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Gaub1E1 WS14/15. Gaub2E1 WS14/15 Gaub3E1 WS14/15.

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1 Gaub1E1 WS14/15

2 Gaub2E1 WS14/15

3 Gaub3E1 WS14/15

4 Gaub4E1 WS14/15

5 Gaub5E1 WS14/15

6 Wer misst misst Mist! xjxj njnj ∆x j x Systematisch Fehler Statistische Fehler Mittelwert x definiert durch Arithmetisches Mittel Thermische Fluktuationen Schrotrauschen 1/f Rauschen Kalibrierfehler Hintergrundsignale Gaub6E1 WS14/15

7 f(x)dx gibt die Wahrscheinlichkeit, den Messwert bei x im Interwall dx zu finden Verteilungsfunktion Übergang zu normierten Verteilungen der Messwerte xjxj n j /n ∆x j x F = ∆n i /n Übergang zu infinitessimalen Intervallen, k–>oo für ∆x i  0 geht ∆n i  0, aber n i = ∆n i /∆x i bleibt endlich! Verteilungsfunktion f(x) Normalverteilung (Gausssche Glockenkurve) Wenn nur statistische Fehler auftreten Gaub7E1 WS14/15

8 log-Normalverteilung Beispiel: Herzschlagfrequenzen ruhender Fledermäuse aufgezeichnet in Panama (Quelle: Uni Konstanz) ln (heart rate) Nicht die Zeitmessung unterliegt hier statistischen Schwankungen sondern eine Größe von der die Frequenz exponentiell abhängt! Gaub8E1 WS14/15

9 §2.1 Kinematik des Massenpunktes 1. Koordinatensysteme: Z x y MP Kartesische Koordinaten MP Kugel (Polar) Koordinaten r MP Zylinder Koordinaten z Bsp: Geradlinige Bewegung|| Y-Achse: Kreis um z-Achse: Schraube: Gaub9E1 WS14/15

10 Newton‘s Mechanics Stellar Orbits Gravity Leibniz Galilei Gaub10E1 WS14/15

11 Kräfte: Beschreibung von Wechselwirkungen Ist ein Vektor  zerlegbar; superponierbar I. Newtonsches Axiom Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt. II. Newtonsche Axiom Die Ursache einer Impulsänderung ist eine Kraft III. Newtonsches Axiom Actio = Reactio Wenn ein Körper A auf einen Körper B ausübt, so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengesetzte Kraft von Körper B auf Körper A 11E1 WS14/15

12 §2.7 Energiesatz der Mechanik Arbeit + Leistung y x z Linienintegral Anmerkung: Leistung: „Arbeit“[W]= Nm = Joule [P]= =Watt=W Bsp. Gleichförmige Kreisbewegung: ; Bsp.: Dehnarbeit einer Feder von : Bahnkurve W = 0 für Gaub12E1 WS14/15

13 Energiesatz der Mechanik konservatives Kraftfeld Def.: Die Zunahme der kinetischen Energie eines Körpers ist gleich der an ihm geleisteten Arbeit  Im konservativen Kraftfeld ist die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie konstant Gaub13E1 WS14/15

14 Drehimpuls Ebene beliebig gekrümmte Bahn m O Def.:Drehimpuls Ebene von und In Polarkoordinaten: 0 weil Kreisbewegung: ; weil Gaub14E1 WS14/15

15 Tycho Brahe Johannes Keppler Gaub15E1 WS14/15

16 Drehmoment: 0 weil Newton Def: Drehmoment Für zentrale Kraftfelderist = const. bzgl. Kraftzentrum  Drehimpulserhaltung Zeitliche Veränderung des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment.. Gaub16E1 WS14/15

17 Planetenbewegung: Kepplergesetze (Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes)) I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen ihrer großen Halbachsen oder für alle Planeten Gaub17E1 WS14/15

