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Uni Essen WS 2009/101 Kap. 7: Die quadratische Funktion – numerisch, graphisch, theoretisch Dr. Dankwart Vogel.

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1 Uni Essen WS 2009/101 Kap. 7: Die quadratische Funktion – numerisch, graphisch, theoretisch Dr. Dankwart Vogel

2 Uni Essen WS 2009/102 Beispiel 1 Rohölreserven der Welt Wann ist der Vorrat erschöpft? Drei Beispiele

3 Uni Essen WS 2009/103 Beachte: Nimmt der Verbrauch linear zu, so nimmt der Vorrat quadratisch ab. Jahresverbrauch n Jahre nach 2007 in Mio. Barrel pro Tag: Verbleibende Erdölreserven n Jahre nach 2007 in Mrd. Barrel: Frage: Wann genau ist das Vorkommen erschöpft? Die Antwort gibt zunächst Excel: Numerisch: nVorrat 2941,1 30-4,0

4 Uni Essen WS 2009/104 Graphisch: Bereits 2037 ist das Erdölvorkommen erschöpft.

5 Uni Essen WS 2009/105 Theoretisch Gesucht ist die Lösung einer Gleichung der Form: Beachte: Wir sind zum kontinuierlichen Modell übergegangen. Interessiert uns nicht nur, wann das Ölvorkommen auf null, sondern wann es auf irgendeinen Wert gesunken ist, müssen wir die Funktion umkehren. Beide Probleme  Lösen einer (quadratischen) Gleichung und  Umkehren einer (quadratischen) Funktion können wir graphisch, numerisch oder algebraisch angehen.

6 Uni Essen WS 2009/106 Auch die Umkehrfunktion lässt sich graphisch, numerisch und algebraisch finden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die quadratische Funktion nur für umkehrbar ist. Graphisch Lies am Funktionsgraph zum gegebenen r-Wert den zugehörigen t-Wert ab.Funktionsgraph Numerisch Mit TR oder Excel Tabellenfunktion Solver Algebraisch quadratische Ergänzung p/q-Formel

7 Uni Essen WS 2009/107 Beispiel Umkehrung der quadratischen Funktion 1.Durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.Spiegelung 2.Durch Vertauschen von x und y und Auflösen nach x: Die zweite Lösung (negative Wurzel) entfällt, da vorausgesetzt ist.

8 Uni Essen WS 2009/108 Umkehrung der quadratischen Funktion allgemein  Durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.Spiegelung  Durch Vertauschen von x und y und Auflösen nach x: Eine der beiden Lösungen entfällt, je nach dem welcher Ast der Funktion g umzukehren ist.

9 Uni Essen WS 2009/109 Formen der quadratischen Gleichung (1) Allgemeine Form (2) Normalform (3) Scheitelpunktform (4)Produktdarstellung (5) Drei-Punkte-Form Jede dieser Formen hat ihre Berechtigung. Frage: Wann verwenden wir welche?

10 Uni Essen WS 2009/1010 Beweis: Da sich jedes quadratische Polynom in die Scheitelpunktsform bringen lässt, geht sein Graph durch Strecken und Verschieben aus der NP hervor – ist also eine Parabel. Der Graph eines quadratischen Polynoms quadratisches PolynomGraph des Polynoms NormalparabelNormalparabel (NP) um a in y-Richtung gestreckt zusätzlich um in y- Richtung verschoben zusätzlich um in x- Richtung verschoben Satz: Der Graph des quadratischen Polynoms ist eine Parabel.

11 Uni Essen WS 2009/1011 Was man sich merken sollte 1.Die Streckung muss der Verschiebung in y-Richtung vorausgehen, sonst ist die Reihenfolge egal. (Warum?) 2.Die x-Koordinate von S ist, denn S liegt genau in der Mitte zwischen beiden Nullstellen. (Denke an die p/q-Formel!) Dies bleibt richtig, wenn die Parabel keine oder eine Nullstelle hat. Die y-Koordinate ergibt sich dann durch Einsetzen. So erhält man schnell, mühelos und sicher die Scheitelpunktsform aus der Normalform. 3.Die p/q-Formel ersetzt nicht die Methode der quadratischen Ergänzung. (Wer dagegen die quadratische Ergänzung beherrscht, kann die p/q-Formel jederzeit herleiten, also entbehren.) 4.Jedes quadratische Polynom lässt sich auf die Form bringen. An ihr lässt sich sofort ablesen, dass es bei sein Minimum (bzw. Maximum) annimmt, wenn (bzw. ) ist.

12 Uni Essen WS 2009/1012 Aufgabe Wie kann man allein aus dem Bild einer Parabel auf die Vorzeichen der Koeffizienten a, b, c in schließen? Exploration

13 Uni Essen WS 2009/1013 Lösung Die Parabel ist nach oben geöffnet Der Scheitelpunkt liegt links der y- Achse Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist oberhalb O

14 Uni Essen WS 2009/1014 P A U S E


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