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Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Vom graphischen Differenzieren zum rechnerischen Differenzieren f‘(x 0 ) = lim f(x 0 +h) – f(x 0.

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1 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Vom graphischen Differenzieren zum rechnerischen Differenzieren f‘(x 0 ) = lim f(x 0 +h) – f(x 0 ) h h → 0

2 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Die h-Methode Wir wollen die Steigung einer Funktion bestimmen Das können wir bereits! Oder nicht?

3 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Können wir! m = Sind 2 Punkte einer linearen Funktion gegeben, können wir die Steigung m einfach berechnen m = 0,5

4 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Das war einfach! Aber wie geht das nun bei nicht-linearen Funktionen? x0x0 x f(x 0 ) f(x) m = f(x) – f(x 0 ) x - x 0 Differenzenquotient Wir wollen die Steigung im Punkt (x 0 /f(x 0 )) berechnen. Dazu nehmen wir einen weiteren Punkt der Funktion zu Hilfe und können so die Steigung m berechnen.

5 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase War das schon alles? Natürlich nicht ! Wir haben zwar eine Steigung berechnet, nicht aber die Steigung der Funktion im Punkt (x 0 /f(x 0 )), sondern die der Geraden durch die beiden Punkte. Was nun?

6 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Ein Trick muss her! x0x0 x 0 +h f(x 0 ) f(x 0 +h) Der Hilfspunkt zu x liegt um h weiter als x 0, wo wir die Steigung suchen. Würden die Punkte näher zusammen liegen, wäre das Ergebnis viel genauer. Wird also h sehr klein, ist das Ergebnis viel genauer !

7 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Berechnen wir m, dann sieht das nun so aus: m = f(x 0 +h) – f(x 0 ) x 0 +h - x 0 Und wie soll uns das jetzt weiterhelfen ??? m = f(x 0 +h) – f(x 0 ) h

8 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Ein Beispiel muss her! Zahlen! m = (2+h) h - 2 = 4 + 4h + h h = h 2 + 4h h = h (h + 4) h + 4 h = Wir suchen die Steigung der Funktion f(x) = x 2 an der Stelle x 0 = 2. Dazu brauchen wir einen Hilfspunkt, der um „h“ weiter liegt. Die beiden Punkte lauten dann also (2 | 4) und (2+h | f(2+h)) Na wunderbar, mit 2 Punkten können wir arbeiten! Dann mal los... Es ist m = f(x 0 + h) – f(x 0 ) x 0 + h - x 0 m = f(x 0 +h) – f(x 0 ) h

9 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Klasse! Die Steigung der Funktion im gesuchten Punkt ist also h + 4. Aber Moment mal.... Was sollen wir denn mit dem h anfangen? Wir haben doch immer noch die Steigung mit 2 Punkten berechnet? Wir sind ja auch noch nicht ganz fertig!

10 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Die Überlegung war, dass die beiden Punkte sehr nah zusammen liegen sollten, damit das Ergebnis möglichst genau wird. Wenn der zweite Punkt um „h“ entfernt liegt, machen wir h ganz einfach unendlich klein (sehr sehr klein) lim (h + 4) = h->0 4 Die Steigung der Funktion f(x) = x 2 an der Stelle x 0 =2 beträgt also 4. Das machen wir jetzt! Man bildet den Grenzwert (limes) für h gegen 0. Die beiden Punkte liegen damit sozusagen aufeinander und wir haben nicht mehr die Steigung einer Geraden, sondern die Steigung in einem Punkt berechnet.

11 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Wie ging das noch mal ? 1. Ich berechne den Differen- zenquotienten m mit Hilfe eines weiteren Punktes, dessen x-Wert von der zu untersuchenden Stelle x 0 den Abstand „h“ hat. 2. Ich bilde den Grenzwert für h gegen 0 und erhalte die Ableitung (= Steigung) an der Stelle x 0 m = f(x 0 +h) – f(x 0 ) h f‘ (x 0 ) = lim f(x 0 +h) – f(x 0 ) h h → 0

12 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase m = f(x) – f(x 0 ) x – x 0 Der Differenzenquotient m wird für x = x 0 + h oder - vereinfacht - zu Und die Ableitung von f(x) an der Stelle x 0, kurz f‘(x o ), ist, wenn h gegen 0 geht, der Grenzwert des Differenzenquotienten, also: f‘(x 0 ) = lim f(x 0 +h) – f(x 0 ) h h → 0 f(x 0 + h) – f(x 0 ) x 0 + h - x 0 zu m = m = f(x 0 +h) – f(x 0 ) h Zusammengefasst: Alles klar ?

13 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Die drei Fragen: 1. Wie ist der Differenzenquotient definiert? 2. Was bedeutet die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x 0 ? 3. Wie kann die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x 0 berechnet werden ? m = f(x 0 +h) – f(x 0 ) h f‘(x 0 ) = lim f(x 0 +h) – f(x 0 ) h h → 0 Setze die Werte für x 0 und h in den Funktionsterm f(x) ein! Setze dies in den Differentenquotienten ein ! Forme um, kürze h, und lasse dann h gegen Null gehen.

14 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Aufgaben (Lösungen siehe AB 1) : Berechne zu f(x) = 4x² + 2 x - 1 den Differenzenquotienten m und f‘(x 0 ) mit … 1.) h = 2 und x 0 = 1 2.) h = 1 und x 0 = 2 3.) h = 1 und x 0 = 0

15 Plenum: Die „h – Methode“ Mathematik Einführungsphase Aufgaben:


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