18 Newtons Analyse: !! Planetenbahnen Fallender Apfel Selbe Axiomatik Gravitation ! aus aus Actio = Reactio  (Zentralkraft) Mit Ellipse ~ Kreis => 3. Keppler Newtonsches Gravitationsgesetz G= 6,67384 ⋅ 10 −11 m 3 /kg ⋅ s 2 Gaub18E1 WS14/15

19 §3.2 Inertialsysteme O O‘ O‘ bewege sich mit konstanter Geschindigkeit u bezüglich O u << c   u=const Zwischen den in den beiden Inertial- systemen O und O‘ gemessenen Grössen für die Bewegung des Massenpunktes A gelten die Galilei-Transformationen Gaub19E1 WS14/15

20 Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf die Masse m in A Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten- systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!  Gaub20E1 WS14/15

21 Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf die Masse m in A Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten- systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!  Gaub21E1 WS14/15

22 Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf die Masse m in A Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten- systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!  Zentrifugalkraft steht senkrecht auf  Gaub22E1 WS14/15

23 Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf die Masse m in A Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten- systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!  Corioliskraft steht ebenfalls senkrecht auf  tritt aber nur auf, wenn v‘ eine Komponente senkrecht zu  hat. Zentrifugalkraft steht senkrecht auf  Gaub23E1 WS14/15

24 Gaub24E1 WS14/15

25 Corioliskraft bestimmt den Drehsinn der Tiefdruckgebiete und Stürme Hurricane Floyd Typhoon Yasi 25

26 3.6 Spezielle Relativitätstheorie Einsteins Postulate: (1905, Annalen der Physik) Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt für alle physikalischen Gesetze Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in allen Inetrtialsystemen den gleichen Wert c, unabhängig von der Bewegung des Beobachters Poincare Lorentz Gaub26E1 WS14/15

27 Ergebnis: Gleichzeitige Detektion beider  Quanten, obwohl sich deren Quelle mit nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegt! Gaub27E1 WS14/15

28 Lorentz- Transformation Geschwindigkeit des Körpers A in S und S‘ Invariant für Gaub28E1 WS14/15

29 dito Lorentz-Transformation der Geschwindigkeiten für v II x Gaub29E1 WS14/15

30 Zum Problem der Gleichzeitigkeit bei endlicher Lichtgeschwindigkeit Gaub30E1 WS14/15

31   Gleichzeitigkeit Zur Lorentz-Kontraktion der Längen Längenmessung durch gleichzeitiges festlegen der beiden Koordinaten! Lorentz-Transformation: Die Länge eines bewegten Maßstabs erscheint dem ruhenden Beobachter in Bewegungsrichtung verkürzt  Man beachte, dass ein Beobachter im bewegten System einen Maßstab im ruhenden System ebenfalls verkürzt sieht, der Effekt also relativ ist !

32 Bewegte Uhren laufen langsamer! Einsteins Gedankenexperiment zur Lichtuhr Zeitnormal in S: ∆t o =2L/c Uhr wird jetzt mit v bewegt Für den Beobachter in S durchläuft das Licht den Weg ABC mit AN = NC = v ∆t/2 aber im ruhenden System: Auch die Zeitdilatation ist relativ ! Gaub32E1 WS14/15

33 Zum Myon-Zerfall Lebensdauer ruhender Myonen  ≈ s Während der Flugzeit dt = dh/v zerfällt bei einer mittleren Lebensdauer  ‘  der Bruchteil dN/N = -dt/  ‘  > N(t) = N 0 e -t/  ‘ a<1 berücksichtigt den Verlust durch Streuung an Luftmolekülen Ausgiebige Messungen ergaben  ‘  ≈ s mit  ‘  =  =>  = 9 => v = c Berg Gaub33E1 WS14/15

