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Bsp.: Rotierende Bezugssysteme O=O‘ Der Beobachter im rotierenden System O‘ beschreibt A: Für den Beobachter im ruhenden System O ändern sich auch die.

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Präsentation zum Thema: "Bsp.: Rotierende Bezugssysteme O=O‘ Der Beobachter im rotierenden System O‘ beschreibt A: Für den Beobachter im ruhenden System O ändern sich auch die."—  Präsentation transkript:

1 Bsp.: Rotierende Bezugssysteme O=O‘ Der Beobachter im rotierenden System O‘ beschreibt A: Für den Beobachter im ruhenden System O ändern sich auch die Einheitsvektoren des Rotienrenden Systems. Gaub31WS 2014/15

2 Die Endpunkte der Einheitsvektoren im rotierenden System beschreiben Kreisbahnen: Geschwindigkeit im rotierenden System Geschwindigkeit im ruhenden System Gaub32WS 2014/15

3 Die Euler‘schen Gleichungen R: Raumfestes System K: Körperfestes Hauptachsen- System (rotiert mit  siehe Kapitel 3 ausgeschrieben für Achse a:  Euler‘sche Gleichungen: Im Allgemeinen sind  und L nicht colinear => Bewegung komplex! 33

4 Der kräftefreie symmetrische Kreisel Kreisel ohne äußeres Drehmoment => L= const. Bsp.: Fahrradkreisel Ist der Körper rotationssymmetrisch bzgl. einer Achse c, so heißt sie Figurenachse. Dann ist. Bei Rotation um die Figurenachse ist Gaub34WS 2014/15

5 Der kräftefreie symmetrische Kreisel zu unterscheidende Achsen: Drehimpulsachse (raumfest) momentane Drehachse (nicht raumfest) Figurenachse (nur raumfest wenn identisch mit Drehimpulsachse)

6 Der kräftefreie symmetrische Kreisel Drehimpulserhalt. =>  Die Gleichungen stellen eine Kugel und einen (um rotierenden) Ellipsoiden dar. Energieerhaltung => Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein! => Die Spitze von L wandert auf der Schnittlinie beider Figuren Da Trägheitsellipsoid körperfest und L raumfest wandert Figurenachse c im raumfesten System => Nutation Sichtbarkeit der momentanen Drehachse => 36

7 Der kräftefreie symmetrische Kreisel Da gilt (Euler): Nutationsfrequenz: Sei I a =I b Ansatz:  Winkel zwischen Figuren- und Drehimpulsachse: Zerlegt man und   Die Figurenachse wandert auf dem Nutationskegel mit Öffnungswinkel 2α, die momentane Drehachse ω auf dem Rastpolkegel mit Öffnungswinkel 2(  ) um die raumfeste Drehimpulsachse L. a b  Winkel zwischen Figuren- und moment. Drehsachse: 37

8 Der kräftefreie symmetrische Kreisel Die Bewegung von Figuren- momentaner Drehachse lässt sich mit dem Gangpolkegel veranschaulichen: Gaub38WS 2014/15

9 Präzession des symmetrischen Kreisels Auf einen symmetrischen Kreisel, der sich um seine Figurenachse dreht ( ω||L||r ) und der außerhalb seines Schwerpunkts unterstützt wird, wirkt das Drehmoment: Präzessionsfrequenz: Daraus resultiert: => nur die Richtung von L ändert sich: Ist die Kreiselachse um den Winkel α gegen die Vertikale geneigt, so ist: =>  p unabhängig von der räumlichen Orientierung der Kreiselachse, nur bestimmt durch L und D

10 Ist ω p nicht mehr klein gegen ω, geht auch die Winkelgeschwindigkeit der Figurenachse mit in die Präzession ein: Präzession des symmetrischen Kreisels Zerlegung von  bezgl. Figurenachse

11 Mit der Annahme, dass der Kreisel nicht „umkippt“ ( θ = const. ) und dass ω = const. gilt: mit: Präzession des symmetrischen Kreisels Gaub41WS 2014/15

12 Präzession des symmetrischen KreiselsEinheitsvektor in Richtung des Drehmoments mit Mathematica: Gaub42WS 2014/15

13 Überlagerung von Präzession und Nutation Rotiert der Kreisel nicht um eine Symmetrieachse, tritt auch noch Nutation auf: Die genaue Form der Bahn hängt von der Nutations- und der Präzessionsfrequenz ab. Gaub43WS 2014/15

14 Überlagerung von Präzession und Nutation Demonstration der Überlagerung: der Kardankreisel Gaub44WS 2014/15

15 Die Erde als Kreisel Präzession der Erdrotationsachse mit 1/w = Jahre (Platonisches Jahr) Drehmoment durch Sonne und Mond Mehr zum Kreisel Erde:


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