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Kapitel 1 Mengen, Abbildungen, Logik

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Präsentation zum Thema: "Kapitel 1 Mengen, Abbildungen, Logik"—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 1 Mengen, Abbildungen, Logik

2 Inhalt 1.1 Mengen { }, , ... 1.2 Logik , , ...
1.3 Abbildungen f: X  Y

3 1.1 Was ist eine Menge? Schwierige Frage!
Der „Vater der Mengenlehre“, Georg Cantor ( ), sagte: „Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens ... zu einem Ganzen.“ Anstatt genau zu sagen, was eine Menge ist, stellen wir dar, wie man Mengen beschreiben kann. Dafür gibt es drei Möglichkeiten Durch Aufzählung 2. Durch Eigenschaften 3. Das kartesische Produkt

4 1.1.1 Beschreibung durch Aufzählung
Beispiel: {rot, grün, blau} ist die Menge der Farben rot, grün und blau. Beispiel: Die Menge {Susanne, Yvonne, Ute, Nicole} besteht aus den Elementen Susanne, Yvonne, Ute, Nicole. Beispiel: Wir betrachten oft Mengen von Zahlen: M = {0, 1, 2, 3, 4} ist die Menge der Zahlen 0, 1, 2, 3, 4.

5 Notation und Bemerkung
Die Elemente der Menge werden in geschweifte Klammern geschrieben: a, b, c sind die Elemente der Menge {a, b, c}. Bei einer Menge spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle: {c, a, b} = {b, a, c} = {a, b, c}. In einer Menge werden Elemente, die mehrfach auftauchen, nur einmal betrachtet: {a, a, a, a, b, b, b, c, c, c, c, c, c, c, c} = {a, b, c}.

6 Unendliche Mengen N: Menge der natürlichen Zahlen:
Z: Menge der ganzen Zahlen: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. Q: Menge der rationalen Zahlen („Brüche”). R: Menge der reellen Zahlen.

7 Elemente, Teilmengen m  M: Das Element m ist in der Menge M enthalten. m  M: Das Element m ist nicht in der Menge M enthalten. M1  M2 („Teilmenge“): Jedes Element von M1 ist auch ein Element von M2. Beispiel: M1 = {rot, blau} ist Teilmenge von M2 = {rot, blau, grün}. Die leere Menge enthält kein Element. Sie wird mit {} oder  bezeichnet.

8 1.1.2 Beschreibung einer Menge durch Eigenschaften
Wichtiges Prinzip: Man sondert man aus einer schon vorhandenen Menge eine Teilmenge aus. Man nennt das auch „Mengenbildung durch Aussonderung“ Beispiele: 1. T = Menge aller Tiere. M = {t  T  t ist intelligent}. (Klassische Definition des Menschen) 2. G = {z  Z  z ist gerade}. Eigenschaft: „gerade sein“. Es ist G = {..., –4, –2, 0, 2, 4, ...}.

9 Thema der Woche Was ist das Thema? Zeichnung
Beispiele: Umwelt und Mathematik Historische Bemerkung 1. Thema: Definition einer Menge durch Eigenschaften

10 Durchschnitt (Schnittmenge)
Der Durchschnitt zweier Mengen M1 und M2 ist so definiert: M1  M2 = {m  M1  m  M2} (= {m  M2  m  M1}). Eigenschaft: “m  M2” . Beispiel: M1: Menge der Biologiestudenten, M2: Menge der Mathe- matikstudenten. Dann ist M1  M2 die Menge der Studenten, die sowohl Bio als auch Mathe studieren. Beispiel: G = Menge der geraden natürlichen Zahlen, D = Menge der durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen. Dann ist G  D die Menge der durch 6 teilbaren natürlichen Zahlen.

11 Disjunkte Mengen Zwei Mengen heißen disjunkt (oder auch „elementfremd“), wenn sie kein Element gemeinsam haben. Formaler: M1 und M2 werden disjunkt genannt, falls M1  M2 = {} gilt. Beispiel: Sei C die Menge der Mitglieder der CDU, S die Menge der Mitglieder der SPD. Dann sind C und S disjunkte Mengen. Beispiel: Die Menge der durch 4 teilbaren Zahlen und die Menge der Primzahlen sind disjunkt.

