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Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 1 CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich Gabbert Dr.-Ing. Ingo Raecke Otto-von-Guericke-Universität.

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1 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 1 CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich Gabbert Dr.-Ing. Ingo Raecke Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Mechanik Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure Ulrich Gabbert Ingo Raecke 1 Statik Startseite Eine PowerPoint Präsentation mit Animationen in Text und Bild zur Vermittlung und Veranschaulichung der Grundkenntnisse in der Technischen Mechanik Ende ?

2 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 2 Alle auf der beiliegenden CD-ROM enthaltenen Programme, Verfahren und Bilder wurden nach bestem Wissen erstellt und mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind Fehler nicht ganz auszuschließen. Aus diesem Grunde ist das vorliegende Programm- Material mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autoren und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung oder Garantie und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag © 2003 Carl Hanser Verlag München Wien 1 Statik Schutzrechte Ende ?

3 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 3 1 Statik Hilfe Beachte: Beim erstmaligen Aufruf einer Seite (über das Inhaltsverzeichnis bzw. bei gesetzten Sprüngen oder der gezielten An- wahl einer Seite mit: PowerPoint Foliennummer und Eingabetaste) erscheint nur der von den Autoren vorgesehene Start- inhalt der Seite. Es kann somit das angewählte Kapitel oder das Ziel eines gesetzten Sprungs erst weiter unten auf der Seite nach einigen Animationen erscheinen. Weitere nützliche Funktionen: Im Inhaltsverzeichnis kann man durch Positionierung des Mauszeigers auf eine Kapitelzeile und einem Klick (linke Taste) direkt zu der Seite mit dem angewählten Kapitel gelangen (gesetzter Sprung). Das aktuelle Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) und die aktuelle Seite (bis auf die Statik nicht identisch mit der Foliennummer) erscheint immer unten rechts. Bestimmte Verweise auf Kapitel, Formeln usw. sind rot umrandet. Mit einem Mausklick (linke Taste) in den rot umrandeten Be- reich wird ein gesetzter Sprung zu dem Ziel ausgeführt. Zurück kommt man innerhalb eines Hauptkapitels schnell mit Beachte: Bei Präsentationen mit dem PowerPoint-Viewer erfolgt ein gesetzter Sprung in ein anderes Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) programmbedingt immer nur auf die Startseite des Hauptkapitels. Über das Inhaltsverzeich- nis bzw. die Foliennummer (in der Form: S, F, D angegeben) gelangt man dann schnell an die gewünschte Stelle. Hinweis: Die Nummerierungen der Kapitel, Gleichungen und Bilder sind mit den Nummerierungen im Buch identisch. Zusätzliche Bilder in dieser Präsentation sind nicht nummeriert. Die Seitenzahlen sind nicht identisch mit denen des Buches. zurück zur letzten angesehenen Seite zum Inhaltver- zeichnisses eine Seite vor Aufruf dieser Hilfe ein Kapitel zurück. eine Seite zurück ein Kapitel vor Präsentation beenden Ende ? Zum vereinfachten Navigieren ist auf jeder Seite eine Symbolleiste mit folgenden Funktionen, die mit dem Mauszeiger durch Anklicken aktiviert werden, angeordnet: Hilfe (siehe auch Datei auf der CD-ROM: Hinweise.doc) Animationsschritt vorwärts:Eingabetaste (  ), Leertaste, linke Maustaste, Nach-Rechts-, Nach-Unten-, Bild-Nach-Unten-Taste und „N“ Animationsschritt zurück:Nach-Links-, Nach-Oben-, Bild-Nach-Oben-Taste und „P“ Seitenwechsel: erfolgen bei der fortlaufenden Animation automatisch Eine Seite anwählen:PowerPoint Foliennummer und Eingabetaste (z. B. im gelben Feld des Inhaltsverzeichnisses angegeben) Präsentation beenden:Esc Die PowerPoint-Präsentation kann mit den Funktionen, die das Programm PowerPoint bzw. PowerPoint-Viewer bietet, vorgenom- men werden (siehe auch die Hilfefunktion zu PowerPoint, die während der Präsentation, z. B. über das Menü der rechten Maus- taste, erreichbar ist). Für Nutzer von PowerPoint-Viewer (hier steht die Hilfe nicht zur Verfügung) sind die wichtigsten Funktionen nachfolgend aufgeführt: Ende ?

