Gaub E1 WS14/15.

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1 Gaub E1 WS14/15

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3 Gaub E1 WS14/15

4 Gaub E1 WS14/15

5 Gaub E1 WS14/15

6 Wer misst misst Mist! nj xj ∆xj x Kalibrierfehler Hintergrundsignale
Systematisch Fehler Thermische Fluktuationen Schrotrauschen 1/f Rauschen Statistische Fehler Mittelwert x definiert durch Arithmetisches Mittel Gaub E1 WS14/15

7 (Gausssche Glockenkurve)
Verteilungsfunktion Übergang zu normierten Verteilungen der Messwerte xj nj/n ∆xj x F = ∆ni/n f(x) f(x)dx gibt die Wahrscheinlichkeit, den Messwert bei x im Interwall dx zu finden Verteilungsfunktion Daltonbrett Normalverteilung (Gausssche Glockenkurve) Wenn nur statistische Fehler auftreten Übergang zu infinitessimalen Intervallen, k–>oo für ∆xi 0 geht ∆ni  0, aber ni = ∆ni/∆xi bleibt endlich! Gaub E1 WS14/15

8 log-Normalverteilung
Beispiel: Herzschlagfrequenzen ruhender Fledermäuse aufgezeichnet in Panama (Quelle: Uni Konstanz) ln (heart rate) Nicht die Zeitmessung unterliegt hier statistischen Schwankungen sondern eine Größe von der die Frequenz exponentiell abhängt! Gaub E1 WS14/15

9 §2.1 Kinematik des Massenpunktes
1. Koordinatensysteme: Z x y MP Kartesische Koordinaten MP Kugel (Polar) Koordinaten r MP Zylinder Koordinaten z Bsp: Geradlinige Bewegung|| Y-Achse: Kreis um z-Achse: Schraube: Gaub E1 WS14/15

10 Galilei Leibniz Newton‘s Mechanics Stellar Orbits Gravity Gaub
E1 WS14/15

11 Kräfte: Beschreibung von Wechselwirkungen
Ist ein Vektor  zerlegbar; superponierbar I. Newtonsches Axiom Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt. II. Newtonsche Axiom Die Ursache einer Impulsänderung ist eine Kraft Kräfte parallelogramm mit Fäden an der Tafel Actio = Reactio III. Newtonsches Axiom Wenn ein Körper A auf einen Körper B ausübt, so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengesetzte Kraft von Körper B auf Körper A E1 WS14/15

12 §2.7 Energiesatz der Mechanik
Arbeit + Leistung Linienintegral „Arbeit“[W]= Nm = Joule y x z Bahnkurve Anmerkung: W = 0 für Leistung: [P]= =Watt=W Bsp. Gleichförmige Kreisbewegung: ; Bsp.: Dehnarbeit einer Feder von : Gaub E1 WS14/15

13 Energiesatz der Mechanik
konservatives Kraftfeld Def.: Die Zunahme der kinetischen Energie eines Körpers ist gleich der an ihm geleisteten Arbeit  Im konservativen Kraftfeld ist die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie konstant Gaub E1 WS14/15

14 Drehimpuls Ebene beliebig gekrümmte Bahn Def.: Drehimpuls m O
In Polarkoordinaten: 0 weil Ebene von und weil Kreisbewegung: ; Gaub E1 WS14/15

15 Johannes Keppler Tycho Brahe Gaub E1 WS14/15

16 Drehmoment: Newton 0 weil . Def: Drehmoment Für zentrale Kraftfelder
ist = const. bzgl. Kraftzentrum  Drehimpulserhaltung Zeitliche Veränderung des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment Gaub E1 WS14/15

17 Planetenbewegung: Kepplergesetze
(Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes)) I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen ihrer großen Halbachsen oder für alle Planeten Gaub E1 WS14/15

18 !! Newtons Analyse: G= 6,67384⋅10−11m3/kg⋅s2 Planetenbahnen
Fallender Apfel Selbe Axiomatik Gravitation ! aus (Zentralkraft) aus Actio = Reactio  Mit Ellipse ~ Kreis => Fallrohr 3. Keppler Newtonsches Gravitationsgesetz G= 6,67384⋅10−11m3/kg⋅s2 Gaub E1 WS14/15

