Wellen in Plasma Einziger Wellentyp in MHD-Theorie: Alfvén-Wellen

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1 Wellen in Plasma Einziger Wellentyp in MHD-Theorie: Alfvén-Wellen
Dispersionsrelation: aus linearisierter MHD-Kraftgleichung: Auslenkung Schallwellen (und Lichtwellen) auch in neutralen Gasen In Einfluessigkeitsbeschreibung (MHD) auch Alfven-wellen, dort aber Elektronendynamik vernachlaessigt, so dass schnellste erlaubte Geschwindiggkeit Ionengeschwindigkeit war Erste Einblicke in Plasmawellen 1902: Kennelly und Heaviside verbinden die beim atlantischen Funkverkehr beobachtete Reflexion der Elektromagnetischen Wellen mit der Existenz eine elektrisch leitenden Ionosphaere 1924 –28 beobachtete Penning die Streuung von Elektronenstrahlen an Plasmaschwingungen Langmuis unf Tonks: Theorie der elektrostatischen Wellen (keine MF-Aenderung) 1942 Alfven MHD-Wellen 1946 Landau: Daempfung von longitudinalen Wellen Hier homogenes Plasma: Flaechen konstanter Phase durch om t – k r = const. beschrieben Alle Gleichgewichtsgrößen als homogen angenommen

2 Kompressionale Alfvén-Wellen
homogene Kompression des GG-Feldes Adiabatengleichung: Faradaysches Gesetz: Schallwellen (und Lichtwellen) auch in neutralen Gasen In Einfluessigkeitsbeschreibung (MHD) auch Alfven-wellen, dort aber Elektronendynamik vernachlaessigt, so dass schnellste erlaubte Geschwindiggkeit Ionengeschwindigkeit war Erste Einblicke in Plasmawellen 1902: Kennelly und Heaviside verbinden die beim atlantischen Funkverkehr beobachtete Reflexion der Elektromagnetischen Wellen mit der Existenz eine elektrisch leitenden Ionosphaere 1924 –28 beobachtete Penning die Streuung von Elektronenstrahlen an Plasmaschwingungen Langmuis unf Tonks: Theorie der elektrostatischen Wellen (keine MF-Aenderung) 1942 Alfven MHD-Wellen 1946 Landau: Daempfung von longitudinalen Wellen Hier homogenes Plasma: Flaechen konstanter Phase durch om t – k r = const. beschrieben Wellengleichung:

3 Kompressionale Alfvén-Wellen
Charakteristische Geschwindigkeit: Kompressions-Energie Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und

4 Scher- Alfvén-Wellen keine Kompression des GG-Feldes
Adiabatengleichung: Faradaysches Gesetz: Schallwellen (und Lichtwellen) auch in neutralen Gasen In Einfluessigkeitsbeschreibung (MHD) auch Alfven-wellen, dort aber Elektronendynamik vernachlaessigt, so dass schnellste erlaubte Geschwindiggkeit Ionengeschwindigkeit war Erste Einblicke in Plasmawellen 1902: Kennelly und Heaviside verbinden die beim atlantischen Funkverkehr beobachtete Reflexion der Elektromagnetischen Wellen mit der Existenz eine elektrisch leitenden Ionosphaere 1924 –28 beobachtete Penning die Streuung von Elektronenstrahlen an Plasmaschwingungen Langmuis unf Tonks: Theorie der elektrostatischen Wellen (keine MF-Aenderung) 1942 Alfven MHD-Wellen 1946 Landau: Daempfung von longitudinalen Wellen Hier homogenes Plasma: Flaechen konstanter Phase durch om t – k r = const. beschrieben Wellengleichung:

5 Scher- Alfvèn-Wellen Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit
Magnetfeld-Energie Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und

6 Wellen in Plasma Bisher Schallwellen und Alfvén-Wellen (MHD)
viele weitere Wellentypen, wenn volle Plasmadynamik berücksichtigt Plasmawellen wichtig für Plasmaheizung und -diagnostik Ebene Welle (homogenes Pasma): x z t=t0 t=t1 Phasengeschwindigkeit: Schallwellen (und Lichtwellen) auch in neutralen Gasen In Einfluessigkeitsbeschreibung (MHD) auch Alfven-wellen, dort aber Elektronendynamik vernachlaessigt, so dass schnellste erlaubte Geschwindiggkeit Ionengeschwindigkeit war Erste Einblicke in Plasmawellen 1902: Kennelly und Heaviside verbinden die beim atlantischen Funkverkehr beobachtete Reflexion der Elektromagnetischen Wellen mit der Existenz eine elektrisch leitenden Ionosphaere 1924 –28 beobachtete Penning die Streuung von Elektronenstrahlen an Plasmaschwingungen Langmuis unf Tonks: Theorie der elektrostatischen Wellen (keine MF-Aenderung) 1942 Alfven MHD-Wellen 1946 Landau: Daempfung von longitudinalen Wellen Hier homogenes Plasma: Flaechen konstanter Phase durch om t – k r = const. beschrieben k: Wellenzahl k: Wellenvektor w: Kreisfrequenz

