Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

1 Vorlesung Hydrologie I Dr. Fred Hattermann Do 8.15-9.45 Haus 12 SS 2014.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "1 Vorlesung Hydrologie I Dr. Fred Hattermann Do 8.15-9.45 Haus 12 SS 2014."—  Präsentation transkript:

1 1 Vorlesung Hydrologie I Dr. Fred Hattermann Do Haus 12 SS 2014

2 2 Inhalts- und Terminübersicht 1. VL Einführung 2. VL Wasserkreislauf 3. VL Strahlung ( Feiertag) 4. VL Komponenten und Prozesse des Wasserkreislaufs 5. VL Niederschlag I 6. VL Niederschlag II ( Feiertag) 7. VL Verdunstung

3 3 Inhalts- und Terminübersicht 8. VL Versickerung 9. VL Infiltration 10. VL Abfluss I 11. VL Abfluss II

4 7. Abfluss I

5 5 7. Abfluss II 7.1 Definition und Grundlagen Definition Abflussbildung Abflusskonzentration Abflussregime 7.2 Abflussmessung 7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie 7.4 Abflussstatistik Allgemeine Abflussstatistik Extremwertstatisitk 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel

6 6 Ziel: Beschreibung der stat. Eigenschaften einer Abflusszeitreihe (an einer Gewässerstelle) und/oder Ableitung der Werte der extremen Abflüsse Für die Bemessung von z.B. Deichen, Schleusen, Karnälen und Rückhaltebecken werden Informationen zur Auftretenswahrscheinlichkeit von Ereignissen bestimmter Intensität benötigt -> Extremwertstatistik Aufgabe der Extremwertstatistik in der Hydrologie (s. Übung) Wie häufig tritt ein Niederschlag bestimmter Intensität und Dauer im Mittel auf? Mit welchem maximalen Durchfluss / Wasserstand muss innerhalb einer Zeitspanne statistisch gerechnet werden? Die statistische Auswertung bereits beobachteter Extremwerte ist eine Möglichkeit, solche Aussagen zu liefern. 7. Abfluss II 7.4 Abflussstatistik

7 Abflussganglinie (Hydrograph) – Definition Darstellung des Abflusses Q über die Zeit t (Ganglinie des Wassers am Pegel). 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

8

9 9 7. Abfluss II 7.1 Definition und Grundlagen Definition Abflussbildung Abflusskonzentration Abflussregime 7.2 Abflussmessung 7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie 7.4 Abflussstatistik Allgemeine Abflussstatistik Extremwertstatisitk 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel

10 Deskriptive und analytische Statistik Aufgabe der Statistik ist die Zusammenfassung von Daten, deren Darstellung, Analyse und Interpretation. Man unterscheidet zwischen beschreibender oder diskreptiver und schließender oder analytischer Statistik. 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

11 Die deskriptive Statistik dient der Beschreibung quantitativ-empirischer Daten. Ziel ist es, Daten und die ihnen zugrunde liegenden Muster sinnvoll darzustellen und zusammenzufassen. Beispiele sind: Tabellen (z.B. Häufigkeitstabellen, oft Einteilung in Klassen); Grafiken (z.B. Balkendiagramme oder Histogramme, Kreisdiagramme, Liniendiagramme); Statistische Kennwerte (z.B. Mittelwerte, Streuungsmaße). Im Gegensatz zur deskriptiven Statistik versucht man in der analytischen Statistik, von den Ergebnissen der Stichprobe auf die Grundgesamtheit der Beobachtungsvariablen zu schließen: Auf der Basis der Stichprobenwerte kann man auf die Verteilung der Beobachtungsvariablen schließen; Auf der Basis von Stichprobenwerten kann man Hypothesen überprüfen (ist z.B. die Temperatur in der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts signifikant höher als in der Zeit davor?). -> statistische Tests 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

12 Deskriptive Statistik: Häufigkeitsverteilung Messwerte qualitativer (kategorischer) Variablen treten meist mehrfach auf. Bei quantitativen (metrischen) Variablen bildet man meist Intervalle oder Klassen, denen die Messwerte zugeordnet werden. Das Ergebnis ist in beiden Fällen eine Häufigkeitsverteilung. Diese Häufigkeitsverteilung lässt sich tabellarisch oder grafisch darstellen: Tabelle Histogramm 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

13 Klimastationen Z.B. Temperaturen [°C] Deskriptive Statistik: Darstellung räumlicher Werte 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

