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Veröffentlicht von:Frieda Frank Geändert vor über 8 Jahren
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Grundlagen01Logik 02Mengen 03Relationen Arithmetik04Die natürlichen Zahlen 05Erweiterungen der Zahlenmenge Elementare Geometrie06Ebene Geometrie 07Trigonometrie 08Vektoren 09Geometrie des R 3 Lineare Algebra11Matrizen Algebra15Polynome Differentialrechnung23Der Differentialquotient 24Die Exponentialfunktion 25Die Winkelfunktionen 27Approximation von Funktionen 28Funktionen mehrerer Variablen Integralrechnung29Das Integral 30Integrationsmethoden Vektoranalysis34Differentiation von Feldern Differentialgleichungen36Gewöhnliche DGL Partielle DGL, Wärmeleitung---
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I Grundlagen
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1. Logik
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Mathematische Aussagen 1 ist kleiner als 2. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. Für drei Punkte gibt es immer eine Ebene, zu der sie gehören. 2 ist kleiner als 1. Mathematischer Unterricht sollte stärker gefördert werden.
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Aussageformen 3n ist eine gerade Zahl. m teilt n ohne Rest. Alle a sind b. a = b. Aristoteles (384 - 322) gilt als Schöpfer der klassischen Logik
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Quantoren Mindestens eine Lösung der Gleichgung x 3 + 1 = 0 ist reell. : ist reell. Alle Lösungen der Gleichung x 3 + 1 = 0 sind reell. : ist reell.
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Symbol Anwendung Bedeutung A BA gilt genau dann wenn B gilt. A BWenn A gilt, dann gilt auch B. A BA und B gelten beide. A BA oder B oder beide gelten. A A gilt nicht.
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AB 11 10 01 00
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ABA BA B 111 100 010 001
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ABA BA BA BA B 1111 1000 0101 0011
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ABA BA BA BA B 1111 1000 0101 0011
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ABA BA BA BA B A BA B 11111 10000 01010 00110
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ABA BA BA BA B A BA BA BA B 111111 100001 010101 001100
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ABA BA BA BA B A BA BA BA B AA 1111110 1000010 0101011 0011001
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AB AA BB 1100 1001 0110 0011
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AB AA BB A BA B 11001 10010 01101 00111
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AB AA BB A BA B B AB A 110011 100100 011011 001111
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AB AA BB A BA B B AB A ¬A B 1100111 1001000 0110111 0011111
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1.1 Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen stets wahr sind, also zur Ableitung wahrer Aussagen die linke Teilaussage für die rechte und die rechte für die linke eingesetzt werden kann (Äquivalenzumformungen): (A B) (B A)(Kommutativgesetz) (A B) (B A)(Kommutativgesetz) (A B) C A (B C)(Assoziativgesetz) (A B) C A (B C)(Assoziativgesetz) A (B C) (A B) (A C)(Distributivgesetz) A (B C) (A B) (A C)(Distributivgesetz) (A B) A B (de Morgansches Gesetz) (A B) A B (de Morgansches Gesetz)
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2. Mengen
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Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. (G. Cantor, 1895) x Mx M M = { a, e, i, o, u } = { u, e, i, a, o } b M = { 1, 2, 3,... } Georg Cantor 1845 - 1918
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M = { x | x x < 3 }. M = { x | x x = x x } M = { x | x 2 - 3x + 2 = 0 } M = { 1, 2 } M = { x | P(x) } wo P(x) = "x 2 - 3x + 2 = 0"
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= { 1, 2, 3,... } 0 = { 0, 1, 2, 3,... }, Kardinalzahlen = {..., -1, 0, 1, 2,... } = { m/n | m n } = { x | x besitzt Dezimaldarstellung. } = { x + iy | x, y , i 2 = -1 } A B strikte Inklusion ( x: x A x B) ( x: x B x A) A A schwache Inklusion (A B B A) (A = B)
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G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2 } K = { (x, y) | x, y x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x 2 + y 2 = 1) }
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G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2 } K = { (x, y) | x, y x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }
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G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2 } K = { (x, y) | x, y x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) } = { } M M = { x | x x } , A, B,..., M,..., A B = { x | x A x B }
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G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2 } K = { (x, y) | x, y x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) } = { } M = { x | x x } , A, B,..., M,..., A B = { x | x A x B } A B = { x | x A x B }
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G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2 } K = { (x, y) | x, y x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) } = { } M = { x | x x } , A, B,..., M,..., A B = { x | x A x B } A B = { x | x A x B } 1 - 2 = - 1 { 1 } \ { 1, 2 } = A \ B = { x | x A x B }
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A, B, C: A (B C) = (A B) (A C)(2.1) A, B, C: A (B C) = (A B) (A C)(2.2)
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A B = { (x, y) | x A y B } { a, b, c } { 1, 2 } = { (a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2) } A B C besteht aus geordneten Tripeln (a, b, c) wobei a A, b B, c C. Anstelle von schreibt man auch einfach 3. 3 dreidimensionaler euklidischen Raum, dessen Elemente die Tripel (x 1, x 2, x 3 ) sind: 3 = { (x 1, x 2, x 3 ) | x k , 1 k 3 }
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2.1 Seien A = { 1, a, b, c } und B = { 1, 2, 3, c }. Bilden Sie den Durchschnitt A B, die Vereinigung A B und die Differenz A \ B sowie B \ A. 2.2 Finden Sie ein Beispiel für (A B) C A (B C).
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3. Relationen
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3.1 Abbildungen f: X Y f Abbildungsvorschrift (Gleichung, Liste, Diagramm) X Definitionsbereich oder Urbildbereich Y Wertebereich oder Bildbereich Für x X und y Y schreibt man x yx y x heißt Urbild und y = f(x) heißt Bild (von x unter f), so dass x f(x)x f(x)
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Eine Relation ist eine Abbildung oder Funktion, wenn für jedes x X genau ein y Y mit y = f(x) existiert. Sie ist also "links total und rechts eindeutig ".
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f(x) = 3 f(x) = sinx f(x) = x 2 f(x) = x 3 f(x) = ± |x| ist eine Relation, aber keine Funktion.
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