12 Vereinigungsmenge Die Vereinigung zweier Mengen M1 und M2 ist so definiert: M1  M2 = {m  m  M1 oder m  M2}. Beispiel: M1: Menge der Biologiestudenten, M2: Menge der Mathematikstudenten. Dann ist M1  M2 die Menge der Studenten, die Bio oder Mathe (oder beides) studieren. Bemerkung: Wenn wir „oder“ sagen meinen wir immer das nicht- ausschließliche Oder. Beispiel: G = Menge der geraden natürlichen Zahlen, U = Menge der ungeraden Zahlen. Dann ist G  U = N.

13 Differenz von Mengen Die Differenz zweier Mengen M1 und M2 ist so definiert: M1\M2 = {m  M1  m  M2}. Eigenschaft: “m  M2”. Beispiele: {rot, blau, gelb}\{grün, weiß, rot} = {blau, gelb} Z\G = Menge der ungeraden ganzen Zahlen N\G = Menge der ungeraden natürlichen Zahlen. Bemerkungen: 1. Wir benutzen “\” anstelle von “–”. 2. Man darf M1\M2 auch dann bilden, wenn M2 keine Teilmenge von M1 ist.

14 Komplement einer Menge
Wenn die Menge M2 eine Teilmenge von M1 ist, so nennt man die Differenz M1\M2 das Komplement von M2 in M1. Zwei Teilmengen M2 und M1 einer Menge M werden komplementär genannt, wenn gilt M1  M2 = M und M1  M2 = {}. (Man kann auch sagen: … wenn M2 = M\M1 ist.) Beispiel: M1 = {2, 4, 6}, M2 = {1, 3, 5} sind komplementäre Teil- mengen von {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

15 1.1.3 Das kartesische Produkt
Ziel: Mengen ganz neuen Typs! Seien M1 und M2 zwei Mengen mit M1, M2  {}. Dann ist das kartesische Produkt die Menge M1M2, die aus allen geordneten Paaren (m1, m2) mit m1  M1 und m2  M2 besteht. Beispiel: Ist M1 = {0, 1, 2} und M2 = {a, b}, so gilt M1M2 = {(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}. Achtung: Bei den Paaren kommt es auf die Reihenfolge an! Zum Beispiel ist das Paar (a, 0) kein Element der obigen Menge M1M2.

16 Das allgemeine kartesische Produkt
Seien M1, M2, ..., Mn nichtleere Mengen, dann ist das kartesische Produkt dieser Mengen definiert durch: M1M2 Mn = {(m1, m2, ..., mn)  m1  M1, m2  M2, ..., mn  Mn} Beispiel: Seien He, Ho, S die Mengen der Hemden, Hosen und Schuhen von Professor X. Dann beschreibt die Menge HeHoS die Möglichkeiten von Professor X, sich zu kleiden. Beispiel: Seien V die Menge der Vorspeisen, H die Menge der Hauptspeisen, N die Menge der Nachspeisen einer Speisekarte. Dann ist VHN die Menge aller mögliche Speisefolgen.

17 Das kartesische Produkt: Bemerkungen
Die Bezeichnung “kartesisch” (früher auch „cartesisch“) geht auf den Mathematiker und Philosophen René Descartes ( ) zurück. In der Mathematik wird sein Name damit verbunden, dass er die Punkte der Ebene durch Paare von Zahlen dargestellt hat (siehe Kapitel 3). Die Elemente von M1M2 Mn tragen vielfältige Namen: n-Tupel, Folgen der Länge n. Statt 2-Tupel sagt man Paar, statt 3-Tupel sagt man Tripel.

18 1.1.4 Mächtigkeiten Sei M eine Menge. Wir bezeichnen wir die Anzahl der Elemente von M mit M. Diese Zahl heißt Mächtigkeit (oder Kardinalität) von M. Beispiel: {0,1,2,3} = 4. Eine Menge wird endlich genannt, wenn ihre Mächtigkeit eine natürliche Zahl ist. Sonst heißt die Menge unendlich. Wenn M eine unendliche Menge ist, so schreiben wir M = . Beispiel: N =  und Z = .

19 Mächtigkeit des Komplements
1.1.1 Satz. Sei M1 eine endliche Menge, und sei M2 eine Teilmenge von M1. Dann gilt: M1\M2 = M1 – M2. Beispiel: Anzahl der männlichen Einwohner der Bundesrepublik = Gesamtbevölkerungszahl minus Anzahl der Frauen. Beweis. Zu zeigen: Auf beiden Seiten steht die gleiche Zahl! Linke Seite: Anzahl der Element von M1\M2. Rechte Seite: Wir zählen zuerst die Anzahl der Elemente von M1, dann ziehen wir die Elemente von M2 wieder ab. Daher erhalten wir auch auf der rechten Seite die Anzahl der Elemente von M1\M2. 

