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Kompetenzorientierter Mathematikunterricht Logisch-deduktiv strukturieren Eine kognitive Herausforderung (Am Beispiel der Elementargeometrie) H. Freudigmann.

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1 Kompetenzorientierter Mathematikunterricht Logisch-deduktiv strukturieren Eine kognitive Herausforderung (Am Beispiel der Elementargeometrie) H. Freudigmann

2 Inhalte strukturieren – Wie ? LernenBegründenProblemlösenKommunizieren Überfachliche Kompetenzbereiche im Bildungsplan 2004 Lernen (von Verfahren) Denken (Inhalte ?) Gekennzeichnet durch Anwenden (von Sätzen) Sprechen, Schreiben, Zeichnen, Hören 2 A Einführung

3 Natürliche Strukturierung der Mathematik Einzigartig für die Mathematik: Mathematik kann man axiomatisch-deduktiv ordnen Das ist mehr als z.B. den Pythagoras zu kennen. Das betrifft das Ganze der Mathematik, ihren Kern. 3 A Einführung

4 Beispiel - Kompetenzstufen 4 A B C D Stufe 1: Parallelgramm, weil es so aussieht. Stufe 2: Parallelogramm, weil Eigenschaften benannt und geprüft werden, z.B. durch nachmessen. A Einführung

5 5 P A B C D Stufe 3: Definierende Eigenschaften werden nachgewiesen. Beweismittel: Punktspiegelung Stufe 4: Definierende Eigenschaften werden nachgewiesen. Beweismittel: Satz vom Wechselwinkel. A B C D α1α1 α3α3 α2α2 Beispiel - Kompetenzstufen A Einführung

6 Beispiel - Kompetenzstufen 6 A B C D Stufe 5: Zielgerichtetes, strukturiertes Vorgehen. Ich will Parallelität nachweisen, muss also argumentieren mit: S.v.Stufenwinkel, S.v.Wechselwinkel, Kongruenzsätzen, S.v.Parallelogramm, Strahlensätze, S.d.Pythagoras (?),.. A Einführung

7 7 Geometrie – Wissenschaftliche Bedeutung B Strukturierung: Begründen und Problemlösen Empirie Induktiver Weg zur Wahrheit Denken Deduktiver Weg zur Wahrheit Welche Wahrheit ? Was ist Wahrheit ? Ist die Winkelsumme im Dreieck wirklich 360° ?

8 Begründungsbasis I 8 B Strukturierung: Begründen und Problemlösen Die anschauliche Verwendung von Kongruenzabbildungen und ihrer Eigenschaften bilden die erste Begründungs- basis der Schulgeometrie am Anfang der Klasse 7. Wenn Winkel achsen- oder punktsymmetrisch liegen, dann sind sie gleich weit. Wenn Strecken achsen- oder punktsymmetrisch liegen, dann sind sie - gleich lang - parallel.

9 Begründungsbasis II Nebenwinkelsatz Scheitelwinkelsatz Stufenwinkelsatz² Wechselwinkelsatz² Satz von der Mittelsenkrechten ² 9 B Strukturierung: Begründen und Problemlösen S.v.d. Winkel- halbierenden² S.v. gleichschenkligen Dreieck² Satz vom Parallelogramm² S.v.d. Mittelparallelen im Dreieck ²Satz und Kehrsatz

10 Logische Struktur beim Schließen von I auf II 10 B Strukturierung: Begründen und Problemlösen AchsensymmetriePunktsymmetrieVerschiebung S.v.d.Mittelsenkr. S.v.d.Winkelhalb. S.v.Scheitelw.S.v.Stufenw. S.v.gleichsch.Drei S.v.Wechselw. S.v.Parallelogr. ;S.v. Mittelparallele im Dreieck

11 Logische Struktur: Erste Beweise mit II 11 B Strukturierung: Begründen und Problemlösen S.v.d.Mittelsenkr. S.v.d.Winkelhalb. S.v. Umkreis S.v.Inkreis S.v.Stufenw. S.v.Wechselw. S.v.gleichschenkl. Dreieck Winkelsumme im Dreieck S.d.Thales

12 Zusätzliche Begründungsbasis: Kongruenzsätze 12 A´ C´ B´ A B C x x x Beweis mit KGS einfach B Strukturierung: Begründen und Problemlösen Man braucht eine Auswahl von Beweismitteln R P D C B A Q

13 Gesamtübersicht: Geometrie 13 B Strukturierung: Begründen und Problemlösen I Abbildungen bzw. Symmetrie II Stufenwinkel,.... III Winkelsumme, Thales,.... IV KGS Kongruenzgeometrie Zentrische Streckung Strahlensätze Ähnliche Dreiecke

14 Kompetenzen Begründen - Probleme lösen 14 Die Kompetenzen Begründen (deduktiv denken) und Probleme lösen (Sätze anwenden) haben gemeinsame Wurzeln. Problem: Zeige a = b S.v. gleichschenkligen Dreieck S.v. Mittelsenkrechten Kongruenzsätze S.v. Parallelogramm S.d. Pythagoras B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