34 Relativistische Energie Man bedenke: Sowohl m als auch v ändern sich bei hohen Geschwindigkeiten! Einsteins Gedankenexperiment: L Lichtblitz bei t 1 =0 Aber: Schwerpunkt war immer an der selben Stelle! =>Rückstossimpuls p = -E/c wird nach t 2 =L/c absorbiert p = E/c ∆x∆x Jede Masse entspricht der Energie => Transport der Masse m während Energietransport Gesamtenergie + Kinetische Energie = Ruheenergie Gaub34

35    Raumzeitereignise und Kausalität Lichtgeschwindigkeit obere Grenze für Signalübertragung! => Wirkung nur innerhalb des Lichtkegels! A kann mit B aber nicht mit C kausal verknüpft sein Im 4-dimensionalen Minkowsky- Raum stellt der Lichtkegel eine 3d-Hyperfläche dar Gaub35E1 WS14/15

36 Erhaltungssätze und Symmetrien Emmy Noether ( ) Isotropie des Raumes bezüglich => Impulserhaltung => Drehimpulserhaltung Ort Richtung ! ! ! Isotropie der Zeit: => Energieerhaltung ! => p= const

37 §4 Systeme von Massenpunkten Vielteilchensysteme (VTS) Erinnerung: Inertialsysteme  Galileitransformation Physikalische Gesetze gleich ! Def.: Massenschwerpunkt x y z Gesamtmasse  Schwerpunktgeschwindigkeit  Gesamtimpuls S Gaub37E1 WS14/15

38 Schwerpunkt-System Ortskoordinaten im Laborsystem Ortskoordinaten von S im Laborsystem Ortskoordinaten von MP i im S - System Die Summe aller Impulse im Spkt-System ist immer Null Drehimpuls der Gesamtmasse in S bezüglich 0 Drehimpuls bezüglich S im S-System der Gesamtmasse vereinigt in S Gaub38E1 WS14/15

39 Stösse zwischen Teilchen Streuwinkel W-W Gebiet Impulsbilanz Energiesatz Impulssatz Q = 0 Elastischer Stoss Q >0 Inelastischer Stoss (innere Reibung) Q < 0 Superelastischer Stoss (z.B. chem. Reaktion) Gaub39E1 WS14/15

40 Kraftstoss F tata tl tt Typischer zeitlicher Verlauf der Kraft beim Stoss: Wirkung:  p Newton : Weil ist F(r ) ein Mass für Streupotential b Stossparameter A(t) B A Streuer z.B. Ladung Gaub40E1 WS14/15

41 Elastische Stösse im S - System Elastisch entspricht Q = 0 Im S – System behält jeder Partner seine kinetische Energie S z x y z x y m1m1 m2m2 Beim elastischem Stoss drehen sich die Impulsvektoren um S 41E1 WS14/15

42 Die Bewegung eines starren Körpers Starrer Körper:  Bewegung des starren Körpers Translation des Schwerpunkts Rotation um den Schwerpunkt 33+6 Freiheitsgrade: Gaub42E1 WS14/15

43 §5 Dynamik starrer ausgedehnter Körper Kräfte und Kräftepaare  Beschleunigung durch Drehmoment durch Kräftepaar Trick: Addition von sich aufhebendem Kräftepaar. neben Richtung und Betrag auch noch Angriffspunkt der Kraft wichtig Eine nicht im Schwerpunkt S angreifende Kraft bewirkt ein Drehmoment bezüglich S und eine Beschleunigung von S. Gaub43E1 WS14/15

44 Der Steiner‘sche Satz Trägheitsmoment eines Körpers ist achsenabhängig  für Achse B||A (A geht durch S) Das Trägheitsmoment I B eines Körpers bei Rotation um eine beliebige Achse B ist gleich dem Trägheitsmoment I S um eine zu B parallele Achse durch den Schwerpunkt plus dem Trägheitsmoment der in S vereinigten Gesamtmasse M bezüglich B = 0 Def. Spkt Gaub44E1 WS14/15

