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Grundlagen01Logik 02Mengen 03Relationen Arithmetik04Die natürlichen Zahlen 05Erweiterungen der Zahlenmenge Elementare Geometrie06Ebene Geometrie 07Trigonometrie.

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3 Grundlagen01Logik 02Mengen 03Relationen Arithmetik04Die natürlichen Zahlen 05Erweiterungen der Zahlenmenge Elementare Geometrie06Ebene Geometrie 07Trigonometrie 08Vektoren 09Geometrie des R 3 Lineare Algebra11Matrizen Algebra15Polynome Differentialrechnung23Der Differentialquotient 24Die Exponentialfunktion 25Die Winkelfunktionen 27Approximation von Funktionen 28Funktionen mehrerer Variablen Integralrechnung29Das Integral 30Integrationsmethoden Vektoranalysis34Differentiation von Feldern Differentialgleichungen36Gewöhnliche DGL Partielle DGL, Wärmeleitung---

4 I Grundlagen

5 1. Logik

6 Mathematische Aussagen 1 ist kleiner als 2. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. Für drei Punkte gibt es immer eine Ebene, zu der sie gehören. 2 ist kleiner als 1. Mathematischer Unterricht sollte stärker gefördert werden.

7 Aussageformen 3n ist eine gerade Zahl. m teilt n ohne Rest. Alle a sind b. a = b. Aristoteles (384 - 322) gilt als Schöpfer der klassischen Logik

8 Quantoren Mindestens eine Lösung der Gleichgung x 3 + 1 = 0 ist reell.  : ist reell. Alle Lösungen der Gleichung x 3 + 1 = 0 sind reell.  : ist reell.

9 Symbol Anwendung Bedeutung  A  BA gilt genau dann wenn B gilt.  A  BWenn A gilt, dann gilt auch B.  A  BA und B gelten beide.  A  BA oder B oder beide gelten.  A A gilt nicht.

10 AB 11 10 01 00

11 ABA  BA  B 111 100 010 001

12 ABA  BA  BA  BA  B 1111 1000 0101 0011

13 ABA  BA  BA  BA  B 1111 1000 0101 0011

14 ABA  BA  BA  BA  B A  BA  B 11111 10000 01010 00110

15 ABA  BA  BA  BA  B A  BA  BA  BA  B 111111 100001 010101 001100

16 ABA  BA  BA  BA  B A  BA  BA  BA  B AA 1111110 1000010 0101011 0011001

17 AB AA BB 1100 1001 0110 0011

18 AB AA BB A  BA  B 11001 10010 01101 00111

19 AB AA BB A  BA  B B  AB  A 110011 100100 011011 001111

20 AB AA BB A  BA  B B  AB  A ¬A  B 1100111 1001000 0110111 0011111

21 1.1 Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen stets wahr sind, also zur Ableitung wahrer Aussagen die linke Teilaussage für die rechte und die rechte für die linke eingesetzt werden kann (Äquivalenzumformungen): (A  B)  (B  A)(Kommutativgesetz) (A  B)  (B  A)(Kommutativgesetz) (A  B)  C  A  (B  C)(Assoziativgesetz) (A  B)  C  A  (B  C)(Assoziativgesetz) A  (B  C)  (A  B)  (A  C)(Distributivgesetz) A  (B  C)  (A  B)  (A  C)(Distributivgesetz)  (A  B)   A   B (de Morgansches Gesetz)  (A  B)   A   B (de Morgansches Gesetz)

22 2. Mengen

23 Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. (G. Cantor, 1895) x  Mx  M M = { a, e, i, o, u } = { u, e, i, a, o } b  M  = { 1, 2, 3,... } Georg Cantor 1845 - 1918

24 M = { x | x    x < 3 }. M = { x | x x = x  x } M = { x | x 2 - 3x + 2 = 0 } M = { 1, 2 } M = { x | P(x) } wo P(x) = "x 2 - 3x + 2 = 0"

25  = { 1, 2, 3,... }  0 = { 0, 1, 2, 3,... }, Kardinalzahlen  = {..., -1, 0, 1, 2,... }  = { m/n | m    n   }  = { x | x besitzt Dezimaldarstellung. }  = { x + iy | x, y  , i 2 = -1 }                  A  B strikte Inklusion (  x: x  A  x  B)  (  x: x  B  x  A) A  A schwache Inklusion (A  B  B  A)  (A = B)

26 G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) }

27 G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

28 G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }  = { }   M  M  = { x | x  x } , A, B,..., M,...,    A  B = { x | x  A  x  B }

29 G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }  = { }   M  = { x | x  x } , A, B,..., M,...,    A  B = { x | x  A  x  B } A  B = { x | x  A  x  B }

30 G = {..., -2, 0, 2, 4,... } = { x | x/2   } K = { (x, y) | x, y    x 2 + y 2 = 1 } S = { (x, y) | (x = 0  y = 0)  (x 2 + y 2 = 1) } = { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }  = { }   M  = { x | x  x } , A, B,..., M,...,    A  B = { x | x  A  x  B } A  B = { x | x  A  x  B } 1 - 2 = - 1 { 1 } \ { 1, 2 } =  A \ B = { x | x  A  x  B }

31  A, B, C: A  (B  C) = (A  B)  (A  C)(2.1)  A, B, C: A  (B  C) = (A  B)  (A  C)(2.2)

32 A  B = { (x, y) | x  A  y  B } { a, b, c }  { 1, 2 } = { (a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2) } A  B  C besteht aus geordneten Tripeln (a, b, c) wobei a  A, b  B, c  C. Anstelle von      schreibt man auch einfach  3.  3 dreidimensionaler euklidischen Raum, dessen Elemente die Tripel (x 1, x 2, x 3 ) sind:  3 = { (x 1, x 2, x 3 ) | x k  , 1  k  3 }

33 2.1 Seien A = { 1, a, b, c } und B = { 1, 2, 3, c }. Bilden Sie den Durchschnitt A  B, die Vereinigung A  B und die Differenz A \ B sowie B \ A. 2.2 Finden Sie ein Beispiel für (A  B)  C  A  (B  C).

34 3. Relationen

35 3.1 Abbildungen f: X  Y f Abbildungsvorschrift (Gleichung, Liste, Diagramm) X Definitionsbereich oder Urbildbereich Y Wertebereich oder Bildbereich Für x  X und y  Y schreibt man x  yx  y x heißt Urbild und y = f(x) heißt Bild (von x unter f), so dass x  f(x)x  f(x)

36 Eine Relation ist eine Abbildung oder Funktion, wenn für jedes x  X genau ein y  Y mit y = f(x) existiert. Sie ist also "links total und rechts eindeutig ".

37 f(x) = 3 f(x) = sinx f(x) = x 2 f(x) = x 3 f(x) = ±  |x| ist eine Relation, aber keine Funktion.

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