7 N ® N ® ¥ ® ¥ N ; v ¥ ® k ; l Brechungsindex: Spezialfälle: cut-off:
Resonanz: N N z 1 Vakuum Medium B N z 1 Vakuum Medium A Resonanz fuehrt zu lokaler Absorption (Heizung) oder Umwandlung einer elektromagnetischen Transversalwelle in eine elektrostatische longitudinale Welle Cut-off: Welle wird immer schneller (Phasengeschw groesser als Lichtgeschw.!) und wird dann am Pol (N=)) reflektiert Genaues Verhalten des Brechungsindex N(omega) und k(omega) =Dispersionseigenschaften aus Wellengleichungen N ph ; v ; v N ph ; k l k ; l

8 Wellengleichungen liefern Dispersionseigenschaften N(w) und k(w)
Maxwell-Gleichungen: Hier nun im Gegensatz zu MHD-Wellen Verschiebungsstrom mit beruecksichtig, weil auch sehr schnelle Phaenomene (Elektronenbewegung) betrachtet man erhaelt (weil leitfaehiges Medium) nun einen Volumenstrom j (im Plasma), dieser beschreibt die Wirkung des Plasmas auf die Wellen (im Gegensatz zur Wellenausbreitung im Vakuum) ausserdem erhaelt man einen Term, der Aenderung der Raumladung in Wellenrichtung angibt (grad rho folgt aus div E), d.h. man hat ein elektr. Wechselfeld parallel zu k, das ist eine longitudinal polarisierte Welle (dieser Term tritt fuer die im folgenden vor allem zu betrachteten Transversalwellen (E senkrecht zu k) nicht auf Spezialfall: Longitudinal- welle (E||k) “Plasmawirkung“

9 Transversalwellen im homogenen Plasma
Bei Transversalwelle stehen E und v senkrecht auf k Das sind Lichtwellen -> und damit so schnell, dass man nur Elektronenbewegung betrachten muss Nun braucht man noch einen Zusammenhang zwischen E und j, um eine reine Gleichung in E zu erhalten × - D Ñ´ 2 / k t ik w i

10 Transversalwellen ohne Magnetfeld
Beziehung zwischen j und E aus Ohmschem Gesetz: vernachlässige Stöße hier ohne Magnetfeld nur ungleich Null für k||E × - / i t w Bewegungsgleichung hat nur einen Term von grad p, wenn v parallel zu k ist (siehe Kaufmann S. 172) - Rein imaginaere Leitfaehigkeit

11 Transversalwellen ohne Magnetfeld
Wellengleichung: komplexer Brechungsindex: Leitfaehigkeit kann dann in Wellengleichung eingesetzt werden Man erhalt Brechungsindex fuer magnetfeldfreies Plasma: ist reell und < 1 Faellt mit steigender Dichte, wird Null bei kritischer Dichte fuer noch hoeherer Dichte wird N rein imaginaer (N^2 < 0) Dispersionsrelation eines magnetfeldfreien Plasmas

12 Transversalwellen ohne Magnetfeld
Wellenausbreitung im Plasma nur für N2 < 0 N=1 ne=ne, crit d z E alle Elektronen in Phase! In Zone mit Dichte > kritische Dichte, ist Realteil des Brechungsindex (ohne Stoesse) =0, d.h. Phasengeschw. der Welle wird unendlich (alle Eelektronen in Phase) Aus Wellengleichung folgt dann exponentieller Abfall des E-Feldes Abfall des E-Feldes ist keine Daempfung, sondern Welle wird reflektiert, falls Strecke mit zu hoher Dichte nur kurz, kann Welle auch “durchtunneln” (siehe Abbildung) Für überkritische Dichte fällt E-Feld exponentiell ab:

13 Wellenausbreitung ohne Magnetfeld
Wellen mit Frequenz kleiner als Plasmafrequenz werden am Plasma reflektiert (bzw. vom Plasma abgeschirmt) Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit nur von der Dichte kann zur Dichtemessung verwendet werden (Interferometrie) - Fuer omega < omega_pl, koennen die Ionen die von aussen eindringenden E-Felder effektiv abschirmen, die Felder koennen nicht ins Plasma eindringen Angegebene Gleichung fuer omega folgt aus Wellengleichung, nur solche Frequenzen koennen sich im Plasma ausbreiten - Falls omega < Plasmafrequenz wird Phasengeschwindigkeit groesser als Lichtgeschwindigkeit: V_ph = om/k = c/N = c / sqrt(1 – om_pl^2/om^2) aber Infos werden mit Gruppengeschw. uebertragen v_gr = d om/dk : c sqrt( 1 – om_pl^2/om^2) < c -aus Gl auf Folie folgt: om = sqrt(c^2 k^2 + om_pl^2) dom/dk=c^2 k/sqrt(c^2 k^2 + om_pl^2)= c/sqrt(1 + om+pl^2/(c^2 k^2) Aus oben (v_ph): c^2 k^2 = om ^2/(1 – om_pl^2/om^2), einsetzen und umformen ergibt dom/dk= c sqrt /(1 – om_pl^2/om^2) < c Bei ausreichend hoher Stoßfrequenz (Niedertemperaturplasmen) wird auch Stoßdämpfung wichtig

14 Longitudinalwellen ohne Magnetfeld
Transversalwellen Longitudinalwellen  Raumladungen Da k parallel zu v, aber I.allg. V_e ungleich v_I treten Raumladungen auf, daher heissen die elektrostatische Wellen Zusaetzlich zum Ohmschen Gesetz muss man die Bewegungsgleichungen nutzen, um v_i und v_e erhalten, es spielt grad p eine Rolle, weshalb auch die Schallgeschwindigkeiten vorkommen Bewegungen von Elektronen und Ionen betrachten

15 Longitudinalwellen ohne Magnetfeld
Wellengleichung: Longitudinalwellen: Geschwindigkeiten aus Kraftgleichung und Adiabatengleichung: Da k parallel zu v, aber I.allg. V_e ungleich v_I treten Raumladungen auf, daher heissen die elektrostatische Wellen Zusaetzlich zum Ohmschen Gesetz muss man die Bewegungsgleichungen nutzen, um v_i und v_e erhalten, es spielt grad p eine Rolle, weshalb auch die Schallgeschwindigkeiten vorkommen Dispersionsrelation:

16 Longitudinalwellen ohne Magnetfeld
Fuer sehr hohe Frequenzen: om^2 >> om_pi und om^2 >> k^2 c_I^2 (also hoeher als Ionenplasmafrequenz und k mal Schallgeschw.) findet man Elektronenast: setze k^2 c_I^2 = om_pi^2 = 0 und auch rechte Seite findet man Disperionsrelation fuer Elektronenast dort schwingen Elektronen gegen ruhenden Ionen-Hintergrund aehnliche Dispersionsrelation wie bei Transversalwellen (aber Lichtgeschwindigkeit ersetzt durch (thermische) Elektronen- Schallgeschwindigkeit fuer kleine Wellenlaengen k^2 c_e^2 >> om_pe^2 ist Phasengeschw. gerade therm Elektronengeschw. Fuer grosse Wellenlaengen wird Phasengeschwindigkeit: om/k= sqrt(om_pe^2/k^2 + c_e^2) unendlich gross, d.h. es gibt cut-off Fuer kleine Frequenzen: kleiner als om_pe und k v_Th,e kann man om^2 in der linken Klammer weglassen und findet Dispersionsrelation (rote) Fuer sehr kleine lambda (grosse k) ist Dispersionsrelation om^2 = om_pi^2 + k^2 c_i^2 analog zu der der Elektronen Fuer grosse Wellenlaengen (kleine k) hat man einfach Schallwellen Uebergang zwischen grossen und kleinen lambda ist Debye-Laenge: fuer Wellenlaenge kleiner als Debye-Laenge (grosse k), sind Elektronen und Ionen entkoppelt, und Frequenz durch deren thermische Geschwindigkeit bestimmt

17 Druck spielt keine Rolle
Wellenausbreitung mit Magnetfeld Neue ausgezeichnete Richtung: B, kein Einfluss des Magnetfeldes für Ausbreitung senkrecht zum Magnetfeld: Transversal- und Longitudinalwellen gekoppelt Transversalwelle, Ausbreitung parallel zum Magnetfeld q=p/2 Links: Transversalwelle parallel zum MF ( k||B) Temperatur spielt keine Rolle, da E und v senkrecht zu k (Auslenkung ist parallel zu E), Bewegungsgleichung hat nur einen Term aus grad p, wenn v parallel zu k ist (siehe Kaufmann S. 172) Rechts: wenn k senkrecht zu B ist: - dann ist Schwingung parallel zu k (in x-Richtung) senkrecht zu B und man erhaelt Wegen der Lorentzkraft auch eine Bewegung in y-Richtung (die senkrecht zu k waere), also sind Longitudinal- und Transversalwellen fuer k senkrecht zu B gekoppelt Dispersionsrelation ist so kompliziert, dass wir uns hier auf kalte Plasmen beschraenken, also die Schallgewschwindigkeiten c_e und c_i Null setzen Näherung: kaltes Plasma Druck spielt keine Rolle