19 O‘ bewege sich mit konstanter Geschindigkeit u bezüglich O
§3.2 Inertialsysteme O‘ O O‘ bewege sich mit konstanter Geschindigkeit u bezüglich O u << c  u=const  Zwischen den in den beiden Inertial-systemen O und O‘ gemessenen Grössen für die Bewegung des Massenpunktes A gelten die Galilei-Transformationen Gaub E1 WS14/15

20 Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf die Masse m in A
Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!  Experiment Flex rotierende Wasser- Schüssel Gaub E1 WS14/15

21 Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf die Masse m in A
Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf! Experiment Flex rotierende Wasser- Schüssel  Gaub E1 WS14/15

22 Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf die Masse m in A
Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf! Zentrifugalkraft steht senkrecht auf w Experiment Flex rotierende Wasser- Schüssel  Gaub E1 WS14/15

23 Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf die Masse m in A
Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf! Zentrifugalkraft steht senkrecht auf w Experiment Flex rotierende Wasser- Schüssel, Sandeimerpendel über rotierender Scheibe, Foucault‘sches Pendel,  Corioliskraft steht ebenfalls senkrecht auf w, tritt aber nur auf, wenn v‘ eine Komponente senkrecht zu w hat. Gaub E1 WS14/15

24 Gaub E1 WS14/15

25 Corioliskraft bestimmt den Drehsinn der Tiefdruckgebiete und Stürme
Hurricane Floyd Typhoon Yasi

26 Einsteins Postulate: 3.6 Spezielle Relativitätstheorie
Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt für alle physikalischen Gesetze Einsteins Postulate: (1905, Annalen der Physik) Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in allen Inetrtialsystemen den gleichen Wert c, unabhängig von der Bewegung des Beobachters Lorentz Poincare Gaub E1 WS14/15

27 Ergebnis: Gleichzeitige Detektion beider g-Quanten, obwohl sich deren Quelle mit nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegt! Gaub E1 WS14/15

28 Lorentz-Transformation
Invariant für Geschwindigkeit des Körpers A in S und S‘ Gaub E1 WS14/15

29 Lorentz-Transformation der Geschwindigkeiten für v II x
dito Gaub E1 WS14/15

30 Zum Problem der Gleichzeitigkeit bei endlicher Lichtgeschwindigkeit
Gaub E1 WS14/15

31   Gleichzeitigkeit Zur Lorentz-Kontraktion der Längen
Längenmessung durch gleichzeitiges festlegen der beiden Koordinaten!  Gleichzeitigkeit Lorentz-Transformation: Man beachte, dass ein Beobachter im bewegten System einen Maßstab im ruhenden System ebenfalls verkürzt sieht, der Effekt also relativ ist ! Die Länge eines bewegten Maßstabs erscheint dem ruhenden Beobachter in Bewegungsrichtung verkürzt

32 Einsteins Gedankenexperiment zur Lichtuhr
Uhr wird jetzt mit v bewegt Für den Beobachter in S durchläuft das Licht den Weg ABC mit AN = NC = v ∆t/2 Zeitnormal in S: ∆to=2L/c aber im ruhenden System: Auch die Zeitdilatation ist relativ ! Bewegte Uhren laufen langsamer! Gaub E1 WS14/15

33 mit t‘ = gt => g = 9 => v = 0.994 c
Zum Myon-Zerfall Lebensdauer ruhender Myonen t ≈ s Während der Flugzeit dt = dh/v zerfällt bei einer mittleren Lebensdauer t‘ der Bruchteil dN/N = -dt/t‘ => N(t) = N0 e-t/t‘ a<1 berücksichtigt den Verlust durch Streuung an Luftmolekülen Berg Ausgiebige Messungen ergaben t‘ ≈ s mit t‘ = gt => g = 9 => v = c Gaub E1 WS14/15