20 Summenformel 1.1.2 Satz. Seien M1 und M2 endliche Mengen. Dann gilt
M1  M2 = M1 + M2 – M1  M2. Beispiel: Für die Anzahl der Studierenden, die Mathematik studieren oder Sport studieren, muß man wissen, (a) wie viele Leute Mathe- matik studieren, (b) wie viele Sport studieren und (c) wie viele Mathematik und Sport studieren.

21 Summenformel: Der Beweis
Beweis (= warum ist das so?). Zu zeigen: Auf beiden Seiten steht die gleiche Zahl! Linke Seite: Jedes Element von M1  M2 wird genau einmal gezählt. Rechte Seite: In M1 + M2 wird jedes Element von M1 und jedes Element von M2 einmal gezählt, die Elemente von M1M2 werden also doppelt gezählt. Dies wird dadurch korrigiert, dass M1  M2 wieder abgezogen wird. Daher wird auch auf der rechten Seite jedes Element genau einmal gezählt. 

22 Die Produktformel 1.1.3 Satz. Seien M1, M2 nichtleere endliche Mengen. Dann gilt: M1M2 = M1  M2. Beispiel: In einem Raum befinden sich 6 Frauen und 4 Männer. Dann kann man genau 64 = 24 getrenntgeschlechtliche Paare bilden. Beispiel: Die Anzahl aller Paare (x, y), wobei x aus der Menge {0, 1, 2, ..., 9} und y aus der Menge {a, b, c, d, ..., z} stammt, ist 1026 = 260.

23 Die Produktformel: Der Beweis
Beweis (= warum ist die Formel richtig?). Die Menge M1M2 besteht aus allen Paaren (m1, m2) mit m1  M1 und m2  M2. Wir müssen die Anzahl dieser Paare berechnen. Für die erste Komponente (also für m1) haben wir genau M1 Möglichkeiten zu Auswahl. Für jede dieser Möglichkeiten können wir die zweite Komponente m2 in M2 ohne jede Einschränkung wählen. Dafür gibt es M2 viele Möglichkeiten. Um ein Paar (m1, m2) zu wählen gibt es insgesamt also genau M1   M2 Möglichkeiten. 

24 Allgemeine Produktformel
1.1.4 Satz. Seien M1, M2, ..., Mn endliche nichtleere Mengen. Dann ist M1M2 ... Mn = M1M2 ... Mn. Beispiel. Wenn Professor X genau 8 Hemden, 3 Hosen und 4 Paar Schuhe hat, so kann er sich auf 834 = 96 Weisen kleiden. Beispiel. Bei Geldausgabeautomaten besteht die Geheimzahl aus vier Dezimalstellen, von denen die erste nicht 0 sein darf. Wie viele solche PINs gibt es? Antwort: 9101010 = 9000.

25 1.2 Logik Aussagen Zusammengesetzte Aussagen Wahrheitstafeln
Allaussagen Existenzaussagen

26 Aussagen Eine Aussage ist ein sprachliches Konstrukt, das prinzipiell falsch oder wahr ist. Beispiele für Aussagen: Alle Mathematikstudenten sind intelligent. Es gibt unendlich viele Primzahlen = 5. Keine Aussagen sind zum Beispiel: Guten Morgen! Howgh, ich habe gesprochen!

27 Zusammengesetzte Aussagen
Wir bezeichnen Aussagen mit Großbuchstaben, wie A, B, C. Aus einer oder zwei Aussagen A und B kann man eine dritte machen. Die wichtigsten „zusammengesetzten” Aussagen sind: A (nicht A) A  B (A oder B) A  B (A und B) A  B (wenn A, dann B) A  B (A genau dann, wenn B)

28 Wahrheitstafeln Wie kann man eine zusammengesetzte Aussage beschreiben? Wir müssen für zusammengesetzte Aussagen nur festlegen, wann sie wahr und wann sie falsch sein sollen. Das hängt davon ab, ob die Aussagen A und B wahr oder falsch sind. Dies können wir mit Hilfe von Wahrheitstafeln ausdrücken.

29 A  B („A und B“) A B A  B w w w w f f f w f f f f
Wenn A und B wahr sind, dann ist A  B wahr. Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist A  B falsch. Wenn A falsch und B wahr ist, dann ist A  B falsch. Wenn A und B falsch sind, dann ist A  B falsch. Beispiel: Die Aussage (2+2=5)  (5 ist eine Primzahl) ist falsch.