45 Trägheitsmoment und Rotationsenergie feste Achse kinetische Energie eines Massenelements  Rotationsenergie: mit dem Trägheitsmoment und dem Drehimpuls: => Gaub45E1 WS14/15

46 Kreiselbewegungen – Rotation um freie Achsen Drehimpuls eines Massenelements :  mit : Bei freier Rotation ist i. a. nicht ll zu Gaub46E1 WS14/15

47 Kreiselbewegungen – Rotation um freie Achsen in Komponenten: in Tensorschreibweise: Trägheitstensor in Einstein-Summenkonvention: (I verknüpft L mit  durch Drehstreckung) 47

48 tensoriell: Bei beliebiger Drehachse tragen alle Momente des Trägheitstensors zur Rotationsenergie bei Gaub48E1 WS14/15

49 Berechnung der über das charakteristische Polynom: Konvention: Trägheitsmoment um beliebige Achse: Gaub49E1 WS14/15

50 Die Euler‘schen Gleichungen R: Raumfestes System K: Körperfestes Hauptachsen- System (rotiert mit  siehe Kapitel 3 ausgeschrieben für Achse a:  Euler‘sche Gleichungen: Im Allgemeinen sind  und L nicht colinear => Bewegung komplex! Gaub50E1 WS14/15

51 Der kräftefreie symmetrische Kreisel Drehimpulserhalt. =>  Die Gleichungen stellen eine Kugel und einen (um rotierenden) Ellipsoiden dar. Energieerhaltung => Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein! => Die Spitze von L wandert auf der Schnittlinie beider Figuren Da Trägheitsellipsoid körperfest und L raumfest wandert Figurenachse c im raumfesten System => Nutation Sichtbarkeit der momentanen Drehachse => 51

52 Präzession des symmetrischen Kreisels Auf einen symmetrischen Kreisel, der sich um seine Figurenachse dreht ( ω||L||r ) und der außerhalb seines Schwerpunkts unterstützt wird, wirkt das Drehmoment: Präzessionsfrequenz: Daraus resultiert: => nur die Richtung von L ändert sich: Ist die Kreiselachse um den Winkel α gegen die Vertikale geneigt, so ist: =>  p unabhängig von der räumlichen Orientierung der Kreiselachse, nur bestimmt durch L und D

53 §6 Reale Feste und Flüssige Körper Kraft auf ein Atom: Atomares Modell der Aggregatszustände  potentielle Energie hängt von der Anordnung der Atome ab Gaub53E1 WS14/15

54 Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche Scherung und Torsionsmodul Scherspannung: Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α: mit dem Schub- / Scher- / Torsionsmodul G Die behandelten Kräfte sind alle auf atomare Kräfte zurück zu führen und damit miteinander verknüpft. Für isotrope Körper kann folgende Beziehung hergeleitet werden: mit Gaub54E1 WS14/15

55 Statischer Druck in einer Flüssigkeit Beachtung des Gewichts jedes Volumenelements A dz: Es wirkt auf jede Fläche A am Boden des Gefäßes der Schweredruck mit Flüssigkeitshöhe H Man bemerke: Druck unabhängig von Geometrie! => Hydrostatisches Paradoxon p ist nur abhängig von der Füllhöhe eines Gefäßes. Gaub55

56 §6.4 Phänomene an Flüssigkeitsgrenzflächen Oberflächenspannung  effektive Kräfte nur in Grenzschichten. Kräfte von Nachbarmolekülen heben sich in der Flüssigkeit auf. Energie nötig, um Molekül von innen nach außen zu bringen! mit Energie ΔW zur Vergrößerung der Oberfläche um ΔA ist: die spezifische Oberflächenenergie Gaub56E1 WS14/15

57 Statistical Mechanics Steam Engine Chemical Reactions A + B AB Mayer Joule Helmholtz Clausius Kelvin Boltzmann Gibbs Gaub57E1 WS14/15