15 Kompetenzen Begründen - Probleme lösen 15 Problem: Zeige α =β S.v. gleichschenkligen Dreieck S.v. Stufenwinkel S.v. Wechselwinkel S.v. Parallelogramm Kongruenzsätze B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

16 Kompetenzen Begründen - Probleme lösen 16 Problem: Zeige α β S.v.d.zentrischen Streckung S.v. Stufenwinkel S.v. Wechselwinkel S.v. Parallelogramm Strahlensatz (Umkehrung) B Strukturierung: Begründen und Problemlösen Ähnlichkeitssätze

17 Kompetenzen Begründen - Probleme lösen 17 Problem: Zeige a:b = x:y Ähnlichkeitssätze S.v.d. zentrischen Streckung Strahlensätze B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

18 Grundlegende Zusammenhänge 18 B Strukturierung: Begründen und Problemlösen Gleiche Winkelweiten Gleiche Streckenlängen Parallelität Streckenver- hältnisse S.v.gleichsch. Dreieck Stufen-Wechselwinkel S.v.Parallelogramm Strahlensätze Vergleiche: Beweisen mit Vektoren

19 Im Unterricht: Beweismittel offenlegen 19 S.v. Stufenwinkel 1 g h α = β S.v.Wechselwinkel 2 g h α = β S.v.Wechselwinkel 1 g h α = β S.v.Scheitelwinkel α = β S.v. Nebenwinkel α + β = 180° S.v. Stufenwinkel 2 g h α = β Das Beweisen und Probleme lösen zum Thema machen. Anleitung: Wie beweist man (löst man Probleme) ? Beweismittel (Problemlösemittel) sind präsent. Beweis- mittel präsent auf Plakaten B Strukturierung: Begründen und Problemlösen

20 Hohe Kompetenzstufe: Strategisches Denken 20 A B P M h g Zeige: AP = BP A B P M g B Strukturierung: Begründen und Problemlösen A B P M h g Gibt es Kongruente Dreiecke ? Gibt es gleich- schenklige Dreiecke ?

21 Fachkonferenz: Arbeitsauftrag (Vorschlag) 21 B Strukturierung: Begründen und Problemlösen 1 (Material S. 12 – 16) a) Welche Beweismittel der Elementargeometrie sollen den Schülern in den Klassenstufen 6 (7, 8, 9, 10) jeweils zur Verfügung stehen ? b) Wie stellt sich der deduktive Zusammenhang dieser Beweismittel dar ? (Zum Beispiel: Werden z.B. die KGS anschaulich oder mittels Kongruenzabbildungen begründet ? ) 2 (Material S ) Über welche Strategien für das Beweisen und Problemlösen in der Elementargeometrie sollen die Schüler in den Klassenstufen 6 (7, 8, 9, 10) jeweils verfügen ?

22 Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte 22 Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB ist die Menge aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB ist die Ortslinie aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben. C Umsetzungsbeispiele Logisch nicht befriedigend: Unklar beleiben: Wie ist Mittelsenkrechte festgelegt ? Wie wird sie verwendet ? (Was ist der Sinn des Begriffs?

23 Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte 23 Definition: Zu einer Strecke AB heißt eine Gerade m Mittelsenkrechte, wenn sie durch die Mitte von AB verläuft und zu AB orthogonal ist. Satz 1: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B liegt, dann hat P von A und von B den gleichen Abstand. Satz 2: Wenn ein Punkt P von zwei Punkten A und B den gleichen Abstand hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten m von AB. C Umsetzungsbeispiele

24 Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte 24 Definition: Zu einer Strecke AB heißt eine Gerade m Mittelsenkrechte, wenn sie durch die Mitte von AB verläuft und zu AB orthogonal ist. Satz 1: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B liegt, dann hat P von A und von B den gleichen Abstand. C Umsetzungsbeispiele Beweis: m ist Symmetrieachse von AB. P liegt auf m (Voraussetzung) A und B liegen symmetrisch; AP und BP liegen symmetrisch. Symmetrische Strecken sind gleich lang. Beweismittel: a)Die MS einer Strecke ist Symmetrieachse der Strecke. b)Symmetrisch liegende Strecken sind gleich lang. m P B A

25 Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte 25 Satz 2: Wenn ein Punkt P von zwei Punkten A und B den gleichen Abstand hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B. C Umsetzungsbeispiele Beweis mit Kontrainduktion: Liegt Q nicht auf m, dann AQBQ QR + RB > QB (Dreiecksungleichung) und RA = RB Deshalb QR + RA > QB, Deshalb AQ > BQ. Diese Begründung ist nur mit erheblichen formalen Abstrichen in der Schule zu leisten. m P B A R Q

26 Im Unterricht: Umkreismittelpunkt 26 C Umsetzungsbeispiele Satz 1: Wenn U der Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten des Dreiecks ABC ist, dann hat U von allen drei Ecken A, B, C denselben Abstand. U C B A Welche Sätze werden verwendet ? a)P auf m AP = B oder / und b) AP = BP P auf m Beweis: U sei Sch.p. von m c und m b Da U auf m c liegt, ist AU = BU (a) Da U auf m b liegt, ist AU = CU (a) Aus AU = BU und AU = CU folgt AU = BU = CU. Begründungs- kompetenz Kommunikations- kompetenz