30 A  B („A oder B“) A B A  B w w w w f w f w w f f f
Wenn A und B wahr sind, dann ist A  B wahr. Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist A  B wahr. Wenn A falsch und B wahr ist, dann ist A  B wahr. Wenn A und B falsch sind, dann ist A  B falsch. Beispiel: Die Aussage (2+2=5)  (5 ist eine Primzahl) ist wahr.

31 A („nicht A“) A A w f f w Das bedeutet: A ist genau dann eine wahre Aussage, wenn A falsch ist. Beispiel: (2+2=5) ist eine wahre Aussage.

32 A  B („wenn A, dann B“) A B A  B w w w w f f f w w f f w
Wenn A und B wahr sind, dann ist A  B eine wahre Aussage. Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist A  B falsch. Wenn A falsch und B wahr ist, dann ist A  B wahr. Wenn A und B falsch sind, dann ist A  B eine wahre Aussage. Beispiel: Die Aussage (2+2=5)  (5 ist eine Primzahl) ist wahr.

33 A  B („A genau dann, wenn B“)
A B A  B w w w w f f f w f f f w A  B ist genau dann eine wahre Aussage, wenn A und B beide wahr oder beide falsch sind. Beispiel: Die Aussage (2+2=5)  (5 ist eine Primzahl) ist eine falsche Aussage, aber die Aussage (2+2=5)  (6 ist eine Primzahl) ist eine wahre Aussage.

34 Aussagen: Bemerkungen
Wenn zwei Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben (also beide wahr oder beide falsch sind), so schreiben wir A = B. (Man könnte auch A  B schreiben.) Bemerkung. Obige Festlegungen sind zum Teil willkürlich. Aber so sind die Symbole und der Sprachgebrauch in der Mathematik festgelegt!

35 Sätze Wahrheitstafeln dienen nicht nur der Definition von Aussagen, sondern können auch dazu verwendet werden, Sätze zu beweisen. Was ist ein mathematischer Satz? Ein mathematischer Satz ist eine zusammengesetzte Aussage, die immer wahr ist. Das heißt, dass sie unabhängig von der Verteilung der Wahrheitswerte der Einzelaussagen wahr ist. Ein mathematischer Satz besteht immer aus einer Voraussetzung und einer Behauptung. Das heißt: Jeder Satz ist eine „Wenn-dann-Aussage“.

36 Ein einfacher Satz Satz. Für alle Aussagen A und B gilt: (A  B)  A.
„Gelten” bedeutet, dass die Gesamtaussage stets wahr ist, unab- hängig davon, ob die Aussagen A und B wahr oder falsch sind. Beweis. A B A  B (A  B)  A w w w w w f f w f w f w f f f w

37 Die de Morganschen Gesetze
1.2.1 Satz (Augustus de Morgan). Seien A und B Aussagen. Dann gilt (a) (A  B) = A  B (erstes de Morgansches Gesetz). (b) (A  B) = A  B (zweites de Morgansches Gesetz). Beweisidee. (a) Wir zeigen diese Behauptung dadurch, dass wir zeigen, dass für jede Belegung der Wahrheitswerte von A und B die beiden Seiten (A  B) und A  B stets den gleichen Wahrheitswert haben.

38 Beweis des ersten de Morganschen Gesetzes
Wahrheitstafel für (A  B) und A  B A B (A  B) A  B A  B w w f f f f w f w f w w f w w w f w f f w w w w Die beiden Seiten haben genau an den gleichen Stellen w und f stehen; also sind die Aussagen gleich.

39 Beweis des zweiten de Morganschen Gesetzes
Wahrheitstafel für (A  B) und A  B: A B (A  B) A  B A  B w w f f f f w f f f w f f w f w f f f f w w w w Die beiden Seiten haben genau an den gleichen Stellen w und f stehen; also sind die Aussagen gleich. 

40 Allaussagen Allaussagen: Aussagen über alle Elemente einer Menge.
Beispiel: Alle Primzahlen > 2 sind ungerade. In jedem Dreieck schneiden sich die Mittellote in einem Punkt. Formal schreiben wir dafür Für alle x gilt ...  x ... Beispiele: Für alle Dreiecke gilt: Die Winkelsumme ist 180° Sei M = {1, 3, 5, 7}. Dann gilt: Für alle m  M ist m eine ungerade Zahl.

