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Kapitel 1 Mengen, Abbildungen, Logik. Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 2 Inhalt 1.1 Mengen { },,... 1.2 Logik,,... 1.3 Abbildungen f: X Y.

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1 Kapitel 1 Mengen, Abbildungen, Logik

2 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 2 Inhalt 1.1 Mengen { },, Logik,, Abbildungen f: X Y 1.1 Mengen { },, Logik,, Abbildungen f: X Y

3 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite Was ist eine Menge? Schwierige Frage! Der Vater der Mengenlehre, Georg Cantor ( ), sagte: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens... zu einem Ganzen. Anstatt genau zu sagen, was eine Menge ist, stellen wir dar, wie man Mengen beschreiben kann. Dafür gibt es drei Möglichkeiten. 1. Durch Aufzählung 2. Durch Eigenschaften 3. Das kartesische Produkt Schwierige Frage! Der Vater der Mengenlehre, Georg Cantor ( ), sagte: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens... zu einem Ganzen. Anstatt genau zu sagen, was eine Menge ist, stellen wir dar, wie man Mengen beschreiben kann. Dafür gibt es drei Möglichkeiten. 1. Durch Aufzählung 2. Durch Eigenschaften 3. Das kartesische Produkt

4 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite Beschreibung durch Aufzählung Beispiel: {rot, grün, blau} ist die Menge der Farben rot, grün und blau. Beispiel: Die Menge {Susanne, Yvonne, Ute, Nicole} besteht aus den Elementen Susanne, Yvonne, Ute, Nicole. Beispiel: Wir betrachten oft Mengen von Zahlen: M = {0, 1, 2, 3, 4} ist die Menge der Zahlen 0, 1, 2, 3, 4. Beispiel: {rot, grün, blau} ist die Menge der Farben rot, grün und blau. Beispiel: Die Menge {Susanne, Yvonne, Ute, Nicole} besteht aus den Elementen Susanne, Yvonne, Ute, Nicole. Beispiel: Wir betrachten oft Mengen von Zahlen: M = {0, 1, 2, 3, 4} ist die Menge der Zahlen 0, 1, 2, 3, 4.

5 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 5 Notation und Bemerkung Die Elemente der Menge werden in geschweifte Klammern geschrieben: a, b, c sind die Elemente der Menge {a, b, c}. Bei einer Menge spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle: {c, a, b} = {b, a, c} = {a, b, c}. In einer Menge werden Elemente, die mehrfach auftauchen, nur einmal betrachtet: {a, a, a, a, b, b, b, c, c, c, c, c, c, c, c} = {a, b, c}. Die Elemente der Menge werden in geschweifte Klammern geschrieben: a, b, c sind die Elemente der Menge {a, b, c}. Bei einer Menge spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle: {c, a, b} = {b, a, c} = {a, b, c}. In einer Menge werden Elemente, die mehrfach auftauchen, nur einmal betrachtet: {a, a, a, a, b, b, b, c, c, c, c, c, c, c, c} = {a, b, c}.

6 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 6 Unendliche Mengen N: Menge der natürlichen Zahlen: N = {0, 1, 2, 3, 4,...}. Z: Menge der ganzen Zahlen: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}. Q: Menge der rationalen Zahlen (Brüche). R: Menge der reellen Zahlen. N: Menge der natürlichen Zahlen: N = {0, 1, 2, 3, 4,...}. Z: Menge der ganzen Zahlen: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}. Q: Menge der rationalen Zahlen (Brüche). R: Menge der reellen Zahlen.

7 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 7 Elemente, Teilmengen m M: Das Element m ist in der Menge M enthalten. m M: Das Element m ist nicht in der Menge M enthalten. M 1 M 2 (Teilmenge): Jedes Element von M 1 ist auch ein Element von M 2. Beispiel: M 1 = {rot, blau} ist Teilmenge von M 2 = {rot, blau, grün}. Die leere Menge enthält kein Element. Sie wird mit {} oder bezeichnet. m M: Das Element m ist in der Menge M enthalten. m M: Das Element m ist nicht in der Menge M enthalten. M 1 M 2 (Teilmenge): Jedes Element von M 1 ist auch ein Element von M 2. Beispiel: M 1 = {rot, blau} ist Teilmenge von M 2 = {rot, blau, grün}. Die leere Menge enthält kein Element. Sie wird mit {} oder bezeichnet.

8 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite Beschreibung einer Menge durch Eigenschaften Wichtiges Prinzip: Man sondert man aus einer schon vorhandenen Menge eine Teilmenge aus. Man nennt das auch Mengenbildung durch Aussonderung Beispiele: 1. T = Menge aller Tiere. M = {t T t ist intelligent}. (Klassische Definition des Menschen) 2. G = {z Z z ist gerade}. Eigenschaft: gerade sein. Es ist G = {..., –4, –2, 0, 2, 4,...}. Wichtiges Prinzip: Man sondert man aus einer schon vorhandenen Menge eine Teilmenge aus. Man nennt das auch Mengenbildung durch Aussonderung Beispiele: 1. T = Menge aller Tiere. M = {t T t ist intelligent}. (Klassische Definition des Menschen) 2. G = {z Z z ist gerade}. Eigenschaft: gerade sein. Es ist G = {..., –4, –2, 0, 2, 4,...}.

9 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 9 Thema der Woche Was ist das Thema? Zeichnung Beispiele: Umwelt und Mathematik Historische Bemerkung … 1. Thema: Definition einer Menge durch Eigenschaften Was ist das Thema? Zeichnung Beispiele: Umwelt und Mathematik Historische Bemerkung … 1. Thema: Definition einer Menge durch Eigenschaften

10 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 10 Durchschnitt (Schnittmenge) Der Durchschnitt zweier Mengen M 1 und M 2 ist so definiert: M 1 M 2 = {m M 1 m M 2 } (= {m M 2 m M 1 }). Eigenschaft: m M 2. Beispiel: M 1 : Menge der Biologiestudenten, M 2 : Menge der Mathe- matikstudenten. Dann ist M 1 M 2 die Menge der Studenten, die sowohl Bio als auch Mathe studieren. Beispiel: G = Menge der geraden natürlichen Zahlen, D = Menge der durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen. Dann ist G D die Menge der durch 6 teilbaren natürlichen Zahlen. Der Durchschnitt zweier Mengen M 1 und M 2 ist so definiert: M 1 M 2 = {m M 1 m M 2 } (= {m M 2 m M 1 }). Eigenschaft: m M 2. Beispiel: M 1 : Menge der Biologiestudenten, M 2 : Menge der Mathe- matikstudenten. Dann ist M 1 M 2 die Menge der Studenten, die sowohl Bio als auch Mathe studieren. Beispiel: G = Menge der geraden natürlichen Zahlen, D = Menge der durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen. Dann ist G D die Menge der durch 6 teilbaren natürlichen Zahlen.

