vorgestellt von Arndt Heinemann

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1 vorgestellt von Arndt Heinemann
Das Newton - Verfahren vorgestellt von Arndt Heinemann

2 Inhalt Allgemeines Herleitung Konvergenz 1.Beispielaufgabe Heron
Quellen

3 Allgemeines Benannt nach Isaac Newton (*1643- †1727)
Ziel: Näherungsweise Bestimmung von Nullstellen nichtlinearen Funktionen f(x)=0 Bestimmung mit Hilfe von Tangenten

4 Herleitung t=mx+b

5 Herleitung t=mx+b

6 Herleitung t(xn)=mx+b t(xn)=f´(xn)x+b

7 Herleitung t(xn)=mx+b t(xn)=f´(xn)x+b

8 Herleitung t(xn)=mx+b t(xn)=f´(xn)x+b

9 Herleitung t(xn)=mx+b t(xn)=f´(xn)x+b

10 Herleitung

11 Herleitung

12 Herleitung

13 Herleitung

14 Konvergenz Newton-Verfahren trifft auf einen Extrempunkt
Fälle ohne Konvergenz Newton-Verfahren trifft auf einen Extrempunkt

15 Konvergenz Das Newton Verfahren pendelt zwischen zwei Werten
Fälle ohne Konvergenz Das Newton Verfahren pendelt zwischen zwei Werten

16 Konvergenz Newton-Verfahren divergiert von der Nullstelle
Fälle ohne Konvergenz Newton-Verfahren divergiert von der Nullstelle

17 Beispielaufgabe 1 Bestimme eine Nullstelle der Funktion f(x)=x²+4

18 Beispielaufgabe 1 Bestimme eine Nullstelle der Funktion f(x)=x²+4

19 Beispielaufgabe 1 Bestimme eine Nullstelle der Funktion f(x)=x²-4

20 Beispielaufgabe 1

21 Heron Erweiterung zum Newton-Verfahren
Speziell zur Bestimmung von Wurzeln Wurde bereits 100 n. Chr. von Heron bewiesen

22 Heron Ansatz: a A a

23 Heron Der Flächeninhalt sei: 2

24 Heron

25 Heron #1

26 Heron #2 #1

27 Heron #2 #1 Aus #1 & #2 folgt:

28 Heron Allgemeiner

29 Heron Allgemeiner 2 -> War der Flächeninhalt->Fl
s und l ersetzen wir durch sn-> neue Seitenlänge sa-> alte Seitenlänge

30 Heron Allgemeiner 2 -> War der Flächeninhalt->Fl
s und l ersetzen wir durch sn-> neue Seitenlänge sa-> alte Seitenlänge

31 Beispielaufgabe 2 Bestimme :

32 Beispielaufgabe 2 Bestimme :

33 Beispielaufgabe 2 Bestimme :

34 Quellen Facharbeit über Iterartionsverfahren von Patrick Brüning
Facharbeit von Dominik Gumreben Numerische Mathematik kompakt 11 Elemente der Mathematik – Schroedel

35 Danke für Ihre Aufmerksamkeit