34 Relativistische Energie
Man bedenke: Sowohl m als auch v ändern sich bei hohen Geschwindigkeiten! Einsteins Gedankenexperiment: L =>Rückstossimpuls p = -E/c Lichtblitz bei t1=0 ∆x wird nach t2=L/c absorbiert p = E/c Aber: Schwerpunkt war immer an der selben Stelle! => Transport der Masse m während Energietransport Jede Masse entspricht der Energie Gesamtenergie = Ruheenergie + Kinetische Energie Gaub

35 Raumzeitereignise und Kausalität
 Lichtgeschwindigkeit obere Grenze für Signalübertragung! => Wirkung nur innerhalb des Lichtkegels! A kann mit B aber nicht mit C kausal verknüpft sein Im 4-dimensionalen Minkowsky-Raum stellt der Lichtkegel eine 3d-Hyperfläche dar Gaub E1 WS14/15

36 Erhaltungssätze und Symmetrien
Emmy Noether ( ) ! Isotropie der Zeit: => Energieerhaltung Isotropie des Raumes bezüglich ! Ort => Impulserhaltung => p= const Richtung ! => Drehimpulserhaltung !

37 Vielteilchensysteme (VTS)
§4 Systeme von Massenpunkten Vielteilchensysteme (VTS) Erinnerung: Inertialsysteme  Galileitransformation Physikalische Gesetze gleich ! x y z Def.: Massenschwerpunkt S Gesamtmasse  Schwerpunktgeschwindigkeit  Gesamtimpuls Gaub E1 WS14/15

38 Ortskoordinaten im Laborsystem
Schwerpunkt-System Ortskoordinaten im Laborsystem Ortskoordinaten von S im Laborsystem Ortskoordinaten von MPi im S - System Die Summe aller Impulse im Spkt-System ist immer Null Drehimpuls der Gesamtmasse in S bezüglich 0 Drehimpuls bezüglich S im S-System der Gesamtmasse vereinigt in S Gaub E1 WS14/15

39 Stösse zwischen Teilchen
Impulsbilanz Streuwinkel W-W Gebiet Q = 0 Elastischer Stoss Q >0 Inelastischer Stoss (innere Reibung) Q < 0 Superelastischer Stoss (z.B. chem. Reaktion) Impulssatz Energiesatz Gaub E1 WS14/15

40 Typischer zeitlicher Verlauf der Kraft beim Stoss:
ta tl Dt Kraftstoss Typischer zeitlicher Verlauf der Kraft beim Stoss: Wirkung: Dp Kraftstoss Newton: b Stossparameter A(t) B A Streuer z.B. Ladung Weil ist F(r ) ein Mass für Streupotential Experiment Luftschiene Gaub E1 WS14/15

41 Elastische Stösse im S - System
z x y m1 m2 Beim elastischem Stoss drehen sich die Impulsvektoren um S z x y Elastisch entspricht Q = 0 S Im S – System behält jeder Partner seine kinetische Energie E1 WS14/15

42 Die Bewegung eines starren Körpers
Starrer Körper:  Trommelschlegel Bewegung des starren Körpers Translation des Schwerpunkts Rotation um den Schwerpunkt 3 + 6 Freiheitsgrade: Gaub E1 WS14/15

43 Kräfte und Kräftepaare
§5 Dynamik starrer ausgedehnter Körper Kräfte und Kräftepaare neben Richtung und Betrag auch noch Angriffspunkt der Kraft wichtig Trick: Addition von sich aufhebendem Kräftepaar. Beschleunigung durch Drehmoment durch Kräftepaar Exp. Kräftepaar Eine nicht im Schwerpunkt S angreifende Kraft bewirkt ein Drehmoment bezüglich S und eine Beschleunigung von S. Gaub E1 WS14/15

44 Trägheitsmoment eines Körpers ist achsenabhängig
Der Steiner‘sche Satz Trägheitsmoment eines Körpers ist achsenabhängig für Achse B||A (A geht durch S) = 0 Def. Spkt Experiment Das Trägheitsmoment IBeines Körpers bei Rotation um eine beliebige Achse B ist gleich dem Trägheitsmoment IS um eine zu B parallele Achse durch den Schwerpunkt plus dem Trägheitsmoment der in S vereinigten Gesamtmasse M bezüglich B Gaub E1 WS14/15