11 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 11 Disjunkte Mengen Zwei Mengen heißen disjunkt (oder auch elementfremd), wenn sie kein Element gemeinsam haben. Formaler: M 1 und M 2 werden disjunkt genannt, falls M 1 M 2 = {} gilt. Beispiel: Sei C die Menge der Mitglieder der CDU, S die Menge der Mitglieder der SPD. Dann sind C und S disjunkte Mengen. Beispiel: Die Menge der durch 4 teilbaren Zahlen und die Menge der Primzahlen sind disjunkt. Zwei Mengen heißen disjunkt (oder auch elementfremd), wenn sie kein Element gemeinsam haben. Formaler: M 1 und M 2 werden disjunkt genannt, falls M 1 M 2 = {} gilt. Beispiel: Sei C die Menge der Mitglieder der CDU, S die Menge der Mitglieder der SPD. Dann sind C und S disjunkte Mengen. Beispiel: Die Menge der durch 4 teilbaren Zahlen und die Menge der Primzahlen sind disjunkt.

12 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 12 Vereinigungsmenge Die Vereinigung zweier Mengen M 1 und M 2 ist so definiert: M 1 M 2 = {m m M 1 oder m M 2 }. Beispiel: M 1 : Menge der Biologiestudenten, M 2 : Menge der Mathematikstudenten. Dann ist M 1 M 2 die Menge der Studenten, die Bio oder Mathe (oder beides) studieren. Bemerkung: Wenn wir oder sagen meinen wir immer das nicht- ausschließliche Oder. Beispiel: G = Menge der geraden natürlichen Zahlen, U = Menge der ungeraden Zahlen. Dann ist G U = N. Die Vereinigung zweier Mengen M 1 und M 2 ist so definiert: M 1 M 2 = {m m M 1 oder m M 2 }. Beispiel: M 1 : Menge der Biologiestudenten, M 2 : Menge der Mathematikstudenten. Dann ist M 1 M 2 die Menge der Studenten, die Bio oder Mathe (oder beides) studieren. Bemerkung: Wenn wir oder sagen meinen wir immer das nicht- ausschließliche Oder. Beispiel: G = Menge der geraden natürlichen Zahlen, U = Menge der ungeraden Zahlen. Dann ist G U = N.

13 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 13 Differenz von Mengen Die Differenz zweier Mengen M 1 und M 2 ist so definiert: M 1 \M 2 = {m M 1 m M 2 }. Eigenschaft: m M 2. Beispiele: {rot, blau, gelb}\{grün, weiß, rot} = {blau, gelb} Z\G = Menge der ungeraden ganzen Zahlen N\G = Menge der ungeraden natürlichen Zahlen. Bemerkungen: 1. Wir benutzen \ anstelle von –. 2. Man darf M 1 \M 2 auch dann bilden, wenn M 2 keine Teilmenge von M 1 ist. Die Differenz zweier Mengen M 1 und M 2 ist so definiert: M 1 \M 2 = {m M 1 m M 2 }. Eigenschaft: m M 2. Beispiele: {rot, blau, gelb}\{grün, weiß, rot} = {blau, gelb} Z\G = Menge der ungeraden ganzen Zahlen N\G = Menge der ungeraden natürlichen Zahlen. Bemerkungen: 1. Wir benutzen \ anstelle von –. 2. Man darf M 1 \M 2 auch dann bilden, wenn M 2 keine Teilmenge von M 1 ist.

14 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 14 Komplement einer Menge Wenn die Menge M 2 eine Teilmenge von M 1 ist, so nennt man die Differenz M 1 \M 2 das Komplement von M 2 in M 1. Zwei Teilmengen M 2 und M 1 einer Menge M werden komplementär genannt, wenn gilt M 1 M 2 = M und M 1 M 2 = {}. (Man kann auch sagen: … wenn M 2 = M\M 1 ist.) Beispiel: M 1 = {2, 4, 6}, M 2 = {1, 3, 5} sind komplementäre Teil- mengen von {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Wenn die Menge M 2 eine Teilmenge von M 1 ist, so nennt man die Differenz M 1 \M 2 das Komplement von M 2 in M 1. Zwei Teilmengen M 2 und M 1 einer Menge M werden komplementär genannt, wenn gilt M 1 M 2 = M und M 1 M 2 = {}. (Man kann auch sagen: … wenn M 2 = M\M 1 ist.) Beispiel: M 1 = {2, 4, 6}, M 2 = {1, 3, 5} sind komplementäre Teil- mengen von {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

15 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite Das kartesische Produkt Ziel: Mengen ganz neuen Typs! Seien M 1 und M 2 zwei Mengen mit M 1, M 2 {}. Dann ist das kartesische Produkt die Menge M 1 M 2, die aus allen geordneten Paaren (m 1, m 2 ) mit m 1 M 1 und m 2 M 2 besteht. Beispiel: Ist M 1 = {0, 1, 2} und M 2 = {a, b}, so gilt M 1 M 2 = {(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}. Achtung: Bei den Paaren kommt es auf die Reihenfolge an! Zum Beispiel ist das Paar (a, 0) kein Element der obigen Menge M 1 M 2. Ziel: Mengen ganz neuen Typs! Seien M 1 und M 2 zwei Mengen mit M 1, M 2 {}. Dann ist das kartesische Produkt die Menge M 1 M 2, die aus allen geordneten Paaren (m 1, m 2 ) mit m 1 M 1 und m 2 M 2 besteht. Beispiel: Ist M 1 = {0, 1, 2} und M 2 = {a, b}, so gilt M 1 M 2 = {(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}. Achtung: Bei den Paaren kommt es auf die Reihenfolge an! Zum Beispiel ist das Paar (a, 0) kein Element der obigen Menge M 1 M 2.