27 Im Unterricht: Umkreismittelpunkt 27 C Umsetzungsbeispiele Satz 2: In jedem Dreieck schneiden sich alle drei Mittelsenk- rechten in einem gemeinsamen Punkt. U C B A Welche Sätze werden verwendet ? a)P auf m AP = B oder / und b) AP = BP P auf m Beweis: U sei Sch.p. von m c und m b Da U auf m c liegt, ist AU = BU (a) Da U auf m b liegt, ist AU = CU (a) Daher BU = CU Daher liegt U auf m a (b) Begründungs- kompetenz Kommunikations- kompetenz

28 28 Fachkonferenz: Arbeitsauftrag (Vorschlag) 3 (Material S. 27 – 30) Am Beispiel Mittelsenkrechte / Satz vom Umkreis: Welches Niveau streben wir bei der Ausprägung der Begründungskompetenz an im Hinblick auf - die Formulierung der Sätze ? - die genaue Identifizierung der verwendeten Beweismittel ? - die schriftliche Dokumentation einer Begründung / eines Beweises ?

29 Winkelsumme schülerzentriert ° 40° 1.Berechne möglichst viele in der Figur vorkommende Winkel 2.Beschrifte möglichst viele in der Figur vorkommende Winkel mit α, β, γ. α β γ 3. Wie kann man nachweisen, dass α+β+ γ = 180° ist ? C Umsetzungsbeispiele

30 Winkelsumme schülerzentriert 2 30 C Umsetzungsbeispiele S.v. Stufenwinkel 1 g h α = β S.v.Wechselwinkel 2 g h α = β S.v.Wechselwinkel 1 g h α = β S.v.Scheitelwinkel α = β S.v. Nebenwinkel α + β = 180° S.v. Stufenwinkel 2 g h α = β 4.Wie beweist man die Behauptung mit den angegebenen Sätzen ? Beliebiges Dreieck

31 Winkelsumme Viereck 31 AB C D βα δ1δ1 δ γ δ2δ2 δ 2 ´´β´ α´ Kein Wechsel der Beweisstrategie ! δ wird in δ 1 und δ 2 aufgeteilt. δ 2 = δ 2 ´ und α = α´ und β = β´ (Wechselwinkel an Parallelen) Ecke C: δ 2 + γ + β = 180°. Ecke D: α +δ 1 = 180° α + β + γ + δ = 360° C Umsetzungsbeispiele

32 Blick über den Tellerrand 32 M1M1 M2M2 c1c1 c2c2 S P T Q Abbildung 1 l Neue Abituraufgaben in Holland (seit 2002) zur Überprüfung der Begründungs- und Problemlöse- Kompetenz. Beweismittel: Begründungsbasis I, II, III Frage 1 (5 Punkte) Beweise, dass die Punkte P,Q und S auf einem Kreis liegen. C Umsetzungsbeispiele

33 33 Fachkonferenz: Arbeitsauftrag (Vorschlag) 4 (Material S. 35 – 36) Bis zu welchem Niveau streben wir Aufgaben zur Begründungskompetenz und Problemlösekompetenz in Klassenarbeiten an ? Welche Aspekte sind für die Bewertung relevant ?

34 Logik-Lehrplan 34 D Logik-Lehrplan Bildungsplan 2004 (unter Begründen) elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden Begründungstypen und Beweismethoden der Mathematik kennen, gezielt auswählen und anwenden in mathematischen Kontexten Vermutungen entwickeln, formulieren und untersuchen. gleichartige Strukturen erkennen, verallgemeinern und spezialisieren

35 Logik-Lehrplan 1 35 D Logik-Lehrplan Der Schüler 1a. weiß, dass ein math. Satz die Form Wenn [A], dann [B] b. kann zwischen für alle und es gibt –Aussagen unterscheiden c. versteht den logischen Gehalt eines Satzes 2a. kann zu einem Satz die Umkehrung bilden. b. weiß, dass von der Wahrheit eines Satzes nicht auf die Wahrheit der Umkehrung geschlossen werden kann. 3a. kann den Umfang einer Definition bestimmen. b. kann zwischen Ober- und Unterbegriff unterscheiden. 4.kennt die Bedeutung eines Beispiels / eines Gegenbeispiels. 5.kann lokal deduktiv denken.

36 Logik-Lehrplan 2 36 D Logik-Lehrplan Der Schüler 6.kennt die Beweismethode der Kontraposition. 7.Kennt die Beweismethode Beweis durch Widerspruch. 8.kennt den Unterschied zwischen mathematischer Wahrheit und naturwissenschaftlicher Wahrheit Das ist in der Schule kaum zu leisten:

37 37 Fachkonferenz: Arbeitsauftrag (Vorschlag) 5 (Material S. 37 – 40) Welche Aspekte eines Logik-Lehrplanes wollen wir im Mathematikunterricht fördern und einfordern ? Was erwarten wir jeweils in welcher Klassenstufe ?


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