45 Trägheitsmoment und Rotationsenergie feste Achse
kinetische Energie eines Massenelements Rotationsenergie: mit dem Trägheitsmoment und dem Drehimpuls: => Gaub E1 WS14/15

46 Kreiselbewegungen – Rotation um freie Achsen
Drehimpuls eines Massenelements : mit : Bei freier Rotation ist i. a. nicht ll zu Gaub E1 WS14/15

47 Kreiselbewegungen – Rotation um freie Achsen
in Einstein-Summenkonvention: in Komponenten: in Tensorschreibweise: (I verknüpft L mit w durch Drehstreckung) Trägheitstensor 47

48 tensoriell: Bei beliebiger Drehachse tragen alle Momente des Trägheitstensors zur Rotationsenergie bei Gaub E1 WS14/15 48

49 Berechnung der über das charakteristische Polynom:
Konvention: Trägheitsmoment um beliebige Achse: Gaub E1 WS14/15 49

50 Die Euler‘schen Gleichungen
Im Allgemeinen sind w und L nicht colinear => Bewegung komplex! R: Raumfestes System K: Körperfestes Hauptachsen- System (rotiert mit w) siehe Kapitel 3 ausgeschrieben für Achse a: Keltisches Wackelholz Bürostuhl und Motorradfelge mit Hanteln Film Astronauten  Euler‘sche Gleichungen: Gaub E1 WS14/15

51 Der kräftefreie symmetrische Kreisel
Drehimpulserhalt. => Energieerhaltung =>  Die Gleichungen stellen eine Kugel und einen (um rotierenden) Ellipsoiden dar. Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein! => Die Spitze von L wandert auf der Schnittlinie beider Figuren Da Trägheitsellipsoid körperfest und L raumfest wandert Figurenachse c im raumfesten System => Nutation Sichtbarkeit der momentanen Drehachse =>

52 Präzession des symmetrischen Kreisels
Auf einen symmetrischen Kreisel, der sich um seine Figurenachse dreht ( ω||L||r ) und der außerhalb seines Schwerpunkts unterstützt wird, wirkt das Drehmoment: Daraus resultiert: => nur die Richtung von L ändert sich: Präzessionsfrequenz: Ist die Kreiselachse um den Winkel α gegen die Vertikale geneigt, so ist: Profikreisel Kinderkreisel? Änder, absinken um teta => Pot Energie= Kin Energie der Präzesion => wp unabhängig von der räumlichen Orientierung der Kreiselachse, nur bestimmt durch L und D

53 Atomares Modell der Aggregatszustände
§6 Reale Feste und Flüssige Körper Atomares Modell der Aggregatszustände Kraft auf ein Atom: potentielle Energie hängt von der Anordnung der Atome ab Gaub E1 WS14/15

54 Scherung und Torsionsmodul
Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche Scherspannung: Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α: mit dem Schub- / Scher- / Torsionsmodul G Die behandelten Kräfte sind alle auf atomare Kräfte zurück zu führen und damit miteinander verknüpft. Für isotrope Körper kann folgende Beziehung hergeleitet werden: mit Gaub E1 WS14/15

55 Statischer Druck in einer Flüssigkeit
Beachtung des Gewichts jedes Volumenelements A dz: Es wirkt auf jede Fläche A am Boden des Gefäßes der Schweredruck mit Flüssigkeitshöhe H Man bemerke: Druck unabhängig von Geometrie! => Hydrostatisches Paradoxon p ist nur abhängig von der Füllhöhe eines Gefäßes. Gaub

56 Kräfte von Nachbarmolekülen heben sich in der Flüssigkeit auf.
§6.4 Phänomene an Flüssigkeitsgrenzflächen Kräfte von Nachbarmolekülen heben sich in der Flüssigkeit auf. effektive Kräfte nur in Grenzschichten. Oberflächenspannung Energie nötig, um Molekül von innen nach außen zu bringen! mit Energie ΔW zur Vergrößerung der Oberfläche um ΔA ist: die spezifische Oberflächenenergie Gaub E1 WS14/15