16 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 16 Das allgemeine kartesische Produkt Seien M 1, M 2,..., M n nichtleere Mengen, dann ist das kartesische Produkt dieser Mengen definiert durch: M 1 M 2... M n = {(m 1, m 2,..., m n ) m 1 M 1, m 2 M 2,..., m n M n } Beispiel: Seien He, Ho, S die Mengen der Hemden, Hosen und Schuhen von Professor X. Dann beschreibt die Menge He Ho S die Möglichkeiten von Professor X, sich zu kleiden. Beispiel: Seien V die Menge der Vorspeisen, H die Menge der Hauptspeisen, N die Menge der Nachspeisen einer Speisekarte. Dann ist V H N die Menge aller mögliche Speisefolgen. Seien M 1, M 2,..., M n nichtleere Mengen, dann ist das kartesische Produkt dieser Mengen definiert durch: M 1 M 2... M n = {(m 1, m 2,..., m n ) m 1 M 1, m 2 M 2,..., m n M n } Beispiel: Seien He, Ho, S die Mengen der Hemden, Hosen und Schuhen von Professor X. Dann beschreibt die Menge He Ho S die Möglichkeiten von Professor X, sich zu kleiden. Beispiel: Seien V die Menge der Vorspeisen, H die Menge der Hauptspeisen, N die Menge der Nachspeisen einer Speisekarte. Dann ist V H N die Menge aller mögliche Speisefolgen.

17 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 17 Das kartesische Produkt: Bemerkungen Die Bezeichnung kartesisch (früher auch cartesisch) geht auf den Mathematiker und Philosophen René Descartes ( ) zurück. In der Mathematik wird sein Name damit verbunden, dass er die Punkte der Ebene durch Paare von Zahlen dargestellt hat (siehe Kapitel 3). Die Elemente von M 1 M 2... M n tragen vielfältige Namen: n-Tupel, Folgen der Länge n. Statt 2-Tupel sagt man Paar, statt 3-Tupel sagt man Tripel. Die Bezeichnung kartesisch (früher auch cartesisch) geht auf den Mathematiker und Philosophen René Descartes ( ) zurück. In der Mathematik wird sein Name damit verbunden, dass er die Punkte der Ebene durch Paare von Zahlen dargestellt hat (siehe Kapitel 3). Die Elemente von M 1 M 2... M n tragen vielfältige Namen: n-Tupel, Folgen der Länge n. Statt 2-Tupel sagt man Paar, statt 3-Tupel sagt man Tripel.

18 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite Mächtigkeiten Sei M eine Menge. Wir bezeichnen wir die Anzahl der Elemente von M mit M. Diese Zahl heißt Mächtigkeit (oder Kardinalität) von M. Beispiel: {0,1,2,3} = 4. Eine Menge wird endlich genannt, wenn ihre Mächtigkeit eine natürliche Zahl ist. Sonst heißt die Menge unendlich. Wenn M eine unendliche Menge ist, so schreiben wir M =. Beispiel: N = und Z =. Sei M eine Menge. Wir bezeichnen wir die Anzahl der Elemente von M mit M. Diese Zahl heißt Mächtigkeit (oder Kardinalität) von M. Beispiel: {0,1,2,3} = 4. Eine Menge wird endlich genannt, wenn ihre Mächtigkeit eine natürliche Zahl ist. Sonst heißt die Menge unendlich. Wenn M eine unendliche Menge ist, so schreiben wir M =. Beispiel: N = und Z =.

19 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 19 Mächtigkeit des Komplements Satz. Sei M 1 eine endliche Menge, und sei M 2 eine Teilmenge von M 1. Dann gilt: M 1 \M 2 = M 1 – M 2. Beispiel: Anzahl der männlichen Einwohner der Bundesrepublik = Gesamtbevölkerungszahl minus Anzahl der Frauen. Beweis. Zu zeigen: Auf beiden Seiten steht die gleiche Zahl! Linke Seite: Anzahl der Element von M 1 \M 2. Rechte Seite: Wir zählen zuerst die Anzahl der Elemente von M 1, dann ziehen wir die Elemente von M 2 wieder ab. Daher erhalten wir auch auf der rechten Seite die Anzahl der Elemente von M 1 \M Satz. Sei M 1 eine endliche Menge, und sei M 2 eine Teilmenge von M 1. Dann gilt: M 1 \M 2 = M 1 – M 2. Beispiel: Anzahl der männlichen Einwohner der Bundesrepublik = Gesamtbevölkerungszahl minus Anzahl der Frauen. Beweis. Zu zeigen: Auf beiden Seiten steht die gleiche Zahl! Linke Seite: Anzahl der Element von M 1 \M 2. Rechte Seite: Wir zählen zuerst die Anzahl der Elemente von M 1, dann ziehen wir die Elemente von M 2 wieder ab. Daher erhalten wir auch auf der rechten Seite die Anzahl der Elemente von M 1 \M 2.

20 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 20 Summenformel Satz. Seien M 1 und M 2 endliche Mengen. Dann gilt M 1 M 2 = M 1 + M 2 – M 1 M 2. Beispiel: Für die Anzahl der Studierenden, die Mathematik studieren oder Sport studieren, muß man wissen, (a) wie viele Leute Mathe- matik studieren, (b) wie viele Sport studieren und (c) wie viele Mathematik und Sport studieren Satz. Seien M 1 und M 2 endliche Mengen. Dann gilt M 1 M 2 = M 1 + M 2 – M 1 M 2. Beispiel: Für die Anzahl der Studierenden, die Mathematik studieren oder Sport studieren, muß man wissen, (a) wie viele Leute Mathe- matik studieren, (b) wie viele Sport studieren und (c) wie viele Mathematik und Sport studieren.

21 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 21 Summenformel: Der Beweis Beweis (= warum ist das so?). Zu zeigen: Auf beiden Seiten steht die gleiche Zahl! Linke Seite: Jedes Element von M 1 M 2 wird genau einmal gezählt. Rechte Seite: In M 1 + M 2 wird jedes Element von M 1 und jedes Element von M 2 einmal gezählt, die Elemente von M 1 M 2 werden also doppelt gezählt. Dies wird dadurch korrigiert, dass M 1 M 2 wieder abgezogen wird. Daher wird auch auf der rechten Seite jedes Element genau einmal gezählt.

