Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil.

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1 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/1 Numerik partieller Differentialgleichungen Teil 3:Numerische Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen Kap. 6: Diskretisierung von parabolischen Gleichungen am Beispiel der Wärmeleitgleichung Inhalt: Die Wärmeleitgleichung Diskrete Formen der Wärmeleitgleichung Stabilität, Konsistenz und Konvergenz Versuche: Lösung der Wärmeleitgleichung nach expliziten und impliziten Verfahren

2 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/2 Numerische Methoden Klassifizierung partieller Differentialgleichungen Allgemeine Form + Rand-/Anfangs-Bedingungen Alternative Form über Formale Aufteilung < elliptisch (e) = 0parabolisch (p) > hyperbolisch (h)

3 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/3 Numerische Lösung von partiellen Dglen - prinzipielles Vorgehen 1.Beschreibung des Lösungsgebietes durch Zonen und Maschen 2. Beschreibung der Gebiete mit gleichem Lösungsansatz durch Basisgebiete 3.Auswahl des Lösungsansatzes -punktweise Darstellung - Entwicklung nach bekannten Funktionen -stochastisch 4.Diskretisierung der Operatoren 5.Aufstellung der Systemgleichungen 6.Lösung des linearisierten Gleichungssystems 7.Darstellung der Ergebnisse

4 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/4 Numerische Methoden Das Differenzenverfahren in seiner Grundform 1.Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Rechtecke 2.Lösungspunkte auf Maschenrand oder Maschenmitte 3.Lösung konstant in Basisgebiet 4.Diskretisierung der Operatoren über Taylorreihen 5.Tri- und pentdiagonale Systeme. Diagonal dominant bis auf hyperbolische Gleichungen 6,Lösen auf Basis Gauß-Seidel möglich 7.Darstellung von Verläufen längs Linien

5 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/5 Numerische Lösung von partiellen Dglen - Das Finite Elemente-Verfahren 1.Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Gebiete beliebiger Form (FiniteElemente), über die Differentialgleichung integriert werden kann 2.Maschen und Basisgebiete identisch - Lösungspunkte auf FE-Rand 3. 4. Integration so, daß am Rand Stetigkeitsbedingungen erfüllt 5.Unregelmäßig strukturierte Gleichungssysteme, schwach diagonal-dominant 6.Lösen auf Basis konjugierter Gradienten-Verfahren oder direktes Lösen 7.Darstellung von Zuständen in Gebieten über Postprozessoren

6 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/6 Numerische Lösung von partiellen Dglen - Volumenverfahren 1.Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Gebiete beliebiger Form, für die integrale Bilanzierung möglich ist 2.Statt Maschen und Baisisgebiete Komponenten 3.Mittleres Verhalten aus lokalen Bilanzen ergibt System gewöhnlicher Dglen für Komponenten und ihre globalen Variablen 4.Euler-Diskretisierung der Zeit entspricht Differenzenverfahren 5.Unregelmäßig strukturierte Gleichungssysteme primär für die Zeitfortschaltung - ev. Nichtlinearitäten 6.Lösen analog iterativer Verfahren - Iteration als Zeitfortschaltung 7.Darstellung von Zuständen im System durch Verlaufskurven einzelner Variablen, Einfärbung von Komponenten statisch oder als Film

7 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 6 Volumen(Komponenten)basiertes Modell eines Kreislaufes

8 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/8 Klassifizierung partieller Differentialgleichungen

9 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/9 Anwendung auf Diskretisierung partieller Dglen B) Diskretisierung der Wärmeleitgleichung (parabolisch) Die diskrete Gleichung lautet d.h. die Zeitableitung gilt für alle Stellen n + im Zeitintervall (n, n+1). Die Diskretisierung ist also nicht mehr eindeutig. Die Konsequenzen der Wahl von werden später ausführlich untersucht. Aufgrund der ersten Ableitung der Zeit gilt ferner, dass die resultierende Matrix im x-t- Raum nicht mehr symmetrisch ist. Für = 1/2 und T i n+1/2 = 0,5 (T i n+1 + T i n ) erhält man Für = 0 verschwinden die mit 0 gekennzeichneten Elemente, Für = 1 verschwinden die mit gekennzeichneten Elemente.

10 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/10 Anwendung auf Diskretisierung partieller Dglen Die mit 0 bezeichneten Elemente verschwinden, wenn man = 0 (explizite Verfahren) wählt. Die mit Δ bezeichneten Elemente verschwinden, wenn man = 1 (implizite Verfahren) wählt. K ZEITZEIT ORT

11 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/11 Experimente mit der Wärmeleitgleichung Die Wärmeleitgleichung lautet Diskretisiert man zunächst den x-Raum, so erhält man x x i, T T i und oder am Ortspunkt i Das ist ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen für alle diskreten Punkte des Ortsraumes.

12 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/12 Experimente mit der Wärmeleitgleichung Zur Lösung des Problems benötigen wir Die Länge des Stabes Die Zahl der Punkte i Werte für T am linken und rechten Rand Einen Wert von Die Dauer der Simulation Die Zahl der Zeitschritte Die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt 0. Die Diskretisierung ist konsistent, wenn Orts- und Zeitableitung am gleichen Raum-Zeit-Punkt erfolgen.

13 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/13 Die Wärmeleitgleichung in diskreter Form Explizites Verfahren Implizites Verfahren Gemischtes Verfahren (Zwischenschrittverfahren) Fehlerfortpflanzung beim expliziten Verfahren Für cond g = verringert sich Fehler wegen folgt, daß beschränkt ist, t und x hängen also voneinander ab.

14 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 3 : Kp. 66/14 Aufbau eines Programms zur Lösung von parabolischen Differentialgleichungen Lösung des Gleichungssystems Berechnung der rechten Seiten Zeitschrittfortschaltung/Nichtlinearitäten Neue Matrizen ja nein ja Eingabe und ihre Verarbeitung Geometrie, Materialdaten, Randbedingungen, Anfangswerte Ausgabe nein Erzeugung des Gleichungssystems implizite Verfahren Ende Zeitschritt, Gleichungslösung, Nichtlinearität