58 Molecular Dynamics Calculations Solving Newton‘s equation for every atom in pico second intervals Gaub58E1 WS14/15

59 Luftdruck und barometrische Höhenformel Herleitung der barometrischen Höhenformel Abnahme des auf der Fläche A lastenden Gewichts mit der Höhe: mit mit p o = 1013hPa und  0 = 1.24 kg/m 3 Gaub59E1 WS14/15

60 Grundgleichung der kinetischen Gastheorie Bewegung in y- und z-Richtung bleibt beim Stoß unbeeinflußt. Da der Druck eine isotrope Größe ist, gilt: Im Mittel fliegen gleich viele Moleküle in +x- wie in –x-Richtung Gaub60E1 WS14/15

61 Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur Experimentell ergibt sich für konstantes N, dass p V nur von T abhängt. hängt nur von T ab.  Es gibt eine Temperaturskala, für die gilt: Definition der absoluten Temperatur T: mit der Bolzmann-Konstante  allgemeine Gasgleichung Gaub61E1 WS14/15

62  Symmetrische Gaussverteilung Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung  Ist die mittlere kinetische Energie sehr groß gegen die Differenz der potentiellen innerhalb eines abgeschlos- senen Volumens V, ist keine Richtung ausgezeichnet. Differentiation nach u liefert: mit: weilund Gaub62E1 WS14/15

63 Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Geschwindigkeitsvektoren mit der Länge v+dv enden in einer infinitesimalen Kugelschale mit dem Betrag der Geschwindigkeit als Radius. Ingegration über liefert den Faktor: Zahl der Moleküle pro Volumen- einheit mit einer Geschwindigkeit im Betrag zwischen v und v+dv Mittlere Geschwindigkeit Wahrscheinlichste Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeitsquadrat

64 Diffusion Die Netto-Teilchenstromdichte durch dA ist: Beitrag der Teilchen mit v zur Stromdichte : 2π/3 Ficksches Gesetz: oder vektoriell: mit der Diffusionskonstanten 64

65 §8 Strömende Flüssigkeiten und Gase Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m =  ∆V Gleiche Physik für beide Phasen aber  fl >>  g,  fl <<  g -grad p∆V  g∆V spannt ein zeitabhängiges Vektorfeld (Strömungsfeld) auf Analytische Lösungen nur für besondere Fälle, numerische Lösungen oft aufwändig Hängt nicht von t ab, nennt man die Strömung stationär und die Ortskurve eines Volumenelements folgt der Strömungslinie 65E1 WS14/15

66 Bei laminarer Strömung bleibt die Nachbarschaft von Stromfäden erhalten! Bei idealen Flüssigkeiten ist die Reibung vernachlässigbar, bei zähen dominiert sie 66E1 WS14/15

67 => Auch in stationären Strömungen kann sich die Geschwindigkeit z.B. durch Querschnittsreduktion ändern! Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten Dort hat es die Geschwindigkeit Im Strömungsfeld hat ein Volumenelement nach dt den Weg zurückgelegt und ist an den Ort gelangt. Die Beschleunigung eines Volumenelements hat zwei Beiträge: Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit am selben Ort Andere Geschwindigkeit am neuen Ort => In Komponentenschreibweise: uxux uyuy uzuz dito für y und z  Gaub67

68 Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten Bei idealen Flüssigkeiten Reibung Vernachlässigbar => Eulergleichung Navier-Stokes Gleichung für stationäre Strömungen = 0 Konvektionsbeschleunigung mit Gaub68E1 WS14/15

69 Kontinuitätsgleichung Def: Massenflussdichte => u x1 / u x2 = A 2 / A 1 Durch ein Rohr mit sich änderndem Querschnitt fliest die Masse dM / dt =  A 1 u x1 =  A 2 u x2 = const In V sei die Masse Sie ändert sich durch den Fluss durch die Oberfläche S Gauss (Bronstein)