22 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 22 Die Produktformel Satz. Seien M 1, M 2 nichtleere endliche Mengen. Dann gilt: M 1 M 2 = M 1 M 2. Beispiel: In einem Raum befinden sich 6 Frauen und 4 Männer. Dann kann man genau 6 4 = 24 getrenntgeschlechtliche Paare bilden. Beispiel: Die Anzahl aller Paare (x, y), wobei x aus der Menge {0, 1, 2,..., 9} und y aus der Menge {a, b, c, d,..., z} stammt, ist = Satz. Seien M 1, M 2 nichtleere endliche Mengen. Dann gilt: M 1 M 2 = M 1 M 2. Beispiel: In einem Raum befinden sich 6 Frauen und 4 Männer. Dann kann man genau 6 4 = 24 getrenntgeschlechtliche Paare bilden. Beispiel: Die Anzahl aller Paare (x, y), wobei x aus der Menge {0, 1, 2,..., 9} und y aus der Menge {a, b, c, d,..., z} stammt, ist = 260.

23 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 23 Die Produktformel: Der Beweis Beweis (= warum ist die Formel richtig?). Die Menge M 1 M 2 besteht aus allen Paaren (m 1, m 2 ) mit m 1 M 1 und m 2 M 2. Wir müssen die Anzahl dieser Paare berechnen. Für die erste Komponente (also für m 1 ) haben wir genau M 1 Möglichkeiten zu Auswahl. Für jede dieser Möglichkeiten können wir die zweite Komponente m 2 in M 2 ohne jede Einschränkung wählen. Dafür gibt es M 2 viele Möglichkeiten. Um ein Paar (m 1, m 2 ) zu wählen gibt es insgesamt also genau M 1 M 2 Möglichkeiten. Beweis (= warum ist die Formel richtig?). Die Menge M 1 M 2 besteht aus allen Paaren (m 1, m 2 ) mit m 1 M 1 und m 2 M 2. Wir müssen die Anzahl dieser Paare berechnen. Für die erste Komponente (also für m 1 ) haben wir genau M 1 Möglichkeiten zu Auswahl. Für jede dieser Möglichkeiten können wir die zweite Komponente m 2 in M 2 ohne jede Einschränkung wählen. Dafür gibt es M 2 viele Möglichkeiten. Um ein Paar (m 1, m 2 ) zu wählen gibt es insgesamt also genau M 1 M 2 Möglichkeiten.

24 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 24 Allgemeine Produktformel Satz. Seien M 1, M 2,..., M n endliche nichtleere Mengen. Dann ist M 1 M 2... M n = M 1 M 2... M n. Beispiel. Wenn Professor X genau 8 Hemden, 3 Hosen und 4 Paar Schuhe hat, so kann er sich auf = 96 Weisen kleiden. Beispiel. Bei Geldausgabeautomaten besteht die Geheimzahl aus vier Dezimalstellen, von denen die erste nicht 0 sein darf. Wie viele solche PINs gibt es? Antwort: = Satz. Seien M 1, M 2,..., M n endliche nichtleere Mengen. Dann ist M 1 M 2... M n = M 1 M 2... M n. Beispiel. Wenn Professor X genau 8 Hemden, 3 Hosen und 4 Paar Schuhe hat, so kann er sich auf = 96 Weisen kleiden. Beispiel. Bei Geldausgabeautomaten besteht die Geheimzahl aus vier Dezimalstellen, von denen die erste nicht 0 sein darf. Wie viele solche PINs gibt es? Antwort: = 9000.

25 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite Logik Aussagen Zusammengesetzte Aussagen Wahrheitstafeln Allaussagen Existenzaussagen Aussagen Zusammengesetzte Aussagen Wahrheitstafeln Allaussagen Existenzaussagen

26 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 26 Aussagen Eine Aussage ist ein sprachliches Konstrukt, das prinzipiell falsch oder wahr ist. Beispiele für Aussagen: Alle Mathematikstudenten sind intelligent. Es gibt unendlich viele Primzahlen. 2+2 = 5. Keine Aussagen sind zum Beispiel: Guten Morgen! 5+3 Howgh, ich habe gesprochen! Eine Aussage ist ein sprachliches Konstrukt, das prinzipiell falsch oder wahr ist. Beispiele für Aussagen: Alle Mathematikstudenten sind intelligent. Es gibt unendlich viele Primzahlen. 2+2 = 5. Keine Aussagen sind zum Beispiel: Guten Morgen! 5+3 Howgh, ich habe gesprochen!

27 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 27 Zusammengesetzte Aussagen Wir bezeichnen Aussagen mit Großbuchstaben, wie A, B, C. Aus einer oder zwei Aussagen A und B kann man eine dritte machen. Die wichtigsten zusammengesetzten Aussagen sind: A (nicht A) A B (A oder B) A B (A und B) A B (wenn A, dann B) A B (A genau dann, wenn B) Wir bezeichnen Aussagen mit Großbuchstaben, wie A, B, C. Aus einer oder zwei Aussagen A und B kann man eine dritte machen. Die wichtigsten zusammengesetzten Aussagen sind: A (nicht A) A B (A oder B) A B (A und B) A B (wenn A, dann B) A B (A genau dann, wenn B)

28 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 28 Wahrheitstafeln Wie kann man eine zusammengesetzte Aussage beschreiben? Wir müssen für zusammengesetzte Aussagen nur festlegen, wann sie wahr und wann sie falsch sein sollen. Das hängt davon ab, ob die Aussagen A und B wahr oder falsch sind. Dies können wir mit Hilfe von Wahrheitstafeln ausdrücken. Wie kann man eine zusammengesetzte Aussage beschreiben? Wir müssen für zusammengesetzte Aussagen nur festlegen, wann sie wahr und wann sie falsch sein sollen. Das hängt davon ab, ob die Aussagen A und B wahr oder falsch sind. Dies können wir mit Hilfe von Wahrheitstafeln ausdrücken.

