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4. Beschleunigte Bezugssysteme und starre Körper 4.1. Translation und Rotation, Scheinkräfte Translation: Rotation: fest x y z φ Momentane Winkelgeschwindigkeit.

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Präsentation zum Thema: "4. Beschleunigte Bezugssysteme und starre Körper 4.1. Translation und Rotation, Scheinkräfte Translation: Rotation: fest x y z φ Momentane Winkelgeschwindigkeit."—  Präsentation transkript:

1 4. Beschleunigte Bezugssysteme und starre Körper 4.1. Translation und Rotation, Scheinkräfte Translation: Rotation: fest x y z φ Momentane Winkelgeschwindigkeit Allgemein: Überlagerung Σ Inertialsystem ( ruhendes Referenzsystem ) m beschleunigtes, rotierendes System

2 Σ Inertialsystem ( ruhendes Referenzsystem ) m beschleunigtes, rotierendes System Kinematik (vgl. Theorie): TranslationRotation Dynamik: Trägheitskräfte (Scheinkräfte)

3 Beispiel 1: Geradlinig beschleunigte Bewegung Waage m Realisierung: Anzeige der Waage: Freier Fall: Schwerelosigkeit Rakete: Sturzflug: (falls Masse an Waage fixiert)

4 Beispiel 2: Gleichförmige Rotation x y z m m. Zentrifugal- kraft Coriolis- Kraft Zentrifugal- kraft Coriolis-Kraft: v-abhängig Zentrifugalkraft: radial, -abhängig

5 F = 0 Beispiel: Raumfahrt Schwerelosigkeit im Orbit Künstliche Schwerkraft Unten = radial ω

6 Geostationäre Bahn: Satellit Erde 1. Sichtweise: in Erde, nicht rotierend Kreisbewegung 2. Sichtweise: erdfest, rotierend feste Position ( Kräftefreiheit ) 3. Sichtweise: im Satellit, nicht rotierend feste Position ( Kräftefreiheit )

7 Beispiel: Geodit (Erdform) Rotationsellipsoid definiert NN (Normal-Null), R Äquator R Pol 20 km Beispiel: Gezeiten Flutberg Erde Mond Schwerpunkt: Σ Gravitationskraft des Mondes Zentrifugalkraft durch Rotation um Schwerpunkt

8 Erde Beispiel: Foucault-Pendel Pendel hängt schief : Corioliskraft Pendelebene (Aufsicht, Nordhalbkugel) Σ: Erde dreht sich unter Pendel durch Berlin: 52,5 T S 30,25 h S 11,9 h

9 Beispiel: Hurricane

10 4.2. Dynamik des starren Körpers Bewegung des starren Körpers Def.: Starrer Körper System von Massenpunkten fester Relativkoord. dm dV M O Homogene Körper Komponenten der Bewegung: 1.Translation: Massenpunkte laufen auf kongruenten Bahnen 2.Rotation: Massenpunkte laufen auf konzentrischen Kreisen

11 Def.: Massenmittelpunkt (MMP) Folgerung: Gesamtimpuls Bewegungsgl.: Translationsbewegung: Der MMP bewegt sich wie ein Massen- punkt der Masse M unter dem Einfluss der externen Kräfte. Dieser Teil ist also gewöhnliche Punktmechanik. Dieses Kapitel: Rotationsbewegung um den ruhenden MMP

12 Experimentelle Bestimmung des Massenmittelpunkts: MMP Mg. Stabile Lage Experiment: MMP

13 Experiment: Stabilität des schiefen Turms MMP Mg stabil labil instabil

14 Drehachse (nicht notwendig um MMP) dm r Rotationsenergie Def.: Trägheitsmoment (bezüglich der Drehachse) Folgerung:

15 Beispiel: Vollzylinder ( Tafelrechnung) R Achse z L 0 Vergleich: Vollzylinder: Hohlzylinder: Vollkugel: Hohlkugel: 0,4 : 0,5 : 0,667 : 1

16 Beispiel: Rollende Zylinder h M ΔtΔt ω Zylinder auf schiefer Ebene M Abrollender Faden Energiebilanz ( Tafelrechnung )

17 Beispiel: Maxwell-Rad Drehachse 2r R Faden m h M M Tafelrechnung

18 Folgerung: Steinerscher Satz S MMP Totale kinetische Energie: Rotation um MMP: Translation von MMP: (Kreisbewegung um Achse) Drehachse (nicht um MMP) Rotation um Drehachse: Steinerscher Satz: Es reicht, Drehachsen zu betrachten, die durch den MMP gehen. Die Übersetzung auf parallelverschobene Achsen ist trivial.