70 Bernoulli-Gleichung Unter Druck wird Gas oder Flüssigkeit durch ein Rohr getrieben. Verjüngt sich der Querschnitt muss das Medium beschleunigt werden Um ∆V 1 = A 1 x 1 gegen p 1 zu bewegen benötigte Arbeit: ∆W 1 = F 1 ∆x 1 = p 1 A 1 ∆x 1 = p 1 ∆V 1 ∆W 2 = p 2 A 2 ∆x 2 = p 2 ∆V 2 dito für den dünnen Teil: Die geleistete Arbeit erhöht die potentielle Energie des Systems! Bei idealen Flüssigkeiten (reibungsfrei!) bleibt die Gesamtenergie konstant! p 1 ∆V 1 + ½  u 1 2 ∆V 1 = p 2 ∆V 2 + ½  u 2 2 ∆V 2 da ∆V 1 = ∆V 2 = ∆V => p 1 + ½  u 1 2 = p 2 + ½  u 2 2 => p + ½  u 2 = p 0 = const Staudruck Gesamtdruck (bei u = 0) Statischer Druck Bernoulli- Gleichung Gaub70E1 WS14/15

71 Schwingungen Schwingungen sind sich periodisch wiederholende Schwankungen einer physikalischen Größe um einen Mittelwert. Beispiele: - Federpendel - Elektronische Oszillationen - Biologische Rhythmen -... m xx0x0 Lösungsansatz: „Kreisfrequenz“ Bewegungsgl.: Gaub71E1 WS14/15

72 Allgemeine Lösung des harm. Oszillators Lösungsansatz: allgem. Lösg. ist Linearkombination der Lösungen: Gaub72E1 WS14/15

73 Harmonische Näherung in beliebigen Potentialen E pot x x0x0 x 0 : Mechanische Gleichgewichtslage (Potentialminimum) Um x 0 kann jedes beliebige Potential als Parabel genähert werden. Taylorentwicklung um x 0 : Bei kleinen Auslenkungen kann man harmonische Schwingungen beobachten z. B. Molekülschwingungen 73E1 WS14/15

74 Allgemeine periodische Vorgänge/ Fourierzerlegung Eine periodische Funktion f(t) mit f(t+T)=f(t) kann zerlegt werden in eine Summe aus sin und cos Funktionen: „Fourier Reihe“ Beispiel: Rechteck-Funktion Nur b n tragen bei (ungerade Funktion f(x)=-f(-x) 1 74

75 Gedämpfte Schwingungen i. A. sind Schwingungen gedämpft, d. h. ihre Amplitude nimmt über die Zeit ab. Dies wird durch Reibungskräfte bewirkt. Bew.gl.: Die Reibungskraft F R ist oft eine Funktion der Geschwindigkeit. z. B viskose Reibung ( z.B. Stokes): Neue Bew.gl.: Ansatz: Starke Dämpfung Schwache Dämpfung Aperiodischer Grenzfall Gaub75E1 WS14/15

76 Erzwungene Schwingungen m Von außen angelegte Kraft GaubE1 WS14/15

77 - In der Resonanz liegt die Phase des Erregers um  2 vor dem Oszillator z. B. Anregung mit cos (  0 t) -> Resonanz cos(  0 t-  2)=sin(  0 t) - Für  ->0 gleichphasig, für  ->∞ gegenphasig Versuche Pohl‘sches Rad und Glas Film Tacoma Bridge Gaub77

78 Mathieu-Gleichung Parametrischer Oszillator (Kinderschaukel): Fadenpendel :   = (g/L) 1/2 Periodisches verkürzen des Fadens: optimaler Antrieb bei Ansatz: Exponentielles aufschaukeln für mit: und Winkelfunktionsmassage (siehe Demtröder) 78

