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Das Newton-Verfahren – Vorstellung Manchmal sind die Funktions- vorschriften zu kompliziert um Nullstellen ausrechnen zu können. Manchmal sind die Funktions-

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1 Das Newton-Verfahren – Vorstellung Manchmal sind die Funktions- vorschriften zu kompliziert um Nullstellen ausrechnen zu können. Manchmal sind die Funktions- vorschriften zu kompliziert um Nullstellen ausrechnen zu können. Darum hat Sir Isaac Newton das nach ihm benannte Verfahren entwickelt. Darum hat Sir Isaac Newton das nach ihm benannte Verfahren entwickelt. Mit diesem Verfahren kann man mit Hilfe von Tangenten in mehreren Schritten eine Nullstelle finden. Mit diesem Verfahren kann man mit Hilfe von Tangenten in mehreren Schritten eine Nullstelle finden.

2 Zur Erinnerung - Tangenten x0x0x0x0 Die Tangente einer Funktion f(x) im Punkt (x 0 ;f(x 0 )) f(x 0 ) f(x) y x Hat die Steigung f ‘(x 0 ) und die Gleichung: Sie nähert die Funktion in einer kleinen Umgebung von x 0 gut an.

3 Wie funktioniert das Newton-Verfahren? x0x0x0x0 f(x 0 ) f(x) y x Wenn die Tangente einer Funktion f(x) im Punkt (x 0 ;f(x 0 )) die Funktion annährt, x* dann nähert natürlich auch die Tangentennullstelle x 1 die Nullstelle x* von f(x) an. die Nullstelle x* von f(x) an. xx1xx1

4 Nun geht es weiter… x0x0x0x0 f(x 0 ) f(x) y x x* xx1xx1 x 1 liegt näher an x* als x 0 x 1 liegt näher an x* als x 0 daher zeichnen wir nun eine Tangente in (x 1 ; f(x 1 )). daher zeichnen wir nun eine Tangente in (x 1 ; f(x 1 )). f(x 1 ) Mit der neuen Tangentennullstelle haben wir x* schon fast erreicht…

5 Nun noch ein bisschen Rechnerei… Nullstelle x 1 der Tangentengleichung: Klammer ausmultilpizieren:

6 Nun noch ein bisschen Rechnerei… f‘(x 0 )  x1x1x1x1- f‘(x 0 )  x 0 + f(x 0 ) =0 Nun nach x 1 auflösen: - Durch Addition auf die andere Seite Durch Subtraktion auf die andere Seite Durch Division auf die andere Seite

7 Noch etwas vereinfachen… f‘(x 0 ) x1x1x1x1 f‘(x 0 )  x 0 f(x 0 ) = - f‘(x 0 ) kürzen x0x0x0x0 fertig Bruch aufteilen


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