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Friedhelm Meyer auf der Heide 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einige entscheidbare bzw. rekursiv aufzählbare.

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Präsentation zum Thema: "Friedhelm Meyer auf der Heide 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einige entscheidbare bzw. rekursiv aufzählbare."—  Präsentation transkript:

1 Friedhelm Meyer auf der Heide 1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einige entscheidbare bzw. rekursiv aufzählbare Sprachen Entscheidbare Sprachen Gödel ist Gödelnummer einer DTM M} States besitzt mindestens d Zustände}

2 Friedhelm Meyer auf der Heide 2 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einige entscheidbare bzw. rekursiv aufzählbare Sprachen Rekursiv aufzählbare Sprachen Akzeptanzproblem: Halteproblem: Useful: Nicht-Leer - keine dieser Sprachen ist entscheidbar ! -

3 Friedhelm Meyer auf der Heide 3 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Eine nicht rekursiv aufzählbare Sprache Wir fassen Gödelnummern als Zahlen auf. Sei die DTM, die jede Eingabe sofort ablehnt. Satz: Diag Diagonalisierung

4 Friedhelm Meyer auf der Heide 4 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Eigenschaften entscheidbarer und rekursiv aufzählbarer Sprachen Abschlusseigenschaften für entscheidbare Sprachen: Satz: Seien L 1, L 2 entscheidbar. (i) ist entscheidbar. (ii) ist entscheidbar. (iii) ist entscheidbar. Die Klasse der entscheidbaren Sprachen ist abgeschlossen gegenüber Komplement, Durch- schnitt und Vereinigung

5 Friedhelm Meyer auf der Heide 5 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Eigenschaften entscheidbarer und rekursiv aufzählbarer Sprachen Abschlusseigenschaften für rekursiv aufzählbare Sprachen: Satz: Seien L 1 und L 2 rekursiv aufzählbar. (i)L 1 [ L 2 ist rekursiv aufzählbar (ii)L 1 Å L 2 ist rekursiv aufzählbar !! Die Klasse der rekursiv aufzählbaren Sprachen ist nicht abgeschlossen gegenüber Komplement !! Bew: Diag ist nicht rekursiv aufzählbar, aber das Komplement von Diag ist rekursiv aufzählbar.

6 Friedhelm Meyer auf der Heide 6 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Eigenschaften entscheidbarer und rekursiv aufzählbarer Sprachen Satz: L ist entscheidbar genau dann, wenn L und rekursiv aufzählbar sind.

7 Friedhelm Meyer auf der Heide 7 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Weitere unentscheidbare Probleme: Reduktionen Def: heißt reduzierbar auf falls es eine berechenbare, totale Funktion gibt mit - Für alle Wir schreiben: (mittels ) ist die Reduktion oder Reduktionsfunktion von

8 Friedhelm Meyer auf der Heide 8 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Weitere unentscheidbare Probleme: Reduktionen Beispiel: Sei

9 Friedhelm Meyer auf der Heide 9 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Weitere unentscheidbare Probleme: Reduktion Es gilt: Was folgt daraus? Wäre rekursiv aufzählbar durch DTM M, so wäre auch Diag rekursiv aufzählbar: -bei Eingabe bin(i) berechne f(bin(i)) -starte M mit Eingabe f(bin(i)) -akzeptiere bin(i), falls M f(bin(i)) akzeptiert. Da Diag nicht rekursiv aufzählbar ist, ergibt sich ein Widerspruch. Also: ist nicht rekursiv aufzählbar. Also: H nicht entscheidbar.

10 Friedhelm Meyer auf der Heide 10 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Beweis für: nicht entscheidbar. zu zeigen: L ist nicht entscheidbar Wähle geeignetes nichtentscheidbares Problem aus, z. B. Diag. Zeige: Wäre entscheidbar, dann wäre auch Diag entscheidbar mit anderen Worten: zeige : Haben wir für gemacht.

11 Friedhelm Meyer auf der Heide 11 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Nicht entscheidbare Sprachen: Reduktion Allgemein:

12 Friedhelm Meyer auf der Heide 12 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Weitere unentscheidbare Probleme

13 Friedhelm Meyer auf der Heide 13 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Weitere unentscheidbare Probleme Satz von Rice. Sei R die Menge aller partiellen berechenbaren Funktionen, S sei nichttriviale Teilmenge von R, d.h. Dann ist nicht entscheidbar. Bsp: - S = alle totalen berechenbaren Funktionen Totalitätsproblem - S = - S = Menge aller partiellen Funktionen, die nur auf endlich vielen Argumenten definiert sind. L (S) = Endlichkeitsproblem

14 Friedhelm Meyer auf der Heide 14 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Einige weitere unentscheidbare Probleme …... die nicht Eigenschaften von DTMs testen. -Diophantische Gleichungen:= {p | p Polynom in mehreren Variablen mit Koeffizienz aus, -Arithmetik:= {A | A ist arithmetische Aussage (Variablen, Quantoren, Logische Verknüpfungen, =,, >, <, +,-, *), A ist wahr} Achtung: Presburger Arithmetik: wie oben, aber ohne * ist entscheidbar !!


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