14 Lagemaße: Modalwert = der in der Stichprobe am häufigsten auftretende Wert; Medianwert = sowohl oberhalb als auch unterhalb des Medianwertes liegen 50 % der nach Größe sortierten Werte, er wird deshalb auch Zentralwert genannt; Mittelwert = arithmetisches Mittel oder Durchschnitt, also die Summe der Werte x i durch die Anzahl n der Werte: 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

15 Dispersions- oder Streuungsmaße: Streuungsmaße beschreiben die Streuungsbreite oder Heterogenität der Werte. Bei kleiner Dispersion verteilen sich die Werte eng um den Mittelwert, bei großer weit. Wichtig sind: Range = Variationsbreite oder Spannweite zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Varianz = Die empirische Varianz ist eine Kennzahl für die Dispersion von gemessenen Werten um den Mittelpunkt herum. Je stärker die Messwerte der einzelnen Werte vom Mittelwert abweichen, desto größer ist die Varianz s 2 der Variablen. In die Berechnung der empirischen Varianz gehen die quadrierten Abweichungen der einzelnen Werte x i von ihrem Mittelwert ein: Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz. 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

16 Ein statistisches Modell beschreibt die Eigenschaften eines Zufallsprozesses. Fallhöhe [m] Zeit [t] Beispiel für deterministisches Ereignis: Fallhöhe eines Balles. Augenzahl Zeit [t] Niederschlag [mm] Zeit [t] Beispiel für unkorreliertes stochastisches (stat.) Ereignis: Würfeln. Beispiel für korreliertes stochastisches (stat.) Ereignis : Niederschlagshöhe. 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

17 Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion: Betrachtet man stetige Zufallsvariablen, so kann man die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Realisation (eines Elementarereignisses) nicht bestimmen, dafür aber die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert innerhalb eines Intervalls liegt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die stetige Zufallsvariable X innerhalb von a und b liegt: Die Gesamtfläche unter dem Integral ist auf 1 normiert: 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

18 Wikipedia 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

19 Unterschreitungs- wahrscheinlichkeit Überschreitungs- wahrscheinlichkeit Zwischenwahrscheinlichkeit 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

20

21 Verteilungsmodelle: Die meisten Zufallsvariablen können durch Verteilungsmodelle beschrieben werden, wobei für stetige und diskrete Zufallsvariablen unterschiedliche Modelle Anwendung finden. Gleichverteilung: Für eine diskrete Zufallsvariable bedeutet die Tatsache, dass sie gleichverteilt ist, dass alle k möglichen Ereignisse bzw. x i -Werte gleich wahrscheinlich sind: f(x i ) = 1/k für alle i = 1,..., k Für eine stetige Zufallsvariable bedeutet die Tatsache, dass sie gleichverteilt ist, dass der Graph der Funktionsvorschrift einen konstanten Wert hat und parallel zur x-Achse verläuft. 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

22 Wichtigstes statistisches Modell: Normalverteilung Mit Mittelwert (Erwartungswert) µ, Streuung (Varianz) σ 2 und Standardabweichung σ. Für die Standardnormalverteilung ist µ = 0 und σ = 1. - σ+ σµ 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

23 Normalverteilung: Die Normalverteilung ist ein Verteilungsmodell für stetige Zufallsvariablen und wurde von Carl Friedrich Gauß entwickelt -> „Gaußsche Glockenkurve“. Wichtig: Die Normalverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert (Erwartungswert) µ mit einer Streuung σ. Die Streuung bestimmt dabei die Breite der Verteilung. Normalverteilungen mit gleichem µ und σ sind identisch. Modalwert = Median = Mittelwert Im Bereich µ - σ bis µ + σ liegen ca. 68 % der Werte. Im Bereich µ - 2σ bis µ + 2σ liegen ca % der Werte. 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

24 Vertrauensbereich für einen Beobachtungswert: Im Bereich µ *σ bis µ *σ liegen ca. 95 % der Werte. Im Bereich µ *σ bis µ *σ liegen ca. 99 % der Werte. Im Bereich µ *σ bis µ *σ liegen ca % der Werte. Beispiel: µ = 3, σ = 1 => 95% der Werte liegen zwischen 3 +/ * 1 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

25 1. Moment: Erwartungswert von Z: 2. Moment: Varianz von Z Kovarianz zweier Zufallsvarialen Z 1 und Z 2 : Korrelation zweier Zufallsvariablen: Für Normalverteilung gleich dem Mittelwert 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

26 Gleiche Varianz, unterschiedliche Mittelwerte Gleiche Mittelwerte unterschiedliche Varianz 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

27 Die Z-Transformation Für viele Verfahren wird die Umwandlung der untersuchten Variablen einer gegebenen Normalverteilung in die Standard-Normalverteilung vorausgesetzt. Sie erfolgt durch: mit = Mittelwert und s = Standardabweichung 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

