6. Keplergesetze und Gravitation

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1 6. Keplergesetze und Gravitation
6.1 Geo- und heliozentrisches Weltbild Lies im Buch Basiswissen 1+2 Seite 98 und 99! Tabelle mit der Gegenüberstellung der beiden WB. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

2 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
A2 Welche Mondphasen kennst du? Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

3 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
A3 Zu welchen Tageszeiten kann der Mond beobachtet werden? Zu welchen Tageszeiten ist der zunehmende Mond und zu welchen Tageszeiten ist der abnehmende Mond zu beobachten? Bei Neumond geht der Mond in etwa zusammen mit der Sonne am Morgen auf und am Abend unter. Im ersten Viertel geht der Mond gegen Mittag auf und gegen Mitternacht unter. bei Vollmond geht er in der Abenddämmerung auf und in der Morgendämmerung unter und ist die ganze Nacht sichtbar. im letzten Viertel geht er gegen Mitternacht auf und gegen Mittag unter. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

4 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Aristoteles 384 – 322 v. Chr. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

5 Geozentrisches Weltbild
Claudius Ptolemäus (ca. 87 – 165 n. Chr.) – „Almagest“ Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

6 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Nikolaus Kopernikus Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543) 1543 “De revolutionibus orbium coelestium” (“Über die Bewegungen im Himmelsraum”) Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

7 Heliozentrisches Weltbild
Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543) Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

8 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Beachte: Die angeführten WB sind geometrische Modelle ohne Anspruch auf physikalische Erklärung. Woran erkennt man, dass ein Himmelskörper zum Sonnensystem gehört? A: Schleifenbahnen. Erklärung im ptolemäischen WB: mit Epizykeln im Kopernikanischen: Kreisbahnen; Die Erde bewegt sich schneller als Mars um die Sonne. Bewegt sich die Erde an Mars vorbei, scheint dieser rückwärts zu laufen. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

9 Planetenrückläufigkeit
Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

10 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Mars retrograd Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

11 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Hinweise auf das Kopernikanische WB: nach Galilei: Jupitermonde, also Erde nicht einziger Körper, um den sich andere drehen. Venusphasen Problem bei Kopernikus: Die Vorausberechnungen waren ungenau, er musste auch Epizykel dazunehmen. Grund: Verharren auf Kreisbahnen. Lösung: Kepler. ( ) ( Seit 1612 in Linz) Er wurde 1600 zu Tycho de Brahe, einem damals berühmten Astronomen nach Prag gerufen, um das Datenmaterial seiner Beobachtungen vom Mars auszuwerten. Er ermittelte eine Ellipsenbahn. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

12 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Galileo Galilei Galileo Galilei (1564 – 1642) Aristoteles, Ptolemäus und Kopernikus Der Dialogo wurde 1632 gedruckt. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

13 Johannes Kepler (1571 – 1630) 1596: Mysterium Cosmographicum
1609: 1. und 2. Keplersches Gesetz 1619: 3. Keplersches Gesetz 1627: Rudolphinische Tabellen Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

14 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. (1605) In gleichen Zeiten werden gleiche Flächen überstrichen. (1605) Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen. (1615) Diese Gesetze beschreiben zwar den Planetenverlauf gut, lieferten aber keine physikalische Erklärung. Warum sind die Bahnen gekrümmt? Die physikalische Erklärung lieferte Newton. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

15 6.2 Das Newtonsche Gravitationsgesetz.
Die Schwerkraft ist nicht nur auf der Erde wirksam, sondern auch zwischen den Himmelskörpern. Zwischen zwei beliebigen Massen herrscht eine Anziehungskraft. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

16 Newtonsches Gravitationsgesetz
G=6,67·10–11Nm2kg–2 ... Gravitationskonstante M, m … Massen r … Abstand der beiden Massen Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

17 Bestimmung der Gravitationskonstante
Drehwaage von Cavendish Cavendish ( )  Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

18 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Messung der Gravitationskonstante - Drehwaage von Cavendish  Die Gravitationskonstante ist sehr klein, daher sehr schwierig im Labor zu messen. Die Massen sind in den jeweiligen Massenmittelpunkten zu denken. Daher kann man die Entfernungen von diesen nehmen. In der ersten Position heben sich die beiden Drehmomente auf. In der zweiten Position wird die Masse auf der Waage von der größeren Masse angezogen, weil die Entfernung kleiner geworden ist. Der Torsionsfaden bewirkt ein Rückstellmoment. Es stellt sich ein Gleichgewichtszustand ein. Θ·φ = 2·F·r Setzt man für F die Gravitationskraft ein, lässt sich daraus die Gravitationskonstante bestimmen. Sie ist vom Material unabhängig und an jedem Ort gleich. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

19 6.3 Anwendungen des Gravitationsgesetzes
6.3.1 Bestimmung der Erdmasse: Aus Fallmessungen wissen wir: FG = m·g andrerseits gilt: Wir setzen gleich: bei r = 6,37·106m M = 5,98·1024kg Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

20 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Bestimme die Dichte der Erde! Setzt man in die Formel für die Dichte, erhalten wir für sie obigen Wert; auf der Erdoberfläche beträgt sie ca kgm-3. → Der Kern ist viel dichter. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

21 6.3.2 Bestimmung der Sonnenmasse:
Überlegung: Zentripetalkraft = Gravitationskraft │: m = 1, kg Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