57 Statistical Mechanics
Steam Engine Mayer Joule Helmholtz Clausius Kelvin Boltzmann Gibbs Chemical Reactions A + B AB Gaub E1 WS14/15

58 Molecular Dynamics Calculations
Solving Newton‘s equation for every atom in pico second intervals Gaub E1 WS14/15

59 Luftdruck und barometrische Höhenformel
Herleitung der barometrischen Höhenformel Abnahme des auf der Fläche A lastenden Gewichts mit der Höhe: mit mit po= 1013hPa und r0= 1.24 kg/m3 Gaub E1 WS14/15

60 Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
Bewegung in y- und z-Richtung bleibt beim Stoß unbeeinflußt. Da der Druck eine isotrope Größe ist, gilt: Im Mittel fliegen gleich viele Moleküle in +x- wie in –x-Richtung Gaub E1 WS14/15

61 Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur
Experimentell ergibt sich für konstantes N, dass p V nur von T abhängt. hängt nur von T ab. Es gibt eine Temperaturskala, für die gilt: Definition der absoluten Temperatur T: mit der Bolzmann-Konstante allgemeine Gasgleichung Gaub E1 WS14/15

62 Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Differentiation nach u liefert: mit: weil und Symmetrische Gaussverteilung Ist die mittlere kinetische Energie sehr groß gegen die Differenz der potentiellen innerhalb eines abgeschlos-senen Volumens V, ist keine Richtung ausgezeichnet. Gaub E1 WS14/15

63 Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Geschwindigkeitsvektoren mit der Länge v+dv enden in einer infinitesimalen Kugelschale mit dem Betrag der Geschwindigkeit als Radius. Ingegration über liefert den Faktor: Zahl der Moleküle pro Volumen-einheit mit einer Geschwindigkeit im Betrag zwischen v und v+dv Mittlere Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeitsquadrat Wahrscheinlichste Geschwindigkeit

64 2π/3 Diffusion Die Netto-Teilchenstromdichte durch dA ist:
Beitrag der Teilchen mit v zur Stromdichte : 2π/3 Ficksches Gesetz: oder vektoriell: mit der Diffusionskonstanten

65 §8 Strömende Flüssigkeiten und Gase
Gleiche Physik für beide Phasen aber rfl >> rg, kfl << kg Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m = r ∆V -grad p∆V rg∆V Analytische Lösungen nur für besondere Fälle, numerische Lösungen oft aufwändig spannt ein zeitabhängiges Vektorfeld (Strömungsfeld) auf Hängt nicht von t ab, nennt man die Strömung stationär und die Ortskurve eines Volumenelements folgt der Strömungslinie E1 WS14/15

66 Bei laminarer Strömung bleibt die Nachbarschaft von Stromfäden erhalten!
Bei idealen Flüssigkeiten ist die Reibung vernachlässigbar, bei zähen dominiert sie E1 WS14/15

67 Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten
Im Strömungsfeld hat ein Volumenelement nach dt den Weg zurückgelegt und ist an den Ort gelangt. Dort hat es die Geschwindigkeit => Auch in stationären Strömungen kann sich die Geschwindigkeit z.B. durch Querschnittsreduktion ändern! Die Beschleunigung eines Volumenelements hat zwei Beiträge: Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit am selben Ort Andere Geschwindigkeit am neuen Ort => In Komponentenschreibweise: ux uy uz dito für y und z  Gaub

68 Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten
für stationäre Strömungen = 0 mit Konvektionsbeschleunigung Bei idealen Flüssigkeiten Reibung Vernachlässigbar => Eulergleichung Navier-Stokes Gleichung Gaub E1 WS14/15

69 Kontinuitätsgleichung
Durch ein Rohr mit sich änderndem Querschnitt fliest die Masse dM / dt = r A1 ux1 = r A2 ux2 = const => ux1 / ux2 = A2 / A1 Def: Massenflussdichte In V sei die Masse Sie ändert sich durch den Fluss durch die Oberfläche S Gauss (Bronstein)