4 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 4 Einführung Die CD-ROM enthält den kompletten 1 Buchinhalt in Form einer PowerPoint-Präsentation, die so aufbereitet wurde, dass sich die Lehrinhalte – wie bei einer Vorlesung – Schritt für Schritt auf dem Bildschirm entwickeln, wobei Sie selbst das Tempo bestimmen können. Vor- und Rücksprünge zu Kapiteln, Gleichungen und Bildern, auf die bei der Ableitung eines Zusammenhangs oder beim Lösen von Beispielen Bezug genommen wird sowie ein einfaches Navigieren auf der CD-ROM unter Nutzung des Inhaltsverzeichnisses und der auf jeder Seite vorhandenen Symbolleiste (siehe unten), erleichtern die Arbeit mit der PowerPoint-Präsentation. Zeichnungen, Bilder, zusätzliche Fotos und Animationen in Farbe begleiten die Entwicklung eines Gedanken- ganges, lassen den Lösungsweg einer Aufgabe klarer hervortreten und unterstützen so den nicht immer ein- fachen Lernprozess und das Verstehen der Zusammenhänge. Allerdings können Sie weder das Buch noch die CD-ROM von der Notwendigkeit entbinden, sich den Stoff mit Bleistift und Papier zu erarbeiten und selbständig möglichst viele Beispiele zu rechnen. Die Mechanik erschließt sich nicht einfach nur durch das Lesen eines Buches oder das Abspielen einer CD-ROM, sondern erfordert die Bereitschaft und die Mühe, das Gehörte und Gelesene zu verstehen und das Verständnis an Hand von Beispielen zu überprüfen. Wir hoffen aber, dass das vorliegende Buch und die beigefügte CD-ROM das Lernen, das Verstehen und das Anwenden der vermittelten Lehrinhalte erleichtern und wirkungsvoll unterstützen. 1 Die Textpassagen sind auf der CD-ROM gegenüber dem Buch etwas umgestellt und um die Teile gekürzt, die nicht unmittelbar zur Herleitung eines Gedankenganges benötigt werden. Das war unserer Meinung nach deshalb notwendig, um zusammen- hängende Ableitungen möglichst auf eine PowerPoint Seite bringen zu können und um unnötige Rücksprünge zu vermeiden. 1 Statik Einführung Ende ?

5 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 5 identisch mit Seite PowerPoint Folien-Nr. Inhaltsverzeichnis (Datei: TM-Wi-stat.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit S ) 1STATIK12 S Grundlagen15 S Starrer Körper15 S Kraft16 S Wechselwirkungsprinzip Schnittprinzip Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte Gleichgewicht Äquivalenz von Kräften23 1.2Zentrales ebenes Kraftsystem Resultierende Gleichgewicht von Kräften Lagerungsbedingungen32 1.3Allgemeines ebenes Kraftsystem Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte Moment Versetzungsmoment Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (Lösungskonzept) Gleichgewicht von Kräften und Momenten Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer starren Scheibe46 S 46 Ende ? Seite 1 Statik Inhalt Seite: 5

6 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 6 identisch mit Seite 1.4Ebene Tragwerke49 S Grundbegriffe Lagerung starrer Scheiben Streckenlasten Definition von Streckenlasten Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast Beispiele59 1.5Scheibenverbindungen Ermittlung der statischen Bestimmtheit Dreigelenkträger Gerberträger Ebene Fachwerke Überprüfung der statischen Bestimmtheit von Fachwerken Arten von Fachwerken Berechnungsmethoden für Fachwerke83 1.6Schnittgrößen in ebenen Trägern und Trägersystemen Definition der Schnittgrößen Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen Differentielle Beziehungen Anwendungen98 1.7Zentrales räumliches Kraftsystem Ermittlung der Resultierenden Gleichgewicht einer zentralen räumlichen Kräftegruppe112 S 112 Ende ? 1 Statik Inhalt Seite: 6

