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Programmierung 1 - Repetitorium WS 2002/2003 Programmierung 1 - Repetitorium Andreas Augustin und Marc Wagner Homepage:

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1 Programmierung 1 - Repetitorium WS 2002/2003 Programmierung 1 - Repetitorium Andreas Augustin und Marc Wagner Homepage:

2 Programmierung 1 - Repetitorium Montag, den Kapitel 2 Mathematische Objekte

3 Programmierung 1 - Repetitorium 2.1 Tupel und Mengen n-stelliges Tupel ( x 1,..., x n )Komponenten x 1 x 2... x n Die Komponenten eines Tupels sind geordnet, d.h. Mehrfachauftreten sind möglich. Die Anzahl der Komponenten ist endlich. leeres Tupel ( ) Paare = zweistellige TupelTripel = dreistellige Tupel ( x 1,..., x n ) = ( y 1,..., y n ) m=n und x 1 =y 1,..., x n =y n i-te Komponente von ( x 1,..., x n ) ist x i Menge M = { x, y, z,... } Die Elemente einer Menge sind nicht geordnet, d.h. Mehrfachauftreten sind nicht möglich. Die Anzahl der Elemente kann unendlich sein. Elemente x y z leere Menge { } oder Seien X, Y Mengen. Es gilt X = Y ( x X : x Y ) ( y Y : y X ).

4 Programmierung 1 - Repetitorium 2.1 Tupel und Mengen Atomare Objekte sind Zahlen, das leere Tupel und die leere Menge. Die Konstituenten eines Objekts werden als Unterobjekte bezeichnet. Sei x := { { 1, ( ), }, ( 3 ), { ( 4, 5, 5 ), 6 } } x hat folgende Baumdarstellung : { } { } ( ) { } 1 ( ) { } 3 ( ) x y x ist zusammengesetztes Objekt und y ist Konstituent von x

5 Programmierung 1 - Repetitorium Ein Objekt y heißt Teilobjekt eines zusammengesetzten Objekts x, wenn es n 1 Objekte x 1,..., x n wie folgt gibt : x = x 1 x 2... x n = y 2.1 Tupel und Mengen Ein Teilobjekt y von x heißt echtes Teilobjekt von x, wenn y x gilt. Für das Objekt x := { { 1, ( ), }, ( 3 ), { ( 4, 5, 5 ), 6 } } folgt damit : x hat 3 Unterobjekte, x hat 13 Teilobjekte, x hat 12 echte Teilobjekte Ein Objekt ist endlich. Das Objekt hat nur endlich viele Konstituenten. Ein Objekt ist finitär. Das Objekt hat nur endlich viele Teilobjekte. Wohlfundierungsaxiom : Es gibt keine unendliche Folge x 1, x 2,... von Objekten für die gilt x 1 x 2... Es gibt keine Menge, die alle Objekte enthält.

6 Programmierung 1 - Repetitorium 2.2 Aussagen A BA und BKonjunktion A BA oder BDisjunktion Anicht ANegation A Baus A folgt BImplikation A BA folgt aus BImplikation A BA genau dann, wenn BÄquivalenz x X : Afür alle x X gilt AUniverselle Quantifizierung x X : Aes existiert ein x X mit AExistentielle Quantifizierung Aussagenlogische Notationen ( A und B sind Aussagen ) : Eine Aussage der Form ( A 1... A n ) B lässt sich als Inferenzregel darstellen : A 1... A n B Prämissen Konklusion

7 Programmierung 1 - Repetitorium 2.2 Aussagen Aussagenlogische Äquivalenzen ( A und B sind Aussagen ) : A A Widerspruch( tertium non datur ) A B B A( Kontraposition ) ( A B ) A B x X : A x X : A

8 Programmierung 1 - Repetitorium 2.3 Begriffe und Notationen für Mengen Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge heißt Kardinalität der Menge. In Zeichen : | X | Inklusion ( X Teilmenge, Y Obermenge ) Gleichheit Schnitt Vereinigung Differenz Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element haben. Potenzmenge Menge aller endlichen Teilmenge Produkt Summe ( i Variantennummer )

9 Programmierung 1 - Repetitorium 2.4 Binäre Relationen Eine binäre Relation auf einer Menge X ist eine Teilmenge von X X. Eine n-stellige Relation ist eine Menge, deren Elemente n-stellige Tupel sind. {(2,3),(2,5),(3,4),(4,2),(6,4)} Pfeile stellen die Paare der Relation dar. Kreise sind die Knoten Pfeile sind die Kanten Graphdarstellung der Relation Definitionsbereichhier : {2,3,4,6} Wertebereichhier : {2,3,4,5} Komposition von zwei binären Relationen Umkehrrelation einer binären Relation r

10 Programmierung 1 - Repetitorium 2.4 Binäre Relationen Eigenschaften binärer Relationen : transitiv r r -1 r symmetrisch r = r -1 antisymmetrisch reflexiv (bezogen auf X)

11 Programmierung 1 - Repetitorium 2.5 Funktionen Eine Funktion r ist eine binäre Relation, bei der zu jedem x Dom r genau ein y Ran r existiert mit (x,y) r. Schreibweisen : (x,y) f, (xy) f, f(x)=y Eigenschaften einer Funktion f X Y : ( Sei Z eine Menge. ) f total auf Z Z Dom f f partiell auf Z f nicht total auf Z f surjektiv für Z Z Ran f f injektiv x 1,x 2 Dom f : f(x 1 )=f(x 2 ) x 1 =x 2 f bijektiv f injektiv und f surjektiv für Y Menge der totalen Funktionen Menge der endlichen Funktionen Menge der Funktionen

12 Programmierung 1 - Repetitorium 2.5 Funktionen X und Y sind isomorph Bijektion X Y Lamda-Notation : x Z. x 2 für{ (x,y) | x Z y = x 2 } Kartesische Funktion :X Y Z Kaskadierte Funktion :X Y Z Adjunktion f + g = x Dom f Dom g. if x Dom g then g(x) else f(x) Wenn X und Y endliche Mengen sind, dann ist X Y eine endliche Menge und |X Y| = |Y| |X|. Klammersparende Notation : klammert nach rechts


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