41 Allaussagen: Bemerkungen
1. Es gibt keinen logischen Unterschied zwischen „Für alle Elemente gilt ...“ und „für jedes Element gilt ...“. Sprachlich ist manchmal das eine, manchmal das andere besser. 2. Eine Allaussage ist eine lange und-Aussage. Beispiel: Sei M = {1, 3, 5, 7}. Dann gilt: Für alle m  M ist m eine ungerade Zahl. Stattdessen kann man auch sagen und schreiben: (1 ist ungerade)  (3 ist ungerade)  (5 ist ungerade)  (7 ist ungerade).

42 Existenzaussagen Existenzaussage: Es gibt mindestens ein Element der betreffenden Menge, das eine gewisse Eigenschaft hat. Beispiele: (a) Es gibt eine gerade Primzahl. (b) Sei M = {1, 4, 9, 16}. Dann gilt  m  M: m ist gerade. Jede Existenzaussage ist eine sehr lange oder-Aussage. Statt  m  M, das gerade ist kann man auch sagen: (1 ist gerade)  (4 ist gerade)  (9 ist gerade)  (16 ist gerade).

43 Verneinung von All- und Existenzaussagen
1.2.2 Satz. (a) Die Negation einer Allaussage ist eine Existenzaussage. Genauer gilt: ( x gilt ...) =  x, für das nicht gilt ... (b) Die Negation einer Existenzaussage ist eine Allaussage. Genauer gilt: ( x, für das gilt ) =  x gilt nicht ... Beispiele: (a) Alle Schwäne sind weiß Negation: Es gibt einen nichtweißen Schwan. (b) Es gibt einen dummen Studenten Negation: Alle Studenten sind intelligent.

44 1.3 Abbildungen Ziel: Vergleich von Mengen. Feststellung von Ähnlichkeiten und Unterschieden. Um Dinge vergleichen zu können, muss man sie zusammenbringen. Dazu braucht man Abbildungen. Definition. Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung von X nach Y ist eine Vorschrift, die jedem Element von X genau ein Element von Y zuordnet.

45 Beispiele von Abbildungen
Zuordnung Ware  Preis ist eine Abbildung. Hier ist X die Menge der Waren und Y die Menge der Preise. Jede Ware hat einen eindeutigen Preis; also ist die Zuordnung eine Abbildung. Zuordnung Person  Körpergröße ist eine Abbildung. X: Menge aller Personen, Y: Menge der natürlichen Zahlen. Die Körpergröße einer Person ist eindeutig. Es kann sein, dass mehrere Personen dieselbe Größe haben; das ist nicht verboten.

46 Sprache der Abbildungen
Für eine Abbildung f von X nach Y schreiben wir f: X  Y. Jedem Element x  X wird genau ein y  Y zugeordnet. Dieses y bezeichnen wir mit f(x). Bezeichnung: f: X  Y: y = f(x) oder f: X  Y: x  f(x). X: Definitionsbereich, Y: Bildbereich.

47 Mathematische Beispiele
Sei f die Abbildung der Menge {1,2,3} in sich, die folgendermaßen erklärt ist 1  1, 2  3, 3  2. Die Vorschrift f: R  R, definiert durch f(x) = x2, ist eine Abbildung. Wir ordnen jeder nichtleeren Teilmenge von N ihr kleinstes Element zu. Das ergibt eine Abbildung; Definitionsbereich: Menge aller nichtleeren Teilmengen von N, Bildbereich: N. Sei p/q eine rationale Zahl, das heißt p, q  Z, q  0. Wir nehmen an, dass q positiv ist und der Bruch so weit wie möglich gekürzt ist. Dann wird durch f(p/q) = q eine Abbildung f von Q in N definiert.

48 Die Identität Wir betrachten Abbildungen einer Menge X in sich.
Identität: ordnet jedem Element x aus X wieder das Element x zu. Bezeichnung: id oder genauer idX . Es gilt also idX(x) = x für alle x  X.

49 Hintereinanderausführung von Abbildungen
Ziel: Vergleich der Menge X mit der Menge Y, Vergleich von Y mit Z ergibt Vergleich von X mit Z. Definition: Sei g: X  Y eine Abbildung von X nach Y, und sei f: Y  Z eine Abbildung von Y nach Z. Dann ist f  g eine Abbildung von X nach Z, wenn wir definieren f  g: X  Z: x  f(g(x)). Man spricht von Hintereinanderausführung von Abbildungen; (oder: Verknüpfung, Verkettung, Komposition oder Produkt). Achtung Reihenfolge! Für f  g muss man zuerst g und dann f ausführen. Man liest „f  g“ als „f nach g” oder „erst g, dann f”.

50 g(0) = c, g(1) = a, g(2) = c; f(a) = b, f(b) = g, f(c) = a.
Beispiele Beispiel: Sei X = {0, 1, 2}, Y = {a, b, c}, Z = {a, b, g}. Seien g: X  Y und f: Y  Z die folgendermaßen definierten Abbildungen: g(0) = c, g(1) = a, g(2) = c; f(a) = b, f(b) = g, f(c) = a. Dann ist f  g wie folgt definiert: (f  g)(0) = f(g(0)) = f(c) = a, (f  g)(1) = f(g(1)) = f(a) = b, (f  g)(2) = f(g(2)) = f(c) = a. Beispiel: Sei g die Abbildung, die einem Kraftfahrzeug seinen Hubraum und f die Abbildung, die einem Hubraum die Steuerklasse zuordnet. Dann ist f  g die Abbildung, die einem Kraftfahrzeug seine Steuerklasse zuordnet.

51 Injektiv, surjektiv, bijektiv
Sei f eine Abbildung von X nach Y. Definition: Man nennt f injektiv, wenn keine zwei verschiedenen Elemente von X auf dasselbe Element von Y abgebildet werden. Bei keinem Element von Y enden zwei oder mehr Pfeile. Definition: Man nennt f surjektiv, wenn es zu jedem Element y  Y ein x  X gibt mit f(x) = y. An jedem Element von Y endet mindestens ein Pfeil. Definition: Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. An jedem Element von Y endet genau ein Pfeil.

52 Beispiele Die Abbildung, die einer Person ihr Alter (in Jahren) zuordnet, ist nicht injektiv, da es verschiedene Personen desselben Alters gibt. Die Abbildung, die jedem Kraftfahrzeug sein Kennzeichen zuordnet, ist injektiv. Die Abbildung, die jedem ehemaligen Studenten seine Examensnote zuordnet, ist (vermutlich) surjektiv, aber nicht injektiv. Die Abbildung f der Menge {0, 1, 2} in die Menge {a, b, c} f(0) = b, f(1) = c, f(2) = a ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv.

53 Umkehrabbildungen Beispiel: Wie können wir die Abbildung f mit f(0) = b, f(1) = c und f(2) = a rückgängig machen? – Ganz einfach dadurch, dass wir jedem Bild sein Urbild zuordnen. Die Umkehrabbildung muss b auf 0, c auf 1 und a auf 2 abbilden. Die Umkehrabbildung von f ist eine Abbildung von Y = {a, b, c} in X = {0, 1, 2}, die wir mit f–1 bezeichnen. Sie ist definiert durch f–1(a) = 2, f–1(b) = 0, f–1(c) = 1. Kurz: Wenn wir mit f die Pfeile von links nach rechts durchlaufen, so durchlaufen wir mit f–1 die Pfeile von rechts nach links.

54 Der Satz über die Umkehrfunktion
1.3.1 Satz. Sei f: X  Y eine bijektive Abbildung. Dann gibt es eine Abbildung f–1, die die Wirkung von f rückgängig macht. Genauer gesagt muss f–1 also eine Abbildung von Y  X sein, die folgende Eigenschaften hat: ff–1 = idY und f–1f = idX. Das bedeutet, dass für alle x  X und für alle y  Y gilt ff–1(y) = y und f–1f(x) = x. Mit anderen Worten: Jede bijektive Abbildung f ist umkehrbar (oder invertierbar).

55 Beweis des Satzes über die Umkehrfunktion
Beweis. Wir müssen die Abbildung f–1 : Y  X finden. Das heißt: für jedes y  Y müssen wir f–1(y) definieren – und zwar so, dass die Wirkung von f rückgängig gemacht wird, dass also f(x) = y gilt. Da f ist eine surjektive Abbildung ist, gibt es zu jedem y  Y (mindestens) ein x  X mit f(x) = y. Da f injektiv ist, gibt es nur ein einziges solches x. Also können wir die Abbildung f–1 von Y nach X definieren durch f–1(y) := x. Dann gilt nach Definition f f–1(y) = f(x) = y und f–1f(x) = f–1(y) = x für alle y  Y und alle x  X. 


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