Nichstandard- Analaysis Thema f ü r die Schule?. Gliederung: I. Aufgaben II. Was ist Nichtstandard-Analysis? III. Bedeutung f ü r die Schule IV. Diskussion.

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1 Nichstandard- Analaysis Thema f ü r die Schule?

2 Gliederung: I. Aufgaben II. Was ist Nichtstandard-Analysis? III. Bedeutung f ü r die Schule IV. Diskussion

3 I.Aufgaben Bitte bearbeitet gemeinsam in euren Gruppen die vor euch liegenden Aufgaben. Ihr habt dazu ca. 5 Minuten Zeit.

4 II. Was ist Nichtstandard-Analysis? Weitere Str ö mung der Analysis Bestehen schon (fast) immer nebeneinander Herangehensweise ohne den abstrakten Begriff des Grenzwertes 1. Modell: 1960er Jahre durch Abraham Robinson (Axiomatische Grundlegung)

5 II. Was ist Nichtstandard-Analysis? N ä her an den Ideen der Gr ü nder der Infinitesimalrechnung Newton und Leibniz Gibt Infinitesimalzahlen: - Zahlen, die n ä her bei 0 als jede reelle Zahl ≠ 0 - Zahlen, die >, bzw. < als jede reelle Zahl

6 III. Bedeutung f ü r die Schule Beginn: Kenntnisse ü ber Zahlbereiche IN, Z, Q, IR auffrischen Dann: ü ber Zahlenfolgen Konstruktion des Nichtstandard-Zahlbereiches (+ Eigenschaften) ü ber Funktionenfolgen Nichtstandard- Funktionen einf ü hren

7 III. Bedeutung f ü r die Schule Zahlenfolgen sind entscheidender Zugang auch zum Nichtstandard- Zahlbereich → Beispielvorrat ben ö tigt (Arbeitsblatt) Was kann GW bedeuten? Gibt es GWs? Welche? Warum nicht? Kann Probleme auch gut verpacken (Arbeitsblatt)

8 III. Bedeutung f ü r die Schule Zentrale Frage: Wie kann man sinnvoll mit Folgen ohne GW umgehen? Traditionelle vs. Andere Sicht:

9 III. Bedeutung f ü r die Schule traditionellunkonventionell 1, ½, ⅓, ¼,... GW reelle Zahl 0bestimmt unendl. kleine Zahl 1, ¼, 1/9, 1/16,... GW reelle Zahl 0bestimmt andere unendl. Kl. Zahl 1, 2, 3, 4,... kein GWbestimmt unendl. gro ß e Zahl 2, 4, 6, 8,.... kein GWbestimmt andere unendl. Gr. Zahl

10 III. Bedeutung f ü r die Schule Traditionelle Mathematik: Jede Cauchy- konvergente Folge bestimmt reelle Zahl. Hier: Jede Folge (auch divergente) bestimmt Zahl. → gibt unendl. gro ß e und unendl. kleine Zahlen

11 III. Bedeutung f ü r die Schule Def.: x* hei ß t unendlich klein  ∀ n ∈ IN: Ix*I < 1/n Nichtstandard-Zahlen als Argumente und Funktionswerte in Funktionen: - einfachster Fall ist Ü bertrag →f(x)=2x, x ∈ IR; f(x*)=f(x 1, x 2,...)=2x*, x* ∈ *IR =(2x 1, 2x 2,...)=(f(x 1 ), f(x 2 ),...)

12 III. Bedeutung f ü r die Schule Komplizierter, wenn Fkt. nicht alle gleich: f(x 1, x 2,...)=(x 1, x 2 ², x 3 ³,...) hei ß en interne Funktionen (Beispiele siehe Arbeitsblatt)

13 III. Bedeutung f ü r die Schule Stetigkeit: Def.: (klassisch) f ist stetig in a  ∀ ε ∃ δ ∀ x: Ix-aI< δ → If(x)- f(a)I< ε. Def.: (nichtstandard) f ist stetig in a  ∀ x* ∈ *IR: x*≈a → f(x*)≈f(a).

14 III. Bedeutung f ü r die Schule Differenzierbarkeit: Def.: (klassisch) f ist diff`bar an Stelle x mit Ableitung f`(x)  lim h → 0 [f(x+  x)-f(x)]/  x =f`(x) mit eindeutigem f`(x). Def.: (nichtstandard) f ist diff`bar an Stelle x mit Abl. f`(x)  ∀ 0≠IdxI<<1: [f(x+dx)-f(x)]/dx≈ f`(x) mit eindeutigem f`(x) (x*=dx).

15 III. Bedeutung f ü r die Schule Anmerkungen zum Unterricht: Sch ü ler haben mit unendlich gro ß en, bzw. kleinen Zahlen nicht mehr Probleme als mit reellen, bzw. komplexen Zahlen. IN, Z, Q sind konkret fassbar IR, C, *IR sind als Idee vorstellbar, der Umgang mit ihnen bringt Verst ä ndnis

16 IV. Diskussion Ist die Nichtstandard-Analysis ein Thema f ü r die Schule? Wenn ja, in welcher Form? Wie f ü hrt man sie ein? Vor, w ä hrend oder nach der Standard-Analysis?

17 Danke f ü r eure Aufmerksamkeit! Und sch ö ne Semesterferien!