79 B) Gekoppelte Federn, mehrere Massen D1D1 D 12 D2D2 m1m1 m2m2 0 x1x1 0 x2x2 Kopplung der DGL Vereinfachung: Normalkoordinaten Eigenschwingungen, „Normalmoden“ „Schwebungen“ Versuche Gekoppelte Pendel und Metronome Gaub79E1 WS14/15

80 Mechanische Wellen Tritt eine Störung ξ zum Zeitpunkt t = 0 an der Stelle z = z 0 auf und breitet sich ungedämpft mit der Geschwindigkeit v aus, dann befindet sie sich zum Zeitpunkt t 1 an der Stelle z 1. ξ ist konstant für alle Werte   Wellen- Gleichung  Gaub80E1 WS14/15

81 Mechanische Wellen Wellengleichung: Alle Lösungen dieser Gleichung sind Wellen mit der Geschwindigkeit v, die Randbedingungen selektieren daraus spezielle. Z. B. harmonische ebene Welle in z-Richtung: Beschreibt ξ eine mechanische Auslenkung, kann diese senkrecht (Transversalwelle) oder parallel (Longitudinalwelle) zur Ausbreitungsrichtung sein. In beiden Fällen gilt: oder Phasengeschwindigkeit Wellenvektor: Gaub81E1 WS14/15

82 Mechanische Wellen Transversalwelle (ξ = Δx): Longitudinalwelle (ξ = Δx): Gaub82E1 WS14/15

83 Überlagerung zweier kohärenter Kugelwellen Phasendifferenz in P => konstruktive Interferenz für => Hyperbelschar Interferenz in Ästen mit zunehmendem n weniger ausgeprägt, weil A mit 1/r abfällt Gaub83E1 WS14/15

84 §11.12 Stehende Wellen Durch geeignete Überlagerung von Wellen lassen sich stationäre Schwingungsmuster erzeugen, bei denen bestimmte Punkte, Linien oder Flächen im Raum stets in Ruhe bleiben (Schwingungsknoten). Eindimensionale stehende Wellen Überlagerung einer ebenen Welle Für z > 0 ist die Gesamtwelle also: mit ihrer Reflexion an einer Ebene bei z = 0 mit Phasensprung φ  Schwingung, deren Amplitude periodisch vom Ort abhängt, genannt stehende Welle.  Schwingungsknoten (Amplitude = 0)  Schwingungsbäuche (Amplitude max)

85 Eindimensionale stehende Wellen Gaub85E1 WS14/15

86 Die Ausbreitung einer Welle kann durch Reflexion an Flächen, Brechung in Medien und Beugung an Hindernissen verändert werden. Diese Veränderungen lassen sich mit Hilfe des Huygensschen Prinzips verstehen. Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen Huygenssches Prinzip: Jeder Punkt einer Phasenfläche ist Ausgangspunkt einer neuen Kugelwelle. Gaub86E1 WS14/15

87 Phasenebene einer ebenen Welle in z-Richtung Elementarwellen von N Quellpunkten im Abstand δ Beispiel: Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen In Richtung α gegen die Wellennormale k ist die Wegdifferenz benachbarter Elementarwellen:  Gaub87E1 WS14/15

88 Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen Intensität :  Gaub88E1 WS14/15

89 Falls λ < δ treten p Maxima für alle Winkel auf, für die gilt: Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen Gaub89E1 WS14/15

90 Nach Fourier lässt sich eine beliebige Störung ξ, die sich in z-Richtung ausbreitet, darstellen als Superposition unendlich vieler harmonischer Wellen: Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Die Amplituden A(ω) ergeben sich durch inverse Fourier- Transformation: Variiert die Phasengeschwindigkeit einer Welle mit der Wellenlänge, kommt es zur Dispersion: das Wellenpaket zerfließt. Wasser- Oberflächenwellen Die Einhüllende bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit Gaub90E1 WS14/15

91 Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit 1/v ph 1/v G Gaub91E1 WS14/15

92 Skills count ! Gaub92E1 WS14/15


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