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Hydraulik I Potentialströmung Reale Fluide Navier-Stokes Gleichung W. Kinzelbach.

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Präsentation zum Thema: "Hydraulik I Potentialströmung Reale Fluide Navier-Stokes Gleichung W. Kinzelbach."—  Präsentation transkript:

1 Hydraulik I Potentialströmung Reale Fluide Navier-Stokes Gleichung W. Kinzelbach

2 Venturi Rohr d Gemessen: p 1, p 2, D, d Gesucht: Q 1 2 Lösung: Kontinuität und Bernoulli Rohr horizontal T=20 o

3 Geschwindigkeitsmessung

4 Hydrometrischer Flügel

5 Tracer Methoden t1t1 t2t2 L Verfahren zur Messung von Q: Verdünnungsmethode

6 PTV (=particle tracking velocimetry): Zugabe und Verfolgung von Partikeln Hitzdrahtanemometer: Abkühlung eines elektrisch erhitzten Drahtes durch die Strömung Andere Methoden + - t1t1 t2t2

7 Laserdoppleranemometer: In der Strömung vorhandene Kleinstpartikel durchlaufen ein Interferenzmuster an der Schnittstelle zweier Laserstrahlen. MID (Magnetisches Induktions-Verfahren): In einem durch ein Magnetfeld bewegten Leiter (= Strömung) wird eine Spannung induziert Akustische Laufzeitmessung: Superposition von Schallgeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit

8 Was ist Rotation? Parallelströmung (v x =constant): rotationsfrei  =0 deformationsfrei  y x Beispiel: freie Parallelströmung ohne Wandeinfluss

9 Was ist Rotation? Parallelströmung (v x =f(y): rotationsbehaftet  0 deformationsbehaftet  Beispiel: Strömung in der Nähe einer Wand

10 Was ist Rotation? Kreisströmung rotationsbehaftet  0 Ohne Deformation  Beispiel: Festkörperwirbel

11 Was ist Rotation? Kreisströmung rotationsfrei  0 deformationsbehaftet  Beispiel: Rankine-Wirbel über Bodenöffnung, Aussenströmung 1/r, Kernströmung rotationsbehaftet

12 Potentialströmung 1 Strömung in der gilt: Strömungen, die sich als Gradient eines skalaren Feldes , des Potentials, darstellen lassen sind Potentialströmungen

13 Potentialströmung 2 Kombination von Kontinuität und ergibt Potentialgleichung Ebene Strömung in x-y-Ebene

14 Ebene Potentialströmung 1 Linien gleichen Werts  heissen Potentiallinien Zu den Potentiallinien kann eine orthogonale Linienschar konstruiert werden, die Stromlinien Stromlinien sind Linien gleichen Werts der Stromfunktion  Die Stromfunktion erfüllt ebenfalls die Potentialgleichung, lediglich mit anderen Randbedingungen

15 Ebene Potentialströmung 2 Aus der Bedingung dass die Tangenten von Strom- und Potentiallinien im Schnittpunkt senkrecht stehen gewinnt man die Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen

16 Ebene Potentialströmung 3 Stromlinien und Potentiallinien bilden das Strömungsnetz (vorteilhaft: Quadrasternetz)

17 Ebene Potentialströmung 4 Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien mit Stromfunktionswerten  1 und  2 Dicke der ebenen Strömung 1 Einheit

18 Ebene Potentialströmung 5 Undurchlässige Ränder sind Stromlinien Diagonalen (Tangenten) schneiden sich orthogonal In Maschen können Kreise einbeschrieben werden, die alle 4 Seiten tangieren

19 Anwendungskriterien für Potentialnetze Inkompressibles Fluid Zweidimensionale Strömung Rotationsfreiheit (nur Schwerkraft und Druckkräfte wirksam) Kurze Strömungsabschnitte (damit Reibung klein bleibt, Länge nicht grösser als 5-8 mal Breite) Geringe Zähigkeit des Fluids Strömung ablösungsfrei

20

21 Reale Fluide 1 Laminare Strömung (Zähigkeit dominiert) Turbulente Strömung (Trägheit dominiert) Umschlag laminar-turbulent Kriterium Reynoldszahl in Rohrströmung Kritische Reynoldszahl für Umschlag Re=2300

