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Didaktik der Geometrie (5)
Vorlesung im Wintersemester 2002/03 Prof. Dr. Kristina Reiss Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Universität Augsburg
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Spezielle Beweismethoden
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Spezielle Beweismethoden
Euklidische Methode oder Kongruenzgeometrische Methode Die Beweise basieren auf Kongruenzsätzen bzw. Ähnlichkeitssätzen. Abbildungsgeometrische Methode Die Beweise basieren auf Kongruenzabbildungen bzw. Ähnlichkeitsabbildungen.
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Kongruenzgeometrische Methode
Grundlage: Sätze über Kongruenz und Ähnlichkeit. Kernidee: Man sucht in einer Figur Paare kongruenter Teildreiecke und beweist deren Kongruenz mithilfe der Kongruenzsätze. Entsprechend ist eine wesentliche Voraus-setzung die Kenntnis der Kongruenzsätze.
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Kongruenzgeometrischer Beweis
Satz: Sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck, sodass die Seiten AC und BC kongruent sind. Dann liegt C auf der Mittelsenkrechten mAB. Beweis: Sei M Mittelpunkt der Strecke AB. Dann sind die Dreiecke AMC und MBC nach dem Kongruenz-satz SWS kongruent, denn es ist und
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Abbildungsgeometrische Methode
Grundlage: Anwendung von Kongruenz-abbildungen unter Verwendung ihrer wesentlichen Eigenschaften Kernidee: Man wendet eine Kongruenzabbildung auf eine Figur oder Teilfigur an und folgert die Gleichheit von Längen und/oder Winkeln.
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Abbildungsgeometrischer Beweis
Satz: Sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck. Dann liegt C auf der Mittelsenkrechten mAB. Beweis: Es gilt also gibt es eine Gerade m durch C, sodass A durch Spiegelung an m auf B abgebildet wird. Die Gerade m ist aber gerade die Mittelsenkrechte auf der Strecke AB.
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Vorteile der beiden Methoden
Kongruenz-geometrische Methode Klare Grundlage in den (wenigen) Kongruenzsätzen Klare Ziele bei der Beweisfindung Abbildungs- geometrische Methode Realisierung auf der Handlungsebene möglich (Lehre vom Anschauungsraum) Bezug zu Symeetrieeigenschaften
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Beispiele
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Kongruenzgeometrischer Beweis
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Abbildungsgeometrischer Beweis
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Beispiel Satz: In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang.
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Spezielle Beweismethoden
Indirektes Beweisen Satz: Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit <ACB=90°. Dann liegt C auf dem Thaleskreis über der Strecke AB. Beweisidee: Man nimmt an, dass C nicht auf dem Thaleskreis liegt und leitet einen Widerspruch zum Winkelsummensatz ab.
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