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1 www.geometrie.tuwien.ac.at GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Freiformflächen mit Microstation Andreas Asperl, Stefan Leopoldseder Institut für Diskrete Mathematik.

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1 1 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Freiformflächen mit Microstation Andreas Asperl, Stefan Leopoldseder Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie TU Wien zahlreiche Figuren mit freundlicher Genehmigung von Helmut Pottmann und Michael Hofer

2 2 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Kurzfassung: Bézier-Kurven

3 3 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Bézier Kurven: Algorithmus von de Casteljau b0b0 b1b1 b2b2 b3b3 b01b01 b11b11 b21b21 b02b02 b12b12 b03b03 de Casteljau-Schema: b 0 b 1 b 0 1 b 2 b 1 1 b 0 2 b 3 b 2 1 b 1 2 b t Bézier-Kurven sind die einfachsten Freiformkurven und sind in fast allen CAD-Paketen standardmäßig enthalten.

4 4 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Mathematische Beschreibung einer Bézier-Kurve Bézier-Kurve mit n+1 Kontrollpunkten b 0,…,b n (Grad n): b 0 n (t) = wobei … Bernstein Polynome Bézier-Kurve mit 4 Kontrollpunkten b 0,…,b 3 : b 0 3 (t) = (1 - t) 3 b 0 + 3(1 - t) 2 t b 1 + 3(1 - t) t 2 b 2 + t 3 b 3 Bézier-Kurve mit 3 Kontrollpunkten b 0,b 1,b 2 : b 0 2 (t) = (1 - t) 2 b 0 + 2(1 - t) t b 1 + t 2 b 2 Bézier-Kurve mit 2 Kontrollpunkten b 0,b 1 : b 0 1 (t) = (1 - t) b 0 + t b 1

5 5 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Bézier-Flächen

6 6 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Bézier-Flächen Bézier-Flächen vom Grad (m,n) werden durch ein Netz von Kontrollpunkten b i,j bestimmt, 0<=i<=m, 0<=j<=n. Parametrisierung einer Bézier-Fläche:

7 7 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Bézier-Flächen Zur Konstruktion eines Flächenpunktes einer (m,n) Bézier- Fläche: Jede der m+1 ´Zeilen´ (verbinden jeweils n+1 Punkte mit festem Index i) als Kontrollpolygone auffassen und zum selben Teilverhältnis Kurvenpunkte konstruieren. Dies liefert m+1 Punkte, welche die Kontrollpunkte einer Bézier-Kurve m-ten Grades sind, die ganz auf der Fläche liegt.

8 8 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Bézier-Flächen Auf einer Bézier-Fläche vom Grad (m,n) liegt eine Schar von Bézier-Kurven vom Grad m, sowie eine Schar von Bézier-Kurven vom Grad n, die ganz auf der Fläche liegen. Bézier-Kurven, Grad m=3 Bézier-Kurven, Grad n=2

9 9 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Bézier-Flächen Randkurven eines Bézier-Flächenstücks sind Bézier-Kurven Eckpunkte des Kontrollnetzes sind Punkte des zugehörigen Bézier-Flächenstücks

10 10 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Bézier-Regelflächen Da eine Bézier-Kurve ersten Grades eine geradlinige Strecke ist, ist eine Bézier- Fläche vom Grad (1,n) oder (m,1) ein Regelflächenstück. Sind bei einer Bézier-Fläche vom Grad (1,n) die n+1 Spaltenstrecken parallel, so erhält man ein Stück einer Zylinderfläche, das von den Bézier-Kurven zu den Randpolygonen des Netzes begrenzt wird.

11 11 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 HP-Fläche als Bézier-Fläche Eine Bézierfläche vom Grad (1,1) ist eine HP- Fläche Eine Bézier-Fläche vom Grad (1,1) ist durch 4 Kontrollpunkte B 0,0, B 0,1, B 1,0, B 1,1 gegeben, welche zu einem Kontrollvierseit verbunden werden Falls dieses Vierseit nicht in einer Ebene liegt, ist die Bézier-Fläche das HP- Flächenstück mit dem Kontrollvierseit als Erzeugendenvierseit B0,0B0,0 B0,1B0,1 B1,0B1,0 B1,1B1,1

12 12 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 HP-Fläche als (2,2)-Bézier-Fläche Eine HP-Fläche entsteht auch durch das Ver- schieben einer Parabel p längs einer Parabel q (p,q mit parallelen Achsenrichtungen, gegengleich geöffnet) Eine HP-Fläche kann also auch als Bézier-Fläche vom Grad (2,2) modelliert werden. Analog kann auch ein elliptisches Paraboloid so erzeugt werden. Achtung: Eine Bézier- fläche vom Grad (2,2) ist im allg. keine Quadrik! B 0,0 B 0,2 B 0,1 B 2,2 B 2,1 B 2,0 B 1,2 B 1,1 B 1,0