22 Reale Fluide 2 Euler Zahl Froude Zahl

23 Reibungskräfte

24 Reibungskräfte 2

25 Reibungskräfte 3 Unter Verwendung von

26 Navier-Stokes Gleichung 1 +A.B +R.B.

27 Navier-Stokes Gleichung 2 Dimensionslose Form mit Massstäben L, T, U=L/T t = Tt * x = Lx * u = Uu * p =  U 2 p * Zwei Invarianten Re = UL/ Fr 2 = U 2 /(gL)

28 Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung Nur für einfache Konfigurationen und laminare Strömung möglich Beispiel: Strömung zwischen zwei festen Platten d v x (z) x z

29 Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (2) Parabolisches Profil

30 Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (3) Beispiel: Laminare Rohrströmung Lösung: Mit Navier-Gleichung und Kontinuitätsgleichung in Zylinderkoordinaten: Kontinuitätsgleichung: r z  v z (r)

31 Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (3) Selber aus- probieren!!

32 Laminare Rohrströmung(1) (auf andere Art) Kräftegleichgewicht an Zylinder mit Radius r in Achsenrichtung: Komponente des Gewichts +Kraft aus Druckdifferenz- Kraft aus Reibung = 0 (Impulskräfte heben sich auf, wegen Kontinuität v 1 =v 2 )

33 Laminare Rohrströmung (2) Komponente des Gewichts Kraft aus Druckdifferenz Kraft über Zylindermantel mit

34 Laminare Rohrströmung (3) Mit Newton‘schem Gesetz ergibt sich daraus: und nach Integration: C folgt aus Haft- bedingung v(r 0 )=0

35 Laminare Rohrströmung (4) Damit folgt das Gesetz: Die Geschwindigkeitsverteilung ist ein Rotationsparaboloid. mit Rohrdurchmesser d Da v m =v max /2 gilt damit das Hagen-Poiseuille‘sche Gesetz: Lineares Energieverlustgesetz in der laminaren Strömung

36 Laminare Rohrströmung (5) Verallgemeinerung Für die Wandschubspannung (r=d/2) im Rohr gilt wird ein dimensionsloser Reibungsbeiwert definiert Mit Für ein Rohr der Länge L und mit Durchmesser d gilt dann: Darcy-Weisbach-Gesetz

37 Laminare Rohrströmung (6) Verallgemeinerung Vergleicht man das Darcy-Weisbach Gesetz mit dem Hagen-Poiseuille-Gesetz so folgt ein Reibungsbeiwert: Bei konstantem Q folgt: Wichtig für Blut- Hochdruck bei Arterienverkalkung!!

38 Rohrströmung allgemein Darcy-Weisbach Gesetz wird als universal gültig angenommen mit einem Reibungsbeiwert, der allgemein eine Funktion der Reynoldszahl und der Rohreigenschaften ist. Bei laminarer Strömung Bei stark turbulenter Strömung und rauhem Rohr

39 Widerstandskoeffizient Bei grossen Re: C D konstant, F D prop. zu V 2 Bei kleinen Re: C D =24/Re, F D prop. zu V Analog!

40 Reynoldsgleichungen 1 Reynoldszerlegung: Mittlere Schwankung Turbulenzintensität

41 Reynoldsgleichungen 2 Dabei ist Einfachstes Turbulenzmodell zur Schliessung der Gleichungen mit Wirbelzähigkeit Wirbel

42 Turbulente Schubspannungen (1) Turbulenter Impulstransport durch Fläche A im Abstand y von Wand

43 Turbulente Schubspannungen (2) Gesamtschubspannung: Definition der Schubspannungsgeschwindigkeit Prandtl‘sche Mischwegtheorie: Weg L über den Wirbel sein Identität verliert

44 Logarithmisches Geschwindigkeitsprofil Gesetz der Wand: L=  y Karmankonstante  =0.4 Durch Integration folgt das logarithmische Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Wandströmung wobei  w die Dicke der viskosen Unterschicht ist. In der viskosen Unterschicht ist das Geschwindigkeitsprofil linear:

45 Grenzschichtströmung Grenzschichtdicke=Wandabstand bei dem 99% von erreicht.

46 Wandrauheit Äquivalente Sandrauheit k RohrmaterialRauheit k (mm) Gusseisen mit Bitumenanstrich 0.12 Betonrohre roh1.0 bis 3.0 Gezogene Glasrohre glatt Gezogene Stahlrohre 0.03 bis 0.1

47 Geschwindigkeitsprofile (1) Laminar A=

48 Geschwindigkeitsprofile (2) Übergangsbereich: 5

49 Geschwindigkeitsprofile (3) Korrektur für Profil in Impulssatz Korrektur für Profil in Energiesatz 1<  < 


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