19 Drehmoment und Drehimpuls ( vgl. Theorie) Translation Rotation Masse m Trägheitsmoment ( bzgl. Drehachse) Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit Kinetische Energie Rotationsenergie

20 Translation Rotation Impuls Drehimpuls Kraft Drehmoment Bewegungsgleichung

21 Referenzpunkt Bewegungsgleichung der Rotation: Folgerung: Drehimpulserhaltung Wirken keine äußeren Drehmomente auf einen Körper (bzgl. eines Referenzpunktes), bleibt der Drehimpuls (bzgl. des Referenzpunktes) konstant.

22 Beispiel: Drehschwingungen M, J R Teller Rückstell- feder Dreh- achse φ t Periode T φ (Tafelrechnung) Steinerscher Satz R R 0

23 T2T2 R2R2 α

24 Experiment: Rolle mit Faden Kein Drehmoment

25 in Komponenten Trägheitstensor ( vgl. Theorie) mit und Trägheitstensor Trägheitstensor Körpereigenschaft, unabhängig von Drehachse symmetrisch: positiv definit:

26 Beispiel: Rotation des H 2 -Moleküls H H Feste Drehachse S präzediert um es wirkt Unwucht

27 Beispiel: Körper mit Rotationssymmetrie Töpferei S Schwerpunkt liegt auf Symmetrieachse Spezialfall: Drehung um Symmetrieachse

28 Zusammenhang von J bzgl. Drehachse mit Tensor : Folgerung:

29 y z x P Definition: Trägheitsellipsoid alle mit Tafelrechnung steht senkrecht auf Trägheitsellipsoid i.a. gilt

30 Hauptachsen ξ, η, ζ stehen senkrecht auf Oberfläche y z x ξ η ζ Hauptachsen des Trägheitsellipsoiden: Drehung ( x, y, z ) (,, ) sodass Hauptträgheitsmomente (HTM) große Halbachse mittlere Halbachse kleine Halbachse Folgerung: falls

31 Definition: Asymmetrische Kreisel: J ζ J η J ξ J ζ Symmetrische Kreisel: 2 HTMe gleich, z.B. Rotationskörper Sphärische Kreisel: J ζ J η J ξ Trägheitsellipsoid Kugel N O O NO 2 - Molekül ζ η ξ η ζ ξ Buch Prolate Kreisel: J ζ < J η J ξ Oblate Kreisel: J ζ J η J ξ ζ η ξ a a η ξ ζ Kugel η ξ ζ ξ Würfel η ζ

32 Definition: Freie Achsen Mögliche Drehachsen ohne äußere Drehmomente Wegen folgt: (samt Entartung bei Symmetrie) Stabilität freier Achsen: ( vgl. Theorie) große Halbachse stabil gegen kleine Störung mittlere Halbachse instabil kleine Halbachse stabil

33 4.3. Der Kreisel Bisher: feste bzw. freie Drehachse Kreisel:fester Punkt, bewegliche Drehachse Beispiele: (i)kräftefreie Körper fester Massenmittelpunkt (MMP) (ii)gestützter Kreisel Schwerpunkt S Unterstützung in S kräftefreier Kreisel Unterstützung in S kräftefreier Kreisel Unterstützung jenseits S Gravitation Drehmoment Präzedierender Kreisel Unterstützung jenseits S Gravitation Drehmoment Präzedierender Kreisel

34 Kräftefreier symmetrischer Kreisel Symmetrieachse = Figurenachse = Hauptachse y S z x körperfestes, rotierendes Hauptachsensystem J x J y (im raumfesten System) Drehachse (körperfest) Nutation

35 Nutation von Figurenachse und Drehachse: LxLx LyLy LzLz L x, L y, L z : körperfeste Komponenten raum- und körperfeste Kugel: körperfester Ellipsoid: liegt auf Schnittkurve rotiert im körperfesten System um Schnittkurve Ellipsoid rotiert im raumfesten System um

36 β α Nutation im raumfesten (nicht rotierenden System): z Figurenachse L z J z · ω z z β α Nutationskegel Öffnungswinkel α Rastpolkegel, Öffnungswinkel β α (Ort der momentanen Drehachse) Rastpolkegel, Öffnungswinkel β α (Ort der momentanen Drehachse) Gangpolkegel, Öffnungswinkel β (rollt auf Rastpolkegel ab) Gangpolkegel, Öffnungswinkel β (rollt auf Rastpolkegel ab)

37 Präzession des symmetrischen Kreisels Betrachte Figurenachse keine Nutation i) Präzession des Gyroskops: Faden Laufachse m S Tafelrechnung

38 α α ii) Kinderkreisel S ωPωP α ( const. ) Tafelrechnung

39 iii) Kreiselkompass Erddrehung ω E West Ost Drehmoment durch Erddrehung Nord – Süd – Ausrichtung

40 23,5° iv) Erdpräzession Erde (Rotationsellipsoid) zur Sonne Ekliptik (Ebene der Erdumlaufbahn um die Sonne) S1S1 S2S2 Sonnenanziehung Zentrifugalkraft Zusätzlich: Rotationsachse Figurenachse Nutation


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