7 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 7 identisch mit Seite 1.8Allgemeines räumliches Kraftsystem114 S Zusammensetzung von Kräften und Momenten Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente Räumlich gestützter Körper Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken Schwerpunkt Massenschwerpunkt Volumenschwerpunkt Flächenschwerpunkt ebener Flächen Linienschwerpunkt ebener Linien Schwerpunkt zusammengesetzter Gebilde Anmerkungen zur Berechnung von Schwerpunkten Definition der Flächenträgheitsmomente Satz von S TEINER Flächenträgheitsmomente einfacher Querschnittsflächen Hauptträgheitsmomente Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen Flächenträgheitsmomente Haftung und Gleitreibung Haftung (Zustand der Ruhe) Gleitreibung (Zustand der Bewegung) Seilhaftung und Seilreibung Seilhaftung Seilreibung160 S 160 Ende ? 1 Statik Inhalt Seite: 7

8 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 8 (Datei: TM-Wi-fest.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit F ) 2Festigkeitslehre161 F Grundlagen der Festigkeitslehre162 F Einleitung162 F Spannungszustand168 F Deformationszustand 171 F Elastizitätsgesetze (Materialgesetze) 174 F Elastizitätsgesetz für die Dehnung 175 F Elastizitätsgesetz für die Gleitungen 181 F Verallgemeinertes H OOKE sches Gesetz 182 F Zug und Druck184 F Spannungen und Verformungen von Stabsystemen184 F Berechnung der Spannung184 F Berechnung der Verformungen188 F Flächenpressung198 F Biegung203 F Voraussetzungen und Annahmen203 F Spannungen bei gerader Biegung205 F Verformungen bei gerader Biegung 212 F Schiefe Biegung229 F Querkraftschub234 F Schubspannungen infolge Querkraftbelastung234 F Abschätzung der Verformungen infolge Querkraftbelastung238 F 89 Ende ? 1 Statik Inhalt Seite: 8

9 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 9 (Datei: TM-Wi-dyn.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit D ) 2.5.1Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten 243 F Annahmen und Voraussetzungen243 F Berechnung der Torsionsspannung244 F Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel  )247 F Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte254 F Torsion242 F Scherbeanspruchung258 F Überlagerung gleichartiger Spannungen 264 F Mehrachsige Spannungszustände265 F Spannungshypothesen275 F Zusammengesetzte Beanspruchung263 F Einführung 285 F Ein einfaches Stabilitätsproblem290 F E ULER -Fälle293 F Stabilität285 F 136 3Dynamik302 D Kinematik des Punktes304 D Definitionen304 D Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten 305 D Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten 307 D Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten 309 D Bewegung auf einer Kreisbahn 311 D 21 Ende ? 1 Statik Inhalt Seite: Grundaufgaben der Kinematik 313 D 23

10 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Grundlagen318 D Momentanpol319 D Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern325 D Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers318 D D ’A LEMBERT sche Prinzip für Punktmassen 330 D Ebene Bewegungen von starren Körpern337 D Aufstellung von Bewegungsgleichungen349 D Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern330 D Energiebetrachtungen356 D Arbeit, Energie, Leistung356 D Arbeit356 D Potentielle Energie 359 D Energieerhaltungssatz360 D Leistung368 D Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers371 D Verallgemeinerung des Energiesatzes376 D L AGRANGE sche Bewegungsgleichungen 2. Art380 D Schwingungen389 D Einführung389 D Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad394 D Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad407 D Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad417 D Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden424 D 134 Ende ? 1 Statik Inhalt Seite: 10

11 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Einführung424 D Aufstellen der Bewegungsgleichungen425 D 135 Ende ? bis435 D Statik Inhalt Seite: 11

12 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 12 Üblicherweise unterteilt man die Technische Mechanik nach der Beschaffenheit der betrachten Körper in die Mechanik fester, flüssiger und gasförmiger Körper. Das vorliegende Buch behandelt ausschließlich die Technische Mechanik fester Körper (Festkörpermechanik). Dieses Gebiet wird häufig weiter unterteilt in  Statik  Festigkeitslehre und  Dynamik. Diese Unterteilung liegt auch dem vorliegenden Buch zu Grunde. Die Mechanik ist die Lehre von der Wirkung von Kräften auf Körper. Sie ist ein Teilgebiet der Physik. Die Technische Mechanik wendet physikalische Gesetze auf technische Probleme an und entwickelt dabei grundlegende Methoden und Berechnungswege, um das mechanische Verhalten von realen technischen Systemen untersuchen, beschreiben und beurteilen zu können. Was ist Technische Mechanik? 1Statik Ende ?

13 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 13  Am Ende der Lehrveranstaltung sollen Sie in der Lage sein, einfache technische Problemstellungen aus den oben genannten Gebieten der Mechanik zu erkennen, richtig einzuordnen, daraus mechanische Berechnungsmodelle zu erstellen und diese einer Lösung zuzuführen. Ziel der Lehrveranstaltung  Das Ziel der Vorlesung besteht darin, Ihnen Grundkenntnisse in der Statik, der Festigkeitslehre und der Dynamik (Kinematik, Kinetik, Schwingungslehre) zu vermitteln und dabei das methodische Vorgehen bei der Lösung einfache technische Aufgabenstellungen anhand der grundlegenden Prinzipien der Technischen Mechanik zu erläutern. Die Statik – genauer die Statik fester Körper – der wir uns im Kapitel 1 Statik zuwenden werden, ist die Lehre von der Wirkung von Kräften auf starre Körper im Gleichgewichtszustand. Die Beanspruchung der betrachteten Körper wird dabei als zeitlich unveränderlich vorausgesetzt. Es ist das Ziel der Statik, Bedingungen (Gleichgewichtsbedingungen) für die angreifenden Kräfte zu formulieren, unter denen ein Körper oder ein Körpersystem in Ruhe bleibt. Ende ?

14 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 14 Ein klassisches Beispiel dafür ist der Einsturz der Takoma Narrows Bridge im Bundesstaat Washington (USA) am , bereits vier Monate nach ihrer Eröffnung. Wozu brauchen Sie Technische Mechanik? Die Ursache des Einsturzes waren plötzliche Torsions- schwingungen, die infolge von Windverwirbelungen im Resonanzbereich angeregt wurden. Erst 1992 führten Computersimulationen zur endgültigen Klärung aller Phänomene dieses Einsturzes. Zur Vermeidung derartiger Katastrophen und Unglücksfälle vermitteln die Technische Mechanik und die angrenzenden Wissensgebiete notwendige Grundlagen für eine zuverlässige Modell- bildung, für die Berechnung und Simulation sowie für experimentelle Untersuchungen. Ende ? Video Ein Versagen technischer Konstruktionen gab es (und wird auch zukünftig nicht ganz vermeidbar sein), seitdem der Mensch begonnen hat seine Umwelt auf der Grundlage des jeweiligen aktuel- len Kenntnisstandes zu verändern. Fehler bzw. nicht bekannte oder berücksichtigte Ein- flüsse können zu großen Katastrophen führen. Zur Ansicht des Videos auf das Bild klicken oder Datei takoma-bridge.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf das Video stoppt dieses bzw. setzt die Wiedergabe fort oder beginnt zu erneut. Das sollte vermieden werden!

15 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Grundlagen 1.1.1Starrer Körper Von einem starren Körper sprechen wir dann, wenn der Abstand zwischen zwei Punkten auf dem Körper bei beliebigen Belastungen unverändert bleibt. In der Statik vernachlässigen wir also die Verformung eines Körpers