70 Bernoulli-Gleichung Unter Druck wird Gas oder Flüssigkeit durch ein Rohr getrieben. Verjüngt sich der Querschnitt muss das Medium beschleunigt werden Um ∆V1 = A1 x1 gegen p1 zu bewegen benötigte Arbeit: ∆W1 = F1 ∆x1 = p1 A1 ∆x1 = p1 ∆V1 ∆W2 = p2 A2 ∆x2 = p2 ∆V2 dito für den dünnen Teil: Die geleistete Arbeit erhöht die potentielle Energie des Systems! Bei idealen Flüssigkeiten (reibungsfrei!) bleibt die Gesamtenergie konstant! p1 ∆V1 + ½ r u12 ∆V1 = p2 ∆V2 + ½ r u22 ∆V2 da ∆V1 = ∆V2 = ∆V => p1 + ½ r u12 = p2 + ½ r u22 Bernoulli- Gleichung => p + ½ r u2 = p0 = const Statischer Druck Staudruck Gesamtdruck (bei u = 0) Gaub E1 WS14/15

71 Schwingungen Schwingungen sind sich periodisch wiederholende Schwankungen einer physikalischen Größe um einen Mittelwert. Beispiele: Federpendel Elektronische Oszillationen Biologische Rhythmen ... m x x0 Bewegungsgl.: „Kreisfrequenz“ Lösungsansatz: Gaub E1 WS14/15

72 Allgemeine Lösung des harm. Oszillators
Lösungsansatz: allgem. Lösg. ist Linearkombination der Lösungen: Gaub E1 WS14/15

73 Harmonische Näherung in beliebigen Potentialen
Epot x x0 x0: Mechanische Gleichgewichtslage (Potentialminimum) Um x0 kann jedes beliebige Potential als Parabel genähert werden. Taylorentwicklung um x0: Bei kleinen Auslenkungen kann man harmonische Schwingungen beobachten z. B. Molekülschwingungen E1 WS14/15

74 Allgemeine periodische Vorgänge/ Fourierzerlegung
Eine periodische Funktion f(t) mit f(t+T)=f(t) kann zerlegt werden in eine Summe aus sin und cos Funktionen: „Fourier Reihe“ Beispiel: Rechteck-Funktion 1 Nur bn tragen bei (ungerade Funktion f(x)=-f(-x)

75 Gedämpfte Schwingungen
i. A. sind Schwingungen gedämpft, d. h. ihre Amplitude nimmt über die Zeit ab. Dies wird durch Reibungskräfte bewirkt. Bew.gl.: Die Reibungskraft FR ist oft eine Funktion der Geschwindigkeit. z. B viskose Reibung ( z.B. Stokes): Neue Bew.gl.: Ansatz: Starke Dämpfung Aperiodischer Grenzfall Schwache Dämpfung Gaub E1 WS14/15

76 Erzwungene Schwingungen
m Erzwungene Schwingungen Von außen angelegte Kraft Gaub E1 WS14/15

77 In der Resonanz liegt die Phase des Erregers um p/2 vor dem Oszillator
z. B. Anregung mit cos (w0t) -> Resonanz cos(w0t-p/2)=sin(w0t) - Für w->0 gleichphasig, für w->∞ gegenphasig Gaub Versuche Pohl‘sches Rad und Glas Film Tacoma Bridge

78 Parametrischer Oszillator (Kinderschaukel):
Fadenpendel : w0 = (g/L)1/2 Periodisches verkürzen des Fadens: Mathieu-Gleichung optimaler Antrieb bei Die Erklärung im Demtröder ist falsch für die erzwungene Schwingung. Auf der linken Seite der DGL steht nicht mehr die Ableitung von Eges, da die Voraussetzung wäre, daß das System mit w0 schwingt aber das System kann mit beliebigem w getrieben werden. Ansatz: mit: und Winkelfunktionsmassage (siehe Demtröder) Exponentielles aufschaukeln für