13 13 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Abwickelbarkeit von Bézier-Regelflächen Eine Erzeugende heisst torsal, wenn längs der gesamten Erzeugenden dieselbe Tangentialebene berührt. Das Regelflächenstück ist abwickelbar (ohne Verzerrungen in die Ebene abbildbar) genau dann, wenn alle Erzeugenden torsal sind. Das Modellieren einer abwickelbaren Regelflächen durch Bézier-Flächen ist sehr komplex. Es gelten nichtlineare Nebenbedingungen an die Position der Kontrollpunkte. Mit Ausnahme von Zylinder- und Kegelflächen sind abwickelbare Freiformflächen in CAD Paketen nicht enthalten. torsale Erzeugende nichttorsale Erzeugende

14 14 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Kurzfassung B-Spline-Kurven

15 15 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Grad und Kontrollpunkte von Splines Splines sind Kurven, welche aus mehreren Kurvenstücken niedrigen Grades zusammen gesetzt sind. Der Grad der Bezier- Segmente heißt Grad der Splinekurve. Die Kontrollpunkte des Splines sind oft von den Kontrollpunkten der Beziersegmente verschieden.

16 16 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Grad und Kontrollpunkte von B-Spline-Kurven kubische B-Spline-Kurve –mit B-Spline Kontrollpolygon d i –mit Kontrollpolygonen der kubischen Béziersegmente d5d5 d4d4 d3d3 d2d2 d1d1 d0d0

17 17 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 B-Spline-Kurven, NURBS B-Spline-Kurven wurden ins Computer Aided Design von J. Ferguson (1964) bei Boeing eingeführt. In CAD-Systemen taucht auch oft der Name NURBS (= Non-Uniform Rational B- Splines) auf. B-Spline-Kurve Grad 3 B-Spline-Kurve Grad 2 B-Spline-Kurve Grad 7 (= Bézier)

18 18 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 B-Spline Kurven B-Spline-Kurven können offen oder geschlossen sein (in CAD Paketen als Option wählbar) Bei einer geschlossenen B- Spline-Kurve (periodische B- Spline-Kurve) ist das Kontrollpolygon ein geschlossenes Polygon. Die ersten und letzten Kontrollpunkte stimmen überein.

19 19 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 B-Spline-Flächen

20 20 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 B-Spline-Flächen Die Bézier-Methode ist zum Design komplizierterer Formen deshalb kaum geeignet, weil bei höherem Grad die Fläche die From der Eingabefigur nicht gut wiedergibt. Oft ist auch der globale Einfluss der Kontrollpunkte unerwünscht: Änderung eines einzigen Punktes beeinflusst das Flächenstück im gesamten Bereich. In der Praxis verwendet man daher oft B-Spline-Flächen. Auf dieselbe Art wie man von Bezier-Kurven auf Bezier- Flächen erweitert, gelangt man von B- Spline-Kurven auf B-Spline-Flächen

21 21 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 B-Spline-Flächen Die mathematische Beschreibung einer B-Spline-Fläche basiert auf einem Vierecksnetz; dieses besitzt im allgemeinen vier Randpolygone und beschreibt demnach ein von vier Randkurven begrenztes Flächenstück Fallen ein oder zwei Paare gegenüberliegender Randpolygone des Vierecksnetzes zusammen, so entstehen schlauchförmige bzw. torusförmige Flächen

22 22 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Beispiel Verbindungstorse Zwei (ebene oder Raum-)Kurven p und q sollen durch eine abwickelbare Fläche (Torse) verbunden werden. Diese Fläche ist eine Regelfläche und jede Erzeugende e i verbindet jeweils zwei Kurvenpunkte p i und q i, deren Kurventangenten gemeinsam mit der Erzeugenden e in einer Ebene liegen. pipi qiqi eiei

23 23 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Beispiel Verbindungstorse In Microstation ist eine Verbindungsregelfläche implementiert: Die Kurven p und q werden parametrisiert und als B-Splinekurven p(t) und q(t) approximiert. Danach werden die Kurvenpunkte p(t i ) und q(t i ) zu gleichem Parameter t i mit einer Erzeugenden verbunden. pipi qiqi eiei

24 24 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Anwendungen von Freiformflächen

25 25 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Freiformflächen Freiformflächen sind wegen ihrer großen Bedeutung im industriellen Design (z.B. Automobilindustrie, Schiffbau) entwickelt worden. Sie finden inzwischen auch grosses Interesse für repräsentative Architekturen Freiformmodule findet man in allen CAD- Systemen Preston Scott Cohen; Torus House; Old Chatham Frank O. Gehry; Experience Music Project Kunsthalle Graz; Planung: Peter Cook, Colin Fournier

26 26 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Freiformflächen in der Forschung Approximation einer gegebenen Fläche durch eine B-Splinefläche. Das nichtlineare Optimierungs- problem (unbekannte Position der Kontroll-punkte) wird iterativ mit einer Newton-Methode gelöst.

27 27 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Freiformflächen in der Forschung Approximation einer gegebenen Fläche durch eine B-Spline Regelfläche vom Grad (3,1). Die approximierende Regelfläche ist nicht abwickelbar, kann in einem nächsten Schritt aber durch eine Torse angenähert werden.

28 28 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Anwendung: Reverse Engineering eines Werkstücks

29 29 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Punktwolke

30 30 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Polygonmodell

31 31 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Digitales Flächenmodell

32 32 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 CAD Modell

33 33 GEOMETRIE Wien, 18.Nov D Ausdruck

34 34 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Unterteilungskurven (Subdivision curves)

35 35 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Unterteilungskurven (Subdivision curves) Grundideen der Unterteilung gehen zurück in die 40er Jahre als G. Rahm „corner cutting“ dazu verwendete glatte Kurven zu beschreiben Anwendungen im CAD, geometrischen Modellieren und in der Computergraphik

36 36 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 P0P0 P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 Q0Q0 R0R0 Q1Q1 R1R1 Q2Q2 R2R2 Q3Q3 R3R3 Chaikins Algorithmus In jedem Iterationsschritt werden die einzelnen Zwischenstrecken bei 1/4 bzw. 3/4 geteilt. In jedem Iterationsschritt k=1,2,… wird dieselbe Methode (corner cutting) angewendet für k  erhält man so eine quadratische B-Spline Kurve

37 37 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Chaikins Algorithmus k = 0 k = 1k = 2 k = 5 k = 3 k = 4

38 38 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Unterteilungsflächen (Subdivision surfaces)

39 39 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Unterteilungsflächen (Subdivision surfaces) Analog zum Kurvenfall wird in jedem Iterationsschritt die polygonale Flächendarstellung verfeinert, durch geeignetes Einfügen neuer Punkte Bsp: Interpolierende Unterteilungsschemata, welche auf einer Triangulierung basieren P.Zorin

40 40 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Unterteilungsflächen (Subdivision Surfaces) Können im Gegensatz zu klassischen Freiformflächen (NURBS-Flächen, …) Flächen beliebiger Topologie darstellen Methode: Ausgehend von einem polygonalen Netz wird dieses nach gegebenen Unterteilungsregeln verfeinert, bis man eine hinreichend glatte Fläche erhält

41 41 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Unterteilungsflächen Für Anwendungen noch wichtiger als der Kurvenfall, weil mit Unterteilungsflächen ein einfacher Zugang zur Modellierung komplizierter glatter Formen mit beliebiger Topologie gegeben ist Geri’s game, Pixar

42 42 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Doo-Sabin-Schema Einer der ersten Unterteilungsalgorithmen für Flächen wurde von Doo und Sabin 1978 vorgestellt Der Algorithmus geht von einem Vierecksnetz aus, welches sodann schrittweise verfeinert wird Orginaler WürfelErste UnterteilungZweite UnterteilungDritte UnterteilungFünfte Unterteilung

43 43 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Doo-Sabin-Schema In jeder Vierecksmasche wird der Schwerpunkt S bestimmt (liegt im Schnitt der Verbindungsgeraden gegenüberliegender Seitenmitten) Die neu eingefügten Punkte sind die Mittelpunkte der Verbindungsstrecken zwischen dem Schwerpunkt und den Ecken der Ausgangsmasche S

44 44 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Doo-Sabin-Schema Die eingefügten Punkte werden nach untenstehendem Prinzip verbunden In einer Ecke mit Valenz k entsteht dabei ein k- Eck als Masche (vergleiche die Dreiecke im angegebenen Beispiel, welche aus Ecken mit Valenz drei entstehen) Die alten Punkte werden nicht weiter verwendet; approximierender Algorithmus

45 45 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Doo-Sabin-Schema Aus Ecken mit Valenz k entstehen k-eckige Maschen In diesen Maschen werden die neuen Punkte analog zu der bei den Vierecken angewandten Regel konstruiert: Man bestimmt den Schwerpunkt S und sodann die Mittelpunkte der Verbindungsstrecken von S mit den Maschenecken S

46 46 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Orginaler WürfelErste UnterteilungZweite UnterteilungDritte UnterteilungFünfte Unterteilung Doo-Sabin-Schema Erzeugt eine Folge von polygonalen Netzen, welche gegen eine bi-quadratische B-spline Fläche konvergieren, bis auf die Umgebung der irregulären Punkte des Ausgangsnetzes Eine Doo-Sabin-Fläche interpoliert die Schwerpunkte der Maschen des Ausgangsnetzes

47 47 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Beispiele zum Doo-Sabin-Schema Man beachte die Möglichkeit der Modellierung von glatten Flächen beliebiger Topologie Dies wäre mit B-Spline-Flächen nur durch kompliziertes Zusammenfügen von B-Spline-Patches möglich

48 48 GEOMETRIE Wien, 18.Nov.2004 Beispiele zum Doo-Sabin-Schema


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