29 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 29 A B (A und B) AB A B www wff fwf fff Wenn A und B wahr sind, dann ist A B wahr. Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist A B falsch. Wenn A falsch und B wahr ist, dann ist A B falsch. Wenn A und B falsch sind, dann ist A B falsch. Beispiel: Die Aussage (2+2=5) (5 ist eine Primzahl) ist falsch. AB A B www wff fwf fff Wenn A und B wahr sind, dann ist A B wahr. Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist A B falsch. Wenn A falsch und B wahr ist, dann ist A B falsch. Wenn A und B falsch sind, dann ist A B falsch. Beispiel: Die Aussage (2+2=5) (5 ist eine Primzahl) ist falsch.

30 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 30 A B (A oder B) AB A B www wfw fww fff Wenn A und B wahr sind, dann ist A B wahr. Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist A B wahr. Wenn A falsch und B wahr ist, dann ist A B wahr. Wenn A und B falsch sind, dann ist A B falsch. Beispiel: Die Aussage (2+2=5) (5 ist eine Primzahl) ist wahr. AB A B www wfw fww fff Wenn A und B wahr sind, dann ist A B wahr. Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist A B wahr. Wenn A falsch und B wahr ist, dann ist A B wahr. Wenn A und B falsch sind, dann ist A B falsch. Beispiel: Die Aussage (2+2=5) (5 ist eine Primzahl) ist wahr.

31 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 31 A (nicht A) A A wf fw Das bedeutet: A ist genau dann eine wahre Aussage, wenn A falsch ist. Beispiel: (2+2=5) ist eine wahre Aussage. A A wf fw Das bedeutet: A ist genau dann eine wahre Aussage, wenn A falsch ist. Beispiel: (2+2=5) ist eine wahre Aussage.

32 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 32 A B (wenn A, dann B) AB A B www wff fww ffw Wenn A und B wahr sind, dann ist A B eine wahre Aussage. Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist A B falsch. Wenn A falsch und B wahr ist, dann ist A B wahr. Wenn A und B falsch sind, dann ist A B eine wahre Aussage. Beispiel: Die Aussage (2+2=5) (5 ist eine Primzahl) ist wahr. AB A B www wff fww ffw Wenn A und B wahr sind, dann ist A B eine wahre Aussage. Wenn A wahr und B falsch ist, dann ist A B falsch. Wenn A falsch und B wahr ist, dann ist A B wahr. Wenn A und B falsch sind, dann ist A B eine wahre Aussage. Beispiel: Die Aussage (2+2=5) (5 ist eine Primzahl) ist wahr.

33 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 33 A B (A genau dann, wenn B) AB A B www wff fwf ffw A B ist genau dann eine wahre Aussage, wenn A und B beide wahr oder beide falsch sind. Beispiel: Die Aussage (2+2=5) (5 ist eine Primzahl) ist eine falsche Aussage, aber die Aussage (2+2=5) (6 ist eine Primzahl) ist eine wahre Aussage. AB A B www wff fwf ffw A B ist genau dann eine wahre Aussage, wenn A und B beide wahr oder beide falsch sind. Beispiel: Die Aussage (2+2=5) (5 ist eine Primzahl) ist eine falsche Aussage, aber die Aussage (2+2=5) (6 ist eine Primzahl) ist eine wahre Aussage.

34 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 34 Aussagen: Bemerkungen Wenn zwei Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben (also beide wahr oder beide falsch sind), so schreiben wir A = B. (Man könnte auch A B schreiben.) Bemerkung. Obige Festlegungen sind zum Teil willkürlich. Aber so sind die Symbole und der Sprachgebrauch in der Mathematik festgelegt! Wenn zwei Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben (also beide wahr oder beide falsch sind), so schreiben wir A = B. (Man könnte auch A B schreiben.) Bemerkung. Obige Festlegungen sind zum Teil willkürlich. Aber so sind die Symbole und der Sprachgebrauch in der Mathematik festgelegt!

35 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 35 Sätze Wahrheitstafeln dienen nicht nur der Definition von Aussagen, sondern können auch dazu verwendet werden, Sätze zu beweisen. Was ist ein mathematischer Satz? Ein mathematischer Satz ist eine zusammengesetzte Aussage, die immer wahr ist. Das heißt, dass sie unabhängig von der Verteilung der Wahrheitswerte der Einzelaussagen wahr ist. Ein mathematischer Satz besteht immer aus einer Voraussetzung und einer Behauptung. Das heißt: Jeder Satz ist eine Wenn-dann-Aussage. Wahrheitstafeln dienen nicht nur der Definition von Aussagen, sondern können auch dazu verwendet werden, Sätze zu beweisen. Was ist ein mathematischer Satz? Ein mathematischer Satz ist eine zusammengesetzte Aussage, die immer wahr ist. Das heißt, dass sie unabhängig von der Verteilung der Wahrheitswerte der Einzelaussagen wahr ist. Ein mathematischer Satz besteht immer aus einer Voraussetzung und einer Behauptung. Das heißt: Jeder Satz ist eine Wenn-dann-Aussage.

36 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 36 Ein einfacher Satz Satz. Für alle Aussagen A und B gilt: (A B) A. Gelten bedeutet, dass die Gesamtaussage stets wahr ist, unab- hängig davon, ob die Aussagen A und B wahr oder falsch sind. Beweis. AB A B(A B) A wwww wffw fwfw fffw Satz. Für alle Aussagen A und B gilt: (A B) A. Gelten bedeutet, dass die Gesamtaussage stets wahr ist, unab- hängig davon, ob die Aussagen A und B wahr oder falsch sind. Beweis. AB A B(A B) A wwww wffw fwfw fffw

37 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 37 Die de Morganschen Gesetze Satz (Augustus de Morgan). Seien A und B Aussagen. Dann gilt (a) (A B) = A B (erstes de Morgansches Gesetz). (b) (A B) = A B (zweites de Morgansches Gesetz). Beweisidee. (a) Wir zeigen diese Behauptung dadurch, dass wir zeigen, dass für jede Belegung der Wahrheitswerte von A und B die beiden Seiten (A B) und A B stets den gleichen Wahrheitswert haben Satz (Augustus de Morgan). Seien A und B Aussagen. Dann gilt (a) (A B) = A B (erstes de Morgansches Gesetz). (b) (A B) = A B (zweites de Morgansches Gesetz). Beweisidee. (a) Wir zeigen diese Behauptung dadurch, dass wir zeigen, dass für jede Belegung der Wahrheitswerte von A und B die beiden Seiten (A B) und A B stets den gleichen Wahrheitswert haben.

38 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 38 Beweis des ersten de Morganschen Gesetzes Wahrheitstafel für (A B) und A B AB (A B) A B A B wwffff wfwfww fwwwfw ffwwww Die beiden Seiten haben genau an den gleichen Stellen w und f stehen; also sind die Aussagen gleich. Wahrheitstafel für (A B) und A B AB (A B) A B A B wwffff wfwfww fwwwfw ffwwww Die beiden Seiten haben genau an den gleichen Stellen w und f stehen; also sind die Aussagen gleich.

39 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 39 Beweis des zweiten de Morganschen Gesetzes Wahrheitstafel für (A B) und A B: AB (A B) A B A B wwffff wfffwf fwfwff ffwwww Die beiden Seiten haben genau an den gleichen Stellen w und f stehen; also sind die Aussagen gleich. Wahrheitstafel für (A B) und A B: AB (A B) A B A B wwffff wfffwf fwfwff ffwwww Die beiden Seiten haben genau an den gleichen Stellen w und f stehen; also sind die Aussagen gleich.

40 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 40 Allaussagen Allaussagen: Aussagen über alle Elemente einer Menge. Beispiel: Alle Primzahlen > 2 sind ungerade. In jedem Dreieck schneiden sich die Mittellote in einem Punkt. Formal schreiben wir dafür Für alle x gilt... x... Beispiele: Für alle Dreiecke gilt: Die Winkelsumme ist 180° Sei M = {1, 3, 5, 7}. Dann gilt: Für alle m M ist m eine ungerade Zahl. Allaussagen: Aussagen über alle Elemente einer Menge. Beispiel: Alle Primzahlen > 2 sind ungerade. In jedem Dreieck schneiden sich die Mittellote in einem Punkt. Formal schreiben wir dafür Für alle x gilt... x... Beispiele: Für alle Dreiecke gilt: Die Winkelsumme ist 180° Sei M = {1, 3, 5, 7}. Dann gilt: Für alle m M ist m eine ungerade Zahl.

41 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 41 Allaussagen: Bemerkungen 1. Es gibt keinen logischen Unterschied zwischen Für alle Elemente gilt... und für jedes Element gilt.... Sprachlich ist manchmal das eine, manchmal das andere besser. 2. Eine Allaussage ist eine lange und-Aussage. Beispiel: Sei M = {1, 3, 5, 7}. Dann gilt: Für alle m M ist m eine ungerade Zahl. Stattdessen kann man auch sagen und schreiben: (1 ist ungerade) (3 ist ungerade) (5 ist ungerade) (7 ist ungerade). 1. Es gibt keinen logischen Unterschied zwischen Für alle Elemente gilt... und für jedes Element gilt.... Sprachlich ist manchmal das eine, manchmal das andere besser. 2. Eine Allaussage ist eine lange und-Aussage. Beispiel: Sei M = {1, 3, 5, 7}. Dann gilt: Für alle m M ist m eine ungerade Zahl. Stattdessen kann man auch sagen und schreiben: (1 ist ungerade) (3 ist ungerade) (5 ist ungerade) (7 ist ungerade).

42 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 42 Existenzaussagen Existenzaussage: Es gibt mindestens ein Element der betreffenden Menge, das eine gewisse Eigenschaft hat. Beispiele: (a) Es gibt eine gerade Primzahl. (b) Sei M = {1, 4, 9, 16}. Dann gilt m M: m ist gerade. Jede Existenzaussage ist eine sehr lange oder-Aussage. Statt m M, das gerade ist kann man auch sagen: (1 ist gerade) (4 ist gerade) (9 ist gerade) (16 ist gerade). Existenzaussage: Es gibt mindestens ein Element der betreffenden Menge, das eine gewisse Eigenschaft hat. Beispiele: (a) Es gibt eine gerade Primzahl. (b) Sei M = {1, 4, 9, 16}. Dann gilt m M: m ist gerade. Jede Existenzaussage ist eine sehr lange oder-Aussage. Statt m M, das gerade ist kann man auch sagen: (1 ist gerade) (4 ist gerade) (9 ist gerade) (16 ist gerade).

43 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 43 Verneinung von All- und Existenzaussagen Satz. (a) Die Negation einer Allaussage ist eine Existenzaussage. Genauer gilt: ( x gilt...) = x, für das nicht gilt... (b) Die Negation einer Existenzaussage ist eine Allaussage. Genauer gilt: ( x, für das gilt ) = x gilt nicht... Beispiele: (a) Alle Schwäne sind weiß Negation: Es gibt einen nichtweißen Schwan. (b) Es gibt einen dummen Studenten Negation: Alle Studenten sind intelligent Satz. (a) Die Negation einer Allaussage ist eine Existenzaussage. Genauer gilt: ( x gilt...) = x, für das nicht gilt... (b) Die Negation einer Existenzaussage ist eine Allaussage. Genauer gilt: ( x, für das gilt ) = x gilt nicht... Beispiele: (a) Alle Schwäne sind weiß Negation: Es gibt einen nichtweißen Schwan. (b) Es gibt einen dummen Studenten Negation: Alle Studenten sind intelligent.

44 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite Abbildungen Ziel: Vergleich von Mengen. Feststellung von Ähnlichkeiten und Unterschieden. Um Dinge vergleichen zu können, muss man sie zusammenbringen. Dazu braucht man Abbildungen. Definition. Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung von X nach Y ist eine Vorschrift, die jedem Element von X genau ein Element von Y zuordnet. Ziel: Vergleich von Mengen. Feststellung von Ähnlichkeiten und Unterschieden. Um Dinge vergleichen zu können, muss man sie zusammenbringen. Dazu braucht man Abbildungen. Definition. Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung von X nach Y ist eine Vorschrift, die jedem Element von X genau ein Element von Y zuordnet.

45 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 45 Beispiele von Abbildungen Zuordnung Ware Preis ist eine Abbildung. Hier ist X die Menge der Waren und Y die Menge der Preise. Jede Ware hat einen eindeutigen Preis; also ist die Zuordnung eine Abbildung. Zuordnung Person Körpergröße ist eine Abbildung. X: Menge aller Personen, Y: Menge der natürlichen Zahlen. Die Körpergröße einer Person ist eindeutig. Es kann sein, dass mehrere Personen dieselbe Größe haben; das ist nicht verboten. Zuordnung Ware Preis ist eine Abbildung. Hier ist X die Menge der Waren und Y die Menge der Preise. Jede Ware hat einen eindeutigen Preis; also ist die Zuordnung eine Abbildung. Zuordnung Person Körpergröße ist eine Abbildung. X: Menge aller Personen, Y: Menge der natürlichen Zahlen. Die Körpergröße einer Person ist eindeutig. Es kann sein, dass mehrere Personen dieselbe Größe haben; das ist nicht verboten.

46 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 46 Sprache der Abbildungen Für eine Abbildung f von X nach Y schreiben wir f: X Y. Jedem Element x X wird genau ein y Y zugeordnet. Dieses y bezeichnen wir mit f(x). Bezeichnung: f: X Y: y = f(x) oder f: X Y: x f(x). X: Definitionsbereich, Y: Bildbereich. Für eine Abbildung f von X nach Y schreiben wir f: X Y. Jedem Element x X wird genau ein y Y zugeordnet. Dieses y bezeichnen wir mit f(x). Bezeichnung: f: X Y: y = f(x) oder f: X Y: x f(x). X: Definitionsbereich, Y: Bildbereich.

47 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 47 Mathematische Beispiele Sei f die Abbildung der Menge {1,2,3} in sich, die folgendermaßen erklärt ist 1 1, 2 3, 3 2. Die Vorschrift f: R R, definiert durch f(x) = x 2, ist eine Abbildung. Wir ordnen jeder nichtleeren Teilmenge von N ihr kleinstes Element zu. Das ergibt eine Abbildung; Definitionsbereich: Menge aller nichtleeren Teilmengen von N, Bildbereich: N. Sei p/q eine rationale Zahl, das heißt p, q Z, q 0. Wir nehmen an, dass q positiv ist und der Bruch so weit wie möglich gekürzt ist. Dann wird durch f(p/q) = q eine Abbildung f von Q in N definiert. Sei f die Abbildung der Menge {1,2,3} in sich, die folgendermaßen erklärt ist 1 1, 2 3, 3 2. Die Vorschrift f: R R, definiert durch f(x) = x 2, ist eine Abbildung. Wir ordnen jeder nichtleeren Teilmenge von N ihr kleinstes Element zu. Das ergibt eine Abbildung; Definitionsbereich: Menge aller nichtleeren Teilmengen von N, Bildbereich: N. Sei p/q eine rationale Zahl, das heißt p, q Z, q 0. Wir nehmen an, dass q positiv ist und der Bruch so weit wie möglich gekürzt ist. Dann wird durch f(p/q) = q eine Abbildung f von Q in N definiert.

48 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 48 Die Identität Wir betrachten Abbildungen einer Menge X in sich. Identität: ordnet jedem Element x aus X wieder das Element x zu. Bezeichnung: id oder genauer id X. Es gilt also id X (x) = x für alle x X. Wir betrachten Abbildungen einer Menge X in sich. Identität: ordnet jedem Element x aus X wieder das Element x zu. Bezeichnung: id oder genauer id X. Es gilt also id X (x) = x für alle x X.

49 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 49 Hintereinanderausführung von Abbildungen Ziel: Vergleich der Menge X mit der Menge Y, Vergleich von Y mit Z ergibt Vergleich von X mit Z. Definition: Sei g: X Y eine Abbildung von X nach Y, und sei f: Y Z eine Abbildung von Y nach Z. Dann ist f g eine Abbildung von X nach Z, wenn wir definieren f g: X Z: x f(g(x)). Man spricht von Hintereinanderausführung von Abbildungen; (oder: Verknüpfung, Verkettung, Komposition oder Produkt). Achtung Reihenfolge! Für f g muss man zuerst g und dann f ausführen. Man liest f g als f nach g oder erst g, dann f. Ziel: Vergleich der Menge X mit der Menge Y, Vergleich von Y mit Z ergibt Vergleich von X mit Z. Definition: Sei g: X Y eine Abbildung von X nach Y, und sei f: Y Z eine Abbildung von Y nach Z. Dann ist f g eine Abbildung von X nach Z, wenn wir definieren f g: X Z: x f(g(x)). Man spricht von Hintereinanderausführung von Abbildungen; (oder: Verknüpfung, Verkettung, Komposition oder Produkt). Achtung Reihenfolge! Für f g muss man zuerst g und dann f ausführen. Man liest f g als f nach g oder erst g, dann f.

50 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 50 Beispiele Beispiel: Sei X = {0, 1, 2}, Y = {a, b, c}, Z = {,, }. Seien g: X Y und f: Y Z die folgendermaßen definierten Abbildungen: g(0) = c, g(1) = a, g(2) = c; f(a) =, f(b) =, f(c) =. Dann ist f g wie folgt definiert: (f g)(0) = f(g(0)) = f(c) =, (f g)(1) = f(g(1)) = f(a) =, (f g)(2) = f(g(2)) = f(c) =. Beispiel: Sei g die Abbildung, die einem Kraftfahrzeug seinen Hubraum und f die Abbildung, die einem Hubraum die Steuerklasse zuordnet. Dann ist f g die Abbildung, die einem Kraftfahrzeug seine Steuerklasse zuordnet. Beispiel: Sei X = {0, 1, 2}, Y = {a, b, c}, Z = {,, }. Seien g: X Y und f: Y Z die folgendermaßen definierten Abbildungen: g(0) = c, g(1) = a, g(2) = c; f(a) =, f(b) =, f(c) =. Dann ist f g wie folgt definiert: (f g)(0) = f(g(0)) = f(c) =, (f g)(1) = f(g(1)) = f(a) =, (f g)(2) = f(g(2)) = f(c) =. Beispiel: Sei g die Abbildung, die einem Kraftfahrzeug seinen Hubraum und f die Abbildung, die einem Hubraum die Steuerklasse zuordnet. Dann ist f g die Abbildung, die einem Kraftfahrzeug seine Steuerklasse zuordnet.

