehlerkomponenten. 1. One-Way MANOVA MANOVA

10 Methoden der Psychologie Regel Hierin sind die x Vektoren mit p Komponenten (Variablen): Die Matrizen B und W werden als inneres Produkt (Zeilen- mal Spalten) der Variablen-Vektoren aufgebaut und dann über Fälle und Gruppen summiert. Sie sind stets p x p Matrizen. p x p Matrizen Es gilt: Matrix-Notation Additivität der Variation Totale QS und Kreuzprodukte Within Group QS und Kreuzprodukte Between Group QS und Kreuzprodukte 1. One-Way MANOVA MANOVA

11 Methoden der Psychologie W-Matrix aus gepoolten S - Matrizen mit S l der Varianz-Covarianz Matrix in Gruppe l. Treatment (Group) Quadratsummen & Kreuzprodukte B-Matrix (p=2 Vars Beispiel) Komponenten x1x1 x2x2 x1x1 x2x2 Var Group 1. One-Way MANOVA MANOVA Var

12 Methoden der Psychologie MANOVA Table Source of Variation Test-Statistik 1. One-Way MANOVA MANOVA Matrix of SS & Cross- Products (SSP) Degrees of Freedom Treatment Error Total B W M = B + W g - 1 n - 1 Die H 0 : t 1 = t 2 = … = t g = 0 wird abgelehnt, wenn (Quotient der generalisierten Varianzen, Wilks Lambda) zu klein wird. Alternative Berechnung mit s der Rang der Matrix W -1 B und i ihr i-ter Eigenwert

13 Methoden der Psychologie - Test der 2 Verteilung mit p(g-1) Freiheitsgraden, Bartlett) Wilks Statistik Lehne H 0 ab, wenn Simultane Kontraste Als Kontraste sind Wilks-Tests oder Hotellings T 2 gebräuchlich: 1. One-Way MANOVA MANOVA Für p < 3 und g < 3 sind F-Tests üblich. Bartletts Test ist für größere Stichproben und eine größere Anzahl Variablen exakt. ist verteilt wie Vorteil der MANOVA mit (Höhere Freiheitsgrade)

14 Methoden der Psychologie ist 2 verteilt mit p(p+1)(g-1)/2 Freiheitsgraden Voraussetzung Homogene S – Matrizen Prüfgröße 1. One-Way MANOVA MANOVA Der Test setzt g multivariat normalverteilte Populationen voraus. Ebenso sollte die Anzahl der Messungen in den Gruppen n l > 20 und die Anzahl der Variablen p < 5 sein. Voraussetzung und Probleme der Prüfung Box-M Test Testung über die Homogenität der Korrelationsmatrizen (Residualanalyse) prüft nur die Homogenität der Covarianzen, nicht der Varianzen. Diese können aber mit einem Bartlett Test Gesondert auf Homogenität geprüft werden.

15 Methoden der Psychologie Problem Annahmen 2. Two-Way MANOVA MANOVA Gibt es Effekte in auf p Variablen gemessenen Centroiden hinsichtlich Der Stufen von Faktor A, Faktor B und ihrer Kombinationen A x B ? 1.Alle Samples sind Zufallsstichproben mit einem Populations- zentroiden m l. Die Zufallsstichproben sind unabhängig. 2.Alle Populationen haben dieselbe wahre Varianz-Covarianzmatrix S. 3.Jede Population ist p- variat normalverteilt. Pop 1: Pop 2: Pop g: Pop 1: Pop 2: Pop k: Faktor A Faktor B (gleiche Annahmen wie in der Oneway-MANOVA, aber bezogen auf alle g x k Samples)

16 Methoden der Psychologie Datenschema Exkurs: Two-Way ANOVA MANOVA Mittelwerte CaseA1A1 A2A2 A3A3 1 x x x x x A B 5 B1B1 B2B2 x 112 x 212 x 312 x 412 x 512 x 121 x 221 x 321 x 421 x 521 x 122 x 222 x 322 x 422 x 522 x 131 x 231 x 331 x 431 x 531 x 132 x 232 x 332 x 432 x 532 x1.x1. x2.x2. x3.x3. x.1x.1 x.2x.2 Jede Messung wird nach Fall/StufeA/StufeB indiziert Zellmittel und Faktorstufenmittel (über.-Stelle gemittelt) x 11 x 21 x 31 x 12 x 22 x 23 A: g Stufen, Index l B: k Stufen, Index r VP: n Cases, Index i

17 Methoden der Psychologie Komponenten Modell Exkurs: Two-Way ANOVA MANOVA Additives Modell zur Erklärung einer individuellen Messung mit e ilr ein unabhängiger und N(0, s ) verteilter Meßfehler. Quadratsummen Zerlegung Varianzanteile Faktor AFaktor B A x B Gesamt Fehler