18 Wellenausbreitung mit Magnetfeld
Ohmsches Gesetz: vernachlässige Stöße kaltes Plasma Wegen Hall-Term: Leitfähigkeits-Tensor: Wir hatten schon im Kapitel MHD keineeinfahce Spitzer-Leitfaehigkeit mehr, sondern auch Seknrecht-Komponenten Wellengleichung:

19 Wellenausbreitung mit Magnetfeld
Wellengleichung: Rechte Seite in Wellengleichugn kommt aus Verschiebungs-Strom, man kann auch eine neue Dielektrizitaeskonstante einfuehren, die auch ein Tensor ist und mit dem Leitfaehigkeits-Tensor verknuepft ist

20 Wellenausbreitung mit Magnetfeld
Stix, Kapitel 1 Man kann zeigen (Stix) dass e so geschrieben werden kann Weil om_pi << om_pe kann man die gestrichenen Terme vernachlaessigen In der Gleichung fuer L geht das nicht, weil dort ein Resonanz-Nenner steht

21 Wellenausbreitung mit Magnetfeld
Man findet aus mit Die Gleichung ist eine Matrix-Gleichung, es gibt nur nichttriviale Loesungen , wenn Determinante gleich Null ist Die Loesung von det .=0 liefert Dispersionrelation Der Term n x n x E enthaelt noch die Richtung von n (oder k) , man legt B in z-Richtung, dann bestimmt theta die Richtung zwischen n und E Man erhaelt Gleichung 4. Ordnung in N, fuer N^2 gibt es 2 Loesungen

22 Wellenausbreitung mit Magnetfeld
N1 : “langsame Welle“ ("slow wave") N2 (<N1) : “schnelle Welle“ ("fast wave")

23 Transversalwellen parallel zum Magnetfeld
=0 Man setzt theta=0 und erhaelt als langsame Welle n^2=L und als schnelle Welle n^2 = R L bedeutet hier auch: linkszirkular polarisiert, d.h. der Vektor E in der Ebene senkrecht zu B (mit konstatem Betrag, ist ja nur eine Welle und waechst nicht an) in Richtung des MF gesehen links herum rotiert siehe Bild, dort ist “Rotationsrichtung” von E fuer R (blau) und L(rot) angegeben R-Resonanz fuer R-> unendlich, d.h. om=om_ce: Elektron-Zyklotron-Resonanz: resonante Wechselwirkung der rechts drehenden R-Welle mit den (in Feldrichtung) rechts herum gyrierenden Elektronen Resonanz: mit Gyrationsbewegung R: L:

24 Transversalwellen parallel zum Magnetfeld
Mit MF Ausbreitung mit erlaubt Resonanz: mit Gyrationsbewegung Hier kuenstlich m_i/m_e verringert, damit es auf ein Bild passt Im Gegensatz zu MF-freien Plasmen koennen sich nun auch Wellen mit omega < om_pl ausbreiten Aber es existiert ein verbotenenes Gebiet zwischen Resonanz und cut-off R: L:

25 Transversalwellen parallel zum Magnetfeld
cut-off: R: L: für wce/w (=Magnetfeld) 1 2 R- cut off L-cut-off wpe /w (=Dichte) Im Gegensatz zu MF-freien Plasmen koennen sich nun auch Wellen mit omega < om_pl ausbreiten Aber es existiert ein verbotenenes Gebiet zwischen Resonanz und cut-off Bsp: R-Welle: cut-off Bedingung N=0 ist (om_pe/om)^2 = 1 – om_ce/om Das ist gleichbedeutend mit const1 n/om^2 = 1 – const2 B/om, fuer B=0 erhielte man n ~ om^2, das ist die alte Bedingung ohne MF, d.h. Frequenz muss hoeher als Plasmafrequenz sein, fuer endliches MF wird dioese Foderung abgeschwaecht, Aber um ueber der Resonanzfrequenz zu bleiben, braucht man bei gegebener Frequenz und Dichte ein minimales MF Das entsprechende Bild rechts gilt nur fur die hohen Freqqenzen, also fuer L-cutoff ist angenommen om >> om_ci Bei Transversalwellen parallel zum MF mit sehr hoher Frequenz (viel hoeher als om_ce) spielt MF dann keine Rolle mehr R: L:

26 Wellen senkrecht zum Magnetfeld
=p/2 Wir hatte vorher schon diskutiert, dass eine Unterscheidung in Longitudinal- und Transversalwellen hier nicht mehr sinnvoll ist, weil bei Bewegung senkrecht zu B die Lorentz-Kraft die Bewegung senkrecht und parallel zu E koppelt Ordentliche Welle: Loesung ist dann die gleiche wie ohne MF, hatten wir ganz am Anfang schon gefunden, denn MF zeichnet dann keine neue Richtung aus Brechungsindex ist immer kleiner als 1, da N= k c/omega, ist damit die Phasengeschwindigkeit immer groesser als c cut-off fuer om = om_pl (wie ohne MF keine Ausbreitung fuer Frequenzen unterhalb der Plasmafrequenz) “ordentliche Welle” (O-Mode) E || B Magnetfeld spielt keine Rolle “außerordentliche Welle” (X-Mode) E  B

27 “außerordentliche Welle” (X-Mode) E  B
Dispersionsrelation fuer die X-Mode Man hat 2 Resonanzen : untere und obere Hybridfrequenz Und 2 cutoffs Fuer grosse Frequenzen ist Dispersionsbeziehung wieder die der Vakuumlichtwelle

28 Untere Hybridfrequenz
falls Polarisations- drift Untere Hybridfrequenz: (wichtig fuer Plasmaheizung: “Lower Hybrid”) - Wenn Plasmafrequenz viel groesser ist als Elektronen-Zyklotronfrequenz, dann ist sie einfach eine Kombination aus den beiden Gyrationsfrequenzen von Elektronen und Ionen Die Bewegung ist durch das E-Feld verkoppelt Bei periodischem E-Feld ergibt sich aus Ueberlagerung von Polarisationsdrift und ExB-Dift eine Ellipsenbahn Ionen sind unmagnetisiert auf dieser Zeitskala (Frequenz zu hoch), in x –Richtung folgen sie einfach dem E-Feld Fuer Elektronen gibt es in x-Richtung die Polarisationsdrift Man kann aus der Bewegungsgleichung fuer Elektronen und Ionen die Hybridfrequenz ableiten: - Bewegungslgleichung fuer Ionen: m_I dv_I/dt = e E_x -> x_I = x_i0 – e/(m_I om^2) E_x0 sin (om t) - Polarisationsdrift fuer Elektronen: v_pol,e = - m_e/ ( e B^2) d E_x/dt E -> x_e = x_e,0 – m_e/ ( e B^2) E_x0 sin (om t) Harmonischer Oszillator: x = x_0 + a sin (om t), a: Amplitude, die soll in x-Richtung gleich gross sein fuer e iund Ionen, daraus folgt Hybrid-Frequenz E x B-Drift senkrecht zu E und B , (y-, d.h. k-Richtung) ExB-Drift fuer Elektronen und Ionen in die gleiche Richtung. Ionen schaffen nur eine kleine Strecke, weil sie auf der Zeitskala kaum magnetisiert sind Da Gyrationsfrequenz der Elektronen grosser als Hybridfrequenz ist, ist der Elektronenbewegung noch die Gyration ueberlagert E x B - Drift

29 Obere Hybridfrequenz Untere Hybridfrequenz:
Wenn Plasmafrequenz viel groesser ist als Elektrenen-Zyklotronfrequenz

30 Zusammenfassung: Wellenausbreitung mit Magnetfeld

31 Uebersichtsbild, logarithmisch, um realistisches Massenverhaeltnis zu erlauben:
beta = 1 ECR_Resonanz, Transversalwelle, d.h. k || B Beta = m_I/m_e: ICR-Resonanz, Transversalwelle, d.h. k || B Fuer k senkrecht zu B: O-Mode: E || B,. Wie Plasma ohne MF, cut-off bei Plasmafrequenz Elektron-Gyro-cutoff: tritt auf bei R-Mode, d.h. k || B, rechtspolarisiert (Transversalwelle) und bei k senkrecht zu B (X-Mode) – unterhalb der Frequenz keine Welllenausbreitung fuer diese Mode (ersetzt cut-off bei Plasmafrequenz falls B=0) Ionen-Gyro-cutoff bei L-Mode und X-Mode analog Ausserdem beide Hybrid-Resonanzen Zusaetzlich gibt es noch Alfven-Wellen, aber die wurden im Kapitel MHD behandelt und dort kann man auch nicht die Naehrung kaltes Plasma machen, sondern muss endliche Schallgeschwindigkeit mitnehmen