22 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
6.3.3 Wie sind die Keplergesetze mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz vereinbar? Zu 1. KG: Nach Newton: Die Bahnen, die ein Körper unter dem Einfluss der Gravitation ausführt, sind Kegelschnitte. Modelle zeigen. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

23 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

24 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Wann beschreibt der Körper eine Kreisbahn? Zentripetalkraft = Gravitationskraft Kreisbahn-geschwindigkeit │: m . r = 7,9 km/s 1. kosmische Geschwindigkeit Ist die Geschwindigkeit kleiner als die Kreisbahngeschw., ergibt sich eine Ellipse., die zum Teil innerhalb der Erde verläuft (Annäherung "Wurfparabel" (Voraussetzung g = konst.)) Ist die Geschwindigkeit größer als die Kreisbahngeschwindigkeit, erhalten wir Ellipsen. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

25 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Aber: Ist sie zu groß, verlässt der Körper den Anziehungsbereich der Erde. Fluchtgeschwindigkeit: Der Körper muss eine so große kinetische Energie haben, dass die Gesamtenergie (Kin + Pot ) größer als 0 ist. (Herleitung der pot. Energie später.) = 11,2 km/s 2. kosmische Geschwindigkeit oder Fluchtgeschwindigkeit. Bei dieser Geschwindigkeit beschreibt der Körper eine Parabel. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

26 Simulation der Keplerbahnen
y (x,y) Ort des Satelliten Abstand der beiden Körper x Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

27 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Eingabe x0, y0, v,α, dt G ME vx← v∙cos(α) vy← v∙sin(α) x ← x0 y ← y0 Wiederhole bis Abbruch Wir rechnen der Einfachheit halber r^3 aus und setzen es r !! Ausgabe x, y Bestandsvariable Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

28 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Satellitenbahnen Der rote Kreis stellt die Erde dar. Start unmittelbar auf der Erdoberfläche bei x = 6,37·106m, y = 0, tangential zur Erdoberfläche. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

29 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Satellitenbahnen Geschwindigkeit Name Bahnform v < 7,9km/s Ellipse (Wurfparabel) v = 7,9km/s Kreisbahngeschw. (1. kosm.) Kreis 7,9 km/s < v < 11,2 km/s Ellipse v = 11,2 km/s Fluchtgeschw. (2. kosm.) Parabel v > 11,2 km/s Hyperbel Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

30 Ergänzung: Berechne den Ort eines geostationären Satelliten
= 42125,13 km 42125, = 35755,13km über der Erdoberfläche muss sich ein geost. Sat. befinden. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

31 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Zum 2. Kepler-Gesetz: Der physikalische Hintergrund ist hier der Drehimpulserhaltungssatz. b j L = Jω = konst mr2 ω = konst r2 ω = const r2Δφ/Δt = const r2 Δφ = const · Δ t r.r Δφ. = const ·Δt r ·Δb = const · Δt 2·ΔA = const . Δ t ΔA = k·Δt In gleichen Zeiten finden gleiche Flächenänderungen statt. Vgl. den Versuch mit dem Drehschemel und den Hanteln. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

32 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Zum 3. KG Wir betrachten noch einmal die Berechnung der Sonnenmasse:  Der Quotient bleibt für alle Planeten gleich. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

33 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
6.4 Das Gravitationsfeld Der Feldbegriff Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

34 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Feldbegriff: Theaterplätze, Temperaturwerte in Wetterkarten, Helligkeitsfeld einer Lampe Ein Feld ist ein Raum, in dem jedem Punkt ein bestimmter Wert einer physikalischen Größe zugeordnet wird. Es gibt Vektor- und Skalarfelder. Wirkt in jedem Punkt eine Kraft, sprechen wir von einem Kraftfeld. z. B. Magnetfeld eines Stabmagneten. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

35 Das Gravitationsfeld der Erde:
Wie beim Magneten können wir das Gravitationsfeld durch Feldlinien darstellen. Gravitationsfeldstärke = Fallbeschleunigung Jedem Punkt des Gravitationsfeldes ist eine bestimmte Gravitations-beschleunigung zugeordnet. Die Feldliniendichte nimmt nach außen hin ab. ( Feldstärke kann als Maß für die Feldliniendichte angesehen werden. (Modell)) Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

36 Arbeit zum Verschieben eines Körpers im Gravitationsfeld:
Sie hängt also nur vom Anfangs- und Endpunkt ab. Dabei ändert sich die kinetische Energie des Körpers: Wir formen um: Das heißt diese Terme bleiben immer konstant. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation

37 Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation
Gesamtenergie Der zweite Term entspricht der potentiellen Energie Potentielle Energie eines Körpers im Abstand r von der Masse M. Im Unendlichen ist sie demnach 0. (Festlegung) Das negative Vorzeichen erklären wir uns als gebundenen Zustand. Je näher der Körper der Erde ist, desto kleiner ist seine potentielle Energie, ganz in Übereinstimmung mit früheren Überlegungen. Ebenso nimmt die kinetische Energie beim Nähern zu. Anwendungsbeispiel: Berechnen der Fluchtgeschwindigkeit (vgl. Seite 4) bei Nachweis des 1. Keplergesetzes. Kapitel 6 Keplergesetze und Gravitation