51 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 51 Injektiv, surjektiv, bijektiv Sei f eine Abbildung von X nach Y. Definition: Man nennt f injektiv, wenn keine zwei verschiedenen Elemente von X auf dasselbe Element von Y abgebildet werden. Bei keinem Element von Y enden zwei oder mehr Pfeile. Definition: Man nennt f surjektiv, wenn es zu jedem Element y Y ein x X gibt mit f(x) = y. An jedem Element von Y endet mindestens ein Pfeil. Definition: Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. An jedem Element von Y endet genau ein Pfeil. Sei f eine Abbildung von X nach Y. Definition: Man nennt f injektiv, wenn keine zwei verschiedenen Elemente von X auf dasselbe Element von Y abgebildet werden. Bei keinem Element von Y enden zwei oder mehr Pfeile. Definition: Man nennt f surjektiv, wenn es zu jedem Element y Y ein x X gibt mit f(x) = y. An jedem Element von Y endet mindestens ein Pfeil. Definition: Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. An jedem Element von Y endet genau ein Pfeil.

52 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 52 Beispiele Die Abbildung, die einer Person ihr Alter (in Jahren) zuordnet, ist nicht injektiv, da es verschiedene Personen desselben Alters gibt. Die Abbildung, die jedem Kraftfahrzeug sein Kennzeichen zuordnet, ist injektiv. Die Abbildung, die jedem ehemaligen Studenten seine Examensnote zuordnet, ist (vermutlich) surjektiv, aber nicht injektiv. Die Abbildung f der Menge {0, 1, 2} in die Menge {a, b, c} f(0) = b, f(1) = c, f(2) = a ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv. Die Abbildung, die einer Person ihr Alter (in Jahren) zuordnet, ist nicht injektiv, da es verschiedene Personen desselben Alters gibt. Die Abbildung, die jedem Kraftfahrzeug sein Kennzeichen zuordnet, ist injektiv. Die Abbildung, die jedem ehemaligen Studenten seine Examensnote zuordnet, ist (vermutlich) surjektiv, aber nicht injektiv. Die Abbildung f der Menge {0, 1, 2} in die Menge {a, b, c} f(0) = b, f(1) = c, f(2) = a ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv.

53 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 53 Umkehrabbildungen Beispiel: Wie können wir die Abbildung f mit f(0) = b, f(1) = c und f(2) = a rückgängig machen? – Ganz einfach dadurch, dass wir jedem Bild sein Urbild zuordnen. Die Umkehrabbildung muss b auf 0, c auf 1 und a auf 2 abbilden. Die Umkehrabbildung von f ist eine Abbildung von Y = {a, b, c} in X = {0, 1, 2}, die wir mit f –1 bezeichnen. Sie ist definiert durch f –1 (a) = 2, f –1 (b) = 0, f –1 (c) = 1. Kurz: Wenn wir mit f die Pfeile von links nach rechts durchlaufen, so durchlaufen wir mit f –1 die Pfeile von rechts nach links. Beispiel: Wie können wir die Abbildung f mit f(0) = b, f(1) = c und f(2) = a rückgängig machen? – Ganz einfach dadurch, dass wir jedem Bild sein Urbild zuordnen. Die Umkehrabbildung muss b auf 0, c auf 1 und a auf 2 abbilden. Die Umkehrabbildung von f ist eine Abbildung von Y = {a, b, c} in X = {0, 1, 2}, die wir mit f –1 bezeichnen. Sie ist definiert durch f –1 (a) = 2, f –1 (b) = 0, f –1 (c) = 1. Kurz: Wenn wir mit f die Pfeile von links nach rechts durchlaufen, so durchlaufen wir mit f –1 die Pfeile von rechts nach links.

54 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 54 Der Satz über die Umkehrfunktion Satz. Sei f: X Y eine bijektive Abbildung. Dann gibt es eine Abbildung f –1, die die Wirkung von f rückgängig macht. Genauer gesagt muss f –1 also eine Abbildung von Y X sein, die folgende Eigenschaften hat: ff –1 = id Y und f –1 f = id X. Das bedeutet, dass für alle x X und für alle y Y gilt ff –1 (y) = y und f –1 f(x) = x. Mit anderen Worten: Jede bijektive Abbildung f ist umkehrbar (oder invertierbar) Satz. Sei f: X Y eine bijektive Abbildung. Dann gibt es eine Abbildung f –1, die die Wirkung von f rückgängig macht. Genauer gesagt muss f –1 also eine Abbildung von Y X sein, die folgende Eigenschaften hat: ff –1 = id Y und f –1 f = id X. Das bedeutet, dass für alle x X und für alle y Y gilt ff –1 (y) = y und f –1 f(x) = x. Mit anderen Worten: Jede bijektive Abbildung f ist umkehrbar (oder invertierbar).

55 Kapitel 1 © Beutelspacher November 2003 Seite 55 Beweis des Satzes über die Umkehrfunktion Beweis. Wir müssen die Abbildung f –1 : Y X finden. Das heißt: für jedes y Y müssen wir f –1 (y) definieren – und zwar so, dass die Wirkung von f rückgängig gemacht wird, dass also f(x) = y gilt. Da f ist eine surjektive Abbildung ist, gibt es zu jedem y Y (mindestens) ein x X mit f(x) = y. Da f injektiv ist, gibt es nur ein einziges solches x. Also können wir die Abbildung f –1 von Y nach X definieren durch f –1 (y) := x. Dann gilt nach Definition f f –1 (y) = f(x) = y und f –1 f(x) = f –1 (y) = x für alle y Y und alle x X. Beweis. Wir müssen die Abbildung f –1 : Y X finden. Das heißt: für jedes y Y müssen wir f –1 (y) definieren – und zwar so, dass die Wirkung von f rückgängig gemacht wird, dass also f(x) = y gilt. Da f ist eine surjektive Abbildung ist, gibt es zu jedem y Y (mindestens) ein x X mit f(x) = y. Da f injektiv ist, gibt es nur ein einziges solches x. Also können wir die Abbildung f –1 von Y nach X definieren durch f –1 (y) := x. Dann gilt nach Definition f f –1 (y) = f(x) = y und f –1 f(x) = f –1 (y) = x für alle y Y und alle x X.


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