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Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen1 Wichtige Transformationen Referentin: Yvonne Schindler.

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Präsentation zum Thema: "Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen1 Wichtige Transformationen Referentin: Yvonne Schindler."—  Präsentation transkript:

1 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen1 Wichtige Transformationen Referentin: Yvonne Schindler

2 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen2 Wichtige Transformationen FFT – Fast Fourier Transformation DCT – Diskrete Cosinus Transformation Wavelets

3 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen3 Transformationen Transformationen sollen gegeben Daten so umwandeln, dass 1.eine Bearbeitung weniger aufwendig ist, 2.eine eindeutige Wiederherstellung durch Rücktransformation möglich ist

4 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen4 Transformationen Transformation und Rücktransformation sind aufwendig Aber: Berechnungen im transformierten Raum sind meist wesentlich einfacher

5 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen5 Transformationsbeispiel Lösen der Gleichung X=Y / Z ohne Taschenrechner X = Y / Z Hoher Aufwand Durch Division Lösung log(X) = log (Y) – log (Z) Geringer Aufwand Durch Subtraktion Lösung Transformation Rücktransformation

6 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen6 Transformation Durch Rechnergenauigkeit kommt es aber doch schon bei der Transformation zu Datenreduktion. Bsp.: Die Zahl Pi 3, wird vom Rechner auch nur gerundet genutzt

7 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen7 Fouriertransformation 1822 Jean-Baptiste-Joseph Fourier:,,Die analytische Theorie der Wärme`` Man kann Funktionen durch die Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen darstellen

8 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen8 1-dim. Fouriertransformation n Daten C R Fouriermatrix Normierungsfaktor

9 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen9 n-te Einheitswurzel x n hat in C n Lösungen Bsp.: x 8 hat 8 Lösungen n-te Einheitswurzel

10 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen10 Fouriermatrix Def.: Sei n  N und  n n-te Einheitswurzel in C. Die n x n-Matrix F mit F k,l =  n k*l für alle k, l {0,..., n-1}, heißt Fouriermatrix.

11 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen11 1-dim. Fouriertransformation n Daten

12 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen12 Inverse Fouriermatrix Für eine Rücktransformation braucht man eine inverse Fouriermatrix für alle k,l {0,..., n-1} F ist unitär=> F -1 = F t transponiert konjugiert

13 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen13 Beweis für inverse Fouriermatrix 1 k=l =>1 k  l => c=(k-l)

14 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen14 Beweis für inverse Fouriermatrix 2 geometrische Reihe

15 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen15 Beweis für inverse Fouriermatrix 3 => F t = F -1

16 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen16 2-dim. Fouriertransformation Inverse:

17 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen17 Fast Fouriertransformation Idee: Einzelne Berechnungen der Matrix-Vektor- Multiplikation in bestimmter Reihenfolge ausführen und schon berechnete Zwischenwerte benutzen n muss dafür eine 2er-Potenz sein

18 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen18 Anwendungsbeispiel Fouriertransformation Bearbeitung Inverse Fouriertransformation

19 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen19 Diskrete Cosinus Transformation DCT wird bei JPEG und MPEG benutzt Bei JPEG wird die DCT auf 8*8=64 Pixel angewandt

20 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen20 DCT - Idee Gerade Funktion, d.h. f(x) = f(-x) Fouriertransformation anwenden: Dabei wird der imaginäre Anteil 0

21 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen21 DCT – Herleitung 1 Gerade Funktion durch Verdoppelung der Werte 2n f(-n+1), f(-n+2),... f(-1), f(0), f(1),...,f(n) n+1

22 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen22 DCT – Herleitung 2

23 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen23 DCT – Herleitung 3

24 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen24 DCT – Herleitung 4 Fertig!!!

25 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen25 Wavelets Funktionen können auch durch die Summe von anderen Funktionen (Basisfunktionen) dargestellt werden. Die Transformation geht schrittweise voran Wavelets werden z.B. bei JPEG2000 benutzt und beim FBI um Fingerabdrücke zu speichern

26 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen26 Basisfunktion Als Basisfunktion kann jede orthogonale Funktion genommen werden, für die gilt: Daher auch die Bezeichnung Wavelet engl. Wave = Welle

27 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen27 Haar-Wavelet

28 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen28 Weitere Wavelet - Beispiele Daubechies 6Daubechies 8

29 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen29 Grundprinzip Berechnung des Mittelwertes und der Differenz -Tiefpass und Hochpassanteile werden gespeichert. - Der Tiefpassanteil wird weiter analysiert. - durch immer kleiner werdender Hochpassanteile und einen einzigen Tiefpassanteil gekennzeichnet

30 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen30 Beispiel

31 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen31 Grundprinzip Grafik 1

32 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen32 Grundprinzip Grafik 2

33 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen33 Vergleich DCT - Wavelet Original

34 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen34 Vergleich Kompression 1:25

35 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen35 Vergleich Kompression 1:50

36 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen36 Quellen & weiterführende Literatur E-Kreide-Vorlesungen - FFT, DCT, Wavelets Internet – Studien- und Diplomarbeiten Elbert Oran Brigham (1995) Schnelle Fourier Transformation Josef Hoffmann (1991) Bildkompression mit DCT und anderen Transformationen Daubechies I. (1992) Ten Lectures on Wavelets


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