79 B) Gekoppelte Federn, mehrere Massen
x2 x1 Kopplung der DGL Vereinfachung: Versuche Gekoppelte Pendel und Metronome Normalkoordinaten Eigenschwingungen, „Normalmoden“ „Schwebungen“ Gaub E1 WS14/15

80 ξ ist konstant für alle Werte
Mechanische Wellen Tritt eine Störung ξ zum Zeitpunkt t = 0 an der Stelle z = z0 auf und breitet sich ungedämpft mit der Geschwindigkeit v aus, dann befindet sie sich zum Zeitpunkt t1 an der Stelle z1 . ξ ist konstant für alle Werte Wellen- Gleichung Gaub E1 WS14/15

81 Z. B. harmonische ebene Welle in z-Richtung:
Mechanische Wellen Wellengleichung: Alle Lösungen dieser Gleichung sind Wellen mit der Geschwindigkeit v, die Randbedingungen selektieren daraus spezielle. Z. B. harmonische ebene Welle in z-Richtung: Phasengeschwindigkeit Wellenvektor: oder Beschreibt ξ eine mechanische Auslenkung, kann diese senkrecht (Transversalwelle) oder parallel (Longitudinalwelle) zur Ausbreitungsrichtung sein. In beiden Fällen gilt: Gaub E1 WS14/15

82 Transversalwelle (ξ = Δx):
Mechanische Wellen Transversalwelle (ξ = Δx): Longitudinalwelle (ξ = Δx): Gaub E1 WS14/15

83 Überlagerung zweier kohärenter Kugelwellen
Phasendifferenz in P => konstruktive Interferenz für => Hyperbelschar Interferenz in Ästen mit zunehmendem n weniger ausgeprägt, weil A mit 1/r abfällt Gaub E1 WS14/15

84 Eindimensionale stehende Wellen
Durch geeignete Überlagerung von Wellen lassen sich stationäre Schwingungsmuster erzeugen, bei denen bestimmte Punkte, Linien oder Flächen im Raum stets in Ruhe bleiben (Schwingungsknoten). Eindimensionale stehende Wellen Überlagerung einer ebenen Welle mit ihrer Reflexion an einer Ebene bei z = 0 mit Phasensprung φ Für z > 0 ist die Gesamtwelle also: Schwingung, deren Amplitude periodisch vom Ort abhängt, genannt stehende Welle. Schwingungsknoten (Amplitude = 0) Schwingungsbäuche (Amplitude max)

85 Eindimensionale stehende Wellen
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86 Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen
Die Ausbreitung einer Welle kann durch Reflexion an Flächen, Brechung in Medien und Beugung an Hindernissen verändert werden. Diese Veränderungen lassen sich mit Hilfe des Huygensschen Prinzips verstehen. Huygenssches Prinzip: Jeder Punkt einer Phasenfläche ist Ausgangspunkt einer neuen Kugelwelle. Gaub E1 WS14/15

87 Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen
Beispiel: Phasenebene einer ebenen Welle in z-Richtung Elementarwellen von N Quellpunkten im Abstand δ In Richtung α gegen die Wellennormale k ist die Wegdifferenz benachbarter Elementarwellen: Gaub E1 WS14/15

88 Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen
Intensität: Gaub E1 WS14/15

89 Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen
Falls λ < δ treten p Maxima für alle Winkel auf, für die gilt: Gaub E1 WS14/15

90 Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Nach Fourier lässt sich eine beliebige Störung ξ, die sich in z-Richtung ausbreitet, darstellen als Superposition unendlich vieler harmonischer Wellen: Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Die Amplituden A(ω) ergeben sich durch inverse Fourier-Transformation: Variiert die Phasengeschwindigkeit einer Welle mit der Wellenlänge, kommt es zur Dispersion: das Wellenpaket zerfließt. Wasser-Oberflächenwellen Die Einhüllende bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit Gaub E1 WS14/15

91 Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
1/vG 1/vph Gaub E1 WS14/15

92 Skills count ! Gaub E1 WS14/15