28 Aber: Viele natürlichen Zufallsvariablen sind nicht normalverteilt. Eine häufig vorkommende Verteilung natürlicher Zufallsvariabler, welche per Definition nur positiv sein können (z.B. der Permeabilität von Böden), ist die Lognormalverteilung: 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

29 Transformation in eine Normalverteilung: Viele statistische Methoden setzen eine Normalverteilung der untersuchten Größe voraus. Liegt diese nicht vor, können verschiedene Verfahren angewandt werden, um eine schiefe Verteilung in eine Normalverteilung umzuwandeln: Logarithmische Transformation: Beispiel: Linkssteile Verteilungen Kehrwerttransformation: Beispiel: Rechtssteile Verteilungen Quadratwurzeltransformation: Beispiel: Vorliegen kleiner ganzer Zahlen bei einer Zählung Potenztransformation: Beispiel: Bei Rechtsgipfligkeit 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

30 Häufigkeitsverteilung: Aufteilung der Daten in Abflussklassen -> absolute und relative Häufigkeit: Histogramm Kumulative Häufigkeit: Integration über die Absolute Häufigkeit -> Dauerlinien Eine Dauerlinie ist die grafische Darstellung statistisch gleichwertiger Einzelbeobachtungen (Messwerte) in der Reihenfolge ihrer Größe. Mit Hilfe von Dauerlinien werden die Unter- beziehungsweise Überschreitungshäufigkeiten der Messwerte in einem bestimmten Zeitraum beschrieben. Eine Dauerlinie entsteht durch Sortierung der Messwerte ihrer Größe nach, meist beginnend mit dem kleinsten Wert, wobei die Abszisse die Zeitachse darstellt. Wikipedia 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

31 Wikipedia 7. Abfluss II Allgemeine Abflussstatistik

32 32 7. Abfluss II 7.1 Definition und Grundlagen Definition Abflussbildung Abflusskonzentration Abflussregime 7.2 Abflussmessung 7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie 7.4 Abflussstatistik Allgemeine Abflussstatistik Extremwertstatisitk 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Coles S (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer, Heidelberg.

33 33 Graphisches Verfahren: 1)Bestimmung der Jahresextreme 2)Ordnen der Extremabflüsse der Größe nach (groß nach klein): Rangzahl m=1 3)Zuordnung einer empirischen Wahrscheinlichkeit nach „ plotting-Formel“ z.B.: 4)Eintragen der (Extremabfluss, P ü ) – Wertepaare in Wahrscheinlichkeitspapier Normalverteilung oder log. Normalverteilung 5)Anpassen einer Ausgleichskurve + Extrapolation 6)Ablesen der Extremabflüsse für gesamtes P ü (=1/T) 7)Extrapolation bis maximal dreifachen Wert der Dauer der Beobachtungszeitreihe 7. Abfluss II Extremwertstatistik

34 34 Mathematisches Verfahren: 1)Aufstellen der Stichprobe (als höchste Jahreswerte oder Werte über Schwellenwert -> partielle Serie) 2)Auswahl einer passenden Verteilungsfunktion F x 3)Berechnung der stat. Parameter von F x aus der Stichprobe 4)Überprüfung der Anpassung von F x und Summenhäufigkeit  extreme Werte sollen stimmen (optisch! oder stat. Tests) 5)eventuell zurück zu 1) mit anderer Funktion 6)Berechnen der gewünschten P ü (x) 7)Extrapolation bis maximal dreifachen Wert der Dauer der Beobachtungszeitreihe 7. Abfluss II Extremwertstatistik

35 Aufstellen der Stichprobe: Die Stichprobenwerte müssen statistisch unabhängig voneinander sein. Deshalb beschränkt man sich bei der Hochwasserstatistik auf eine bestimmte Auswahl von Ereignissen (Hoch- oder Niedrigwassern). Man wählt beispielsweise eine Stichprobe mit den Jahreshöchstwerten (jährliche Serie, Annuelle Maxima AM) oder eine partielle Serie von Hochwassern, welche einen bestimmten Schwellenwert überschreiten (Peak over Threshold POT). Für die gewählte Stichprobe kann die empirische Häufigkeitsverteilung bestimmt werden. 7. Abfluss II Extremwertstatistik

