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Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 8 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik.

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1 Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 8 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

2 Repräsentation von Körpern Die ikonische Repräsentation von Körpern ist gegenüber der ebener Figuren besonders problematisch, da Längen und Winkel verzerrt dargestellt werden Deshalb ist bei Körpern die unmittelbare enaktive Repräsentation unerlässlich! Bei Körpern unterscheidet man grob zwischen Kanten-, Flächen- und Voll- bzw. Füllkörpermodellen, die passend zu den jeweiligen Lernzielen eingesetzt werden müssen –Kantenmodell: Kanten-, Diagonaleneigenschaften,… Teilfiguren, wie Stützdreiecke müssen selbst wieder z.B. als Pappfigur repräsentiert werden –Flächenmodell: Formen der Begrenzungsflächen, Netze, Oberflächenmaß, … –Voll- bzw. Füllkörpermodell: Volumen, Gewicht, Dichte…

3 Welches der Dreiecke ist rechtwinklig? BA EF H G C D

4 Zum Aufbau eines mentalen Modells von Körpern müssen –die unterschiedlichen Modelltypen von den Schülern selbst hergestellt werden Flächenmodell: –Wie viele Seitenflächen? –Welche Formen bzw. Beziehungen? –Welche Lage? (Körpernetz!) Kantenmodell: –Überlegung notwendig: Wie viele Kanten welcher Länge Vollmodell: –Zusammenhang Herstellung – Eigenschaft (Rollen – Zylinder) Achten Sie dabei auf sauberes Arbeiten! –die Körper als Kanten- oder Flächenmodell strukturiert werden durch Repräsentation relevanter Aspekte z.B. mittels Farbe Prozess des Aufbaus –diese strukturierenden Repräsentationen verbal erläutert werden –entsprechende Vorstellungsübungen gemacht werden (z.B. Wechselspiel zwischen Betrachtung des realen Modells mit offenen und des mentalen Modells bei geschlossenen Augen)

5 –die Körper von den Schülern als Schrägbild gezeichnet werden –Strukturierungen durch Einfärben dort sichtbar gemacht werden –der Wechsel vom Modell zum Schrägbild mit entsprechenden Übungen gestaltet werden, damit das Schrägbild richtig interpretiert wird (z.B. Einzeichnen von Diagonalen, Schnittfiguren,…) –reale, zeichnerische oder mentale Operationen an Körpern vorgenommen werden (z.B. Schnitte, Verlängerung von Seiten, …)

6 Repräsentation der Kantenbeziehungen

7 Repräsentation der Seitenflächenbeziehungen

8 Repräsentation des Quadermantels

9 Repräsentation des Quaders als Prisma

10 Netze von Körpern Körper, die von ebenen Flächen begrenzt werden heißen Polyeder (Vielflächner) Diese Begrenzungsflächen sind Vielecke Das Netz eines Körpers erzeugt man, indem man diesen entlang von Kanten aufschneidet und in der Ebene ausbreitet. Diesen Prozess nennt man Abwicklung

11 Beispiele: Gegenbeispiel: Nicht an einer gemeinsamen Kante zusammenhängend! Nicht zusammenhängend!

12 Wie entscheidet man, ob etwas ein Würfel- bzw. ein Quadernetz ist? –mental-visuelles Zusammenfalten Vorstellungshilfe: Schweren Körper auf Grundfläche stellen –Anwenden von Ausschlusskriterien Kein „U“ kein „5er-Band“ kein „großer Winkel“ –Speziell für Quadernetze 3 Paare kongruenter Rechtecke Über Eck keine ungleichlangen Rechtecksseiten großes Ukleines U U 5er-Band großer Winkel

13 Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es? gleich oder verschieden? Drehen Umklappen

14 Lernziele zu Körpernetzen Einprägen von Körpereigenschaften Hilfe zur Oberflächenberechnung –Bei der Oberflächenberechnung sollte generell auf Formeln verzichtet werden Umwelterschließung: –Bau von Körpern Vermeidung von Leimkanten Optimale Ausnutzung des Materials (Parkettieren mit Netzen) –Lösen von Verpackungsproblemen Training des räumlichen Vorstellungsvermögens –speziell des mental-visuellen Operierens und –der Nutzung von Relativlagen

15 Standardnetze der geraden quadratischen Pyramide „sternförmig“„mantelförmig“ Repräsentiert SymmetrieRepräsentiert Aufteilung in Mantel- und Grundfläche

16 Konstruktionsmöglichkeit 1: „Kreise um Eckpunkte“ Konstruktionsmöglichkeit 2: „Kreis um Mittelpunkt und Mittelsenkrechten der Grundkanten“ Konstruktionsmöglichkeit 3: „Grundkanten als Sehnen am Umkreis des Mantelnetzes antragen“

17 Konstruktionsaufgabe Geg: Grundkantenlänge a= 3cm und Pyramidenhöhe h pyr = 4cm Ges: Netz der Pyramide

18 Standardnetze der geraden Rechteckspyramide Vorgehensweisen analog zur quadratischen Pyramide

19 Netz einer beliebigen Dreieckspyramide

20 Netz einer beliebigen Vieleckspyramide Bedingungen für Pyramidennetze: (1)aufeinandertreffende Dreiecksseiten jeweils gleichlang (2)Dreiecksseiten nicht zu kurz (3)Spurgeraden der Dreiecksspitzen schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenfußpunkt der Pyramide (Ist bei Dreieckspyramiden bereits mit (1) erfüllt) Bei konkaven Körpern kann es bei der „Abwicklung“ zu Überlappungen kommen!


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