18 Methoden der Psychologie Allgemeine Form der Quadratsumme Exkurs: Two-Way ANOVA MANOVA Erwartungswert der Bedingung Summe über alle Fälle der Bedingung Bedingung Beobachtung unter Bedingung Beispiel: QS AxB Erwartung: Beobachtung:

19 Methoden der Psychologie ANOVA QS Table SoVQSdf A Error Total g - 1 Exkurs: Two-Way ANOVA MANOVA B k - 1 A x B (g- 1) (k- 1)

20 Methoden der Psychologie Fehlervarianz Schätzungen Exkurs: Two-Way ANOVA MANOVA 1. Schätzung aus der Variation innerhalb Zellen: 2. Schätzung aus der Variation zwischen Zellen (Beispiel A) Nullhypothese & erwarteter F-Bruch Quotienten von Varianzen sind F- verteilt. Der Erwartungswert unter der Nullhypothese für den F- Quotienten ist 1.

21 Methoden der Psychologie Ergebnistabelle F - Tests Exkurs: Two-Way ANOVA MANOVA Ergebnistabelle Varianzanteile Die 2 - Tabelle gibt einen Überblick über die Varianzaufklärung und die anteilige Verteilung auf die Quellen Die F - Tabelle gibt einen Überblick über die Signifikanztestung.

22 Methoden der Psychologie MANOVA Modell Dem Komponentenmodell entspricht eine additive Zerlegung auf den p- stelligen Variablenvektoren Die Matrizen enthalten entsprechende Sums of Squares and Cross Products (SSP), daher wird oft diese Bezeichnung verwendet: p x p Matrizen (QS-Zerlegung) mit e ilr unabhängigen und N(0, S ) verteilten Fehlerkomponenten. 2. Two-Way MANOVA MANOVA Additives Modell einer individuellen Messung auf p- Variablen Additive Zerlegung M = B A + B B + B AB + W SSP Total = SSP A + SSP B + SSP AB + SSP Error

23 Methoden der Psychologie MANOVA SSP Table SoVSSPdf A Error Total g - 1 B k - 1 A x B (g- 1) (k- 1) 2. Two-Way MANOVA MANOVA

24 Methoden der Psychologie - Tests Lehne H 0 ab, wenn 2. Two-Way MANOVA MANOVA Test-Statistik Die H 0 für jede Varianzquelle wird abgelehnt, wenn (Quotient der generalisierten Varianzen, Wilks Lambda) zu klein wird. Faktor A Faktor B A x B

25 Methoden der Psychologie A: Alkohol (3 Stufen) B: Geschlecht (M/W) x: Fahrleistung y: Koordination 2. Two-Way MANOVA - Plots MANOVA Geschlechtseffekt (B) auf beiden Variablen, keine Haupteffekte Alkohol (A) Beispiel Faktor - Plots M W A X-Y - Plot (Standardisiert an Fehlervarianz jeder Variable)

26 Methoden der Psychologie A: Alkohol (3 Stufen) B: Geschlecht (M/W) x: Fahrleistung y: Koordination 2. Two-Way MANOVA - Plots MANOVA Geschlechtseffekt (B) nur auf X, keine Haupteffekte Alkohol (A) Beispiel Faktor - Plots M W A X-Y - Plot (Standardisiert an Fehlervarianz jeder Variable)

27 Methoden der Psychologie A: Alkohol (3 Stufen) B: Geschlecht (M/W) x: Fahrleistung y: Koordination 2. Two-Way MANOVA - Plots MANOVA Kein Effekt (B) zwei gegenläufige Haupteffekte (A), keine Interaktionen Beispiel Faktor - Plots M W A X-Y - Plot (Standardisiert an Fehlervarianz jeder Variable) 1 2 3

28 Methoden der Psychologie A: Alkohol (3 Stufen) B: Geschlecht (M/W) x: Fahrleistung y: Koordination 2. Two-Way MANOVA - Plots MANOVA Keine Haupteffekte, 2 gleichgerichtete Interaktionen Beispiel Faktor - Plots M W A X-Y - Plot (Standardisiert an Fehlervarianz jeder Variable)

29 Methoden der Psychologie A: Alkohol (3 Stufen) B: Geschlecht (M/W) x: Fahrleistung y: Koordination 2. Two-Way MANOVA - Plots MANOVA Keine Haupteffekte, 2 gegengerichtete Interaktionen Beispiel Faktor - Plots M W A X-Y - Plot (Standardisiert an Fehlervarianz jeder Variable)

30 Methoden der Psychologie A: Alkohol (3 Stufen) B: Geschlecht (M/W) x: Fahrleistung y: Koordination 2. Two-Way MANOVA - Plots MANOVA Keine Haupteffekte, eine Interaktion (X) Beispiel Faktor - Plots M W A X-Y - Plot (Standardisiert an Fehlervarianz jeder Variable)


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