36 Anpassung der Wahrscheinlichkeitsverteilung: Will man nun Aussagen über die Wahrscheinlichkeit des Unterschreitens und des Überschreitens bestimmter Hochwasserabflüsse treffen, muss man von der diskreten empirischen Verteilung zu einer theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilung übergehen, d. h. man versucht, von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen. Prinzipiell gibt es viele verschiedene Verteilungsfunktionen, welche die Voraussetzungen für die Anwendung in der Hochwasserstatistik erfüllen. Es gibt aber keine theoretische Verteilungsfunktion, welche für alle Stichproben die besten Resultate gewährleistet. 7. Abfluss II Extremwertstatistik 30

37 7. Abfluss II Extremwertstatistik Generelle Extremwertverteilung Wenn man zufällig Verteilung erzeugt, welche nicht notwendigerweise Normalverteilt sind, dann sind die Mittelwerte der Verteilungen annähernd Normalverteilt (Grenzwertsatz der Statistik). Wenn man die Extremwerte dieser Verteilungen aufträgt, dann nähern sich diese einer von drei Typen von Verteilungen, welche in einer Formel dargestellt werden können, wobei die Variablenwerte der Formel bestimmen, welcher der drei Grundtypen die Verteilung eher ähnelt (-> Generelle Extremwertverteilung oder Generalized Extreme Value (GEV) distributions). Es können z.B. annuelle Maxima (AM) oder Werte über einem Grenzwert (peaks over a threshold POT) untersucht werden.

38 7. Abfluss II Extremwertstatistik General Pareto Distribution: Entwickelt für das Wiederkehrinterval T: Generelle Extremwertverteilung Für den POT Ansatz müssen Grenzwerte (u) festgelegt werden, z.B. das 95er oder 99er Perzentil, und Ereignisse (q) über dem Grenzwert werden einer spezellen GEV angepasst, der sogenannten Generalized Pareto Distribution (GPD) (Coles 2001): Coles S (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer, Heidelberg.

39 30 7. Abfluss II Extremwertstatistik

40 Anpassungstests (Test der Güte der Anpassung der Verteilung) z.B. Kolmogorov-Smirnov-Test: Es wird der Betrag der max. Abweichung zwischen der empirischen Wahrscheinlichkeit und dem zugehörigen Funktionswert der angepassten VF aus der Stichprobe bestimmt. Die Nullhypothese (angepasste VF repräsentiert die Stichprobe) wird abgelehnt, wenn die Abweichung D einen kritischen Betrag überschreitet. D ist von der gewählten Irrtumswahrscheinlichkeit α und dem Stichprobenumfang n abhängig. D= max | emp. P Ü (x) – F(x) | Aussagekraft des K-S-Tests im Bereich kleiner P Ü gering! Deshalb: weitere Testverfahren visueller Vergleich unterschiedlicher angepasster VF 7. Abfluss II Extremwertstatistik

41 Beispiel: Abflussstatistik des Rheines bei Rees

42

43 43 7. Abfluss II 7.1 Definition und Grundlagen Definition Abflussbildung Abflusskonzentration Abflussregime 7.2 Abflussmessung 7.3 Abflusskurve und Abflussganglinie 7.4 Abflussstatistik Allgemeine Abflussstatistik Extremwertstatisitk 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel

44 Number Geophysical event Meteorological event Hydrological event Climatological event Significant events Natural catastrophe © 2014 Munich Re, Geo Risks Research, NatCatSERVICE 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Anzahl von Naturkatastrophen weltweit

45 Clausius-Clapeyron: saturated moisture content in the atmosphere is a non-linear function of temperature Temperature [°C] Saturated moisture content [g/m³]  [g/m³]  (18°C) -  (15°C) = 2.5 g/m³ (= 19,4 %) 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Zusammenhang Temperatur - Luftfeuchte

46 P. Hoffmann, PIK 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in abs. und rel. Luftfeuchte in Europa

47 Relative Humidity Absolute Humidity Data: DWD, Modelling: PIK Hattermann et al. 2012a&b 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in abs. und rel. Luftfeuchte in Deutschland

48 Very humid west wind pattern (origin: Atlandic) Very humid Vb-weather pattern (origin: Mediterranean) Data: DWD, Modelling: PIK Hattermann et al. 2012a&b 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in Großwetterlagen in Deutschland

49 Daily precipitation > 20 mmDaily precipitation > 30 mm Data: DWD, Modelling: PIK Hattermann et al. 2012a&b 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in Starkniederschlägen

50 Observed Simulated positive negative positive negative ObeservedSimulated Hattermann et al. 2012a&b 7.5 Abfluss/ Hochwasser und Klimawandel Trends in sim. und beob. Hochwassern in Deutsland

51 Vielen Dank!


Herunterladen ppt "1 Vorlesung Hydrologie I Dr. Fred Hattermann Do 8.15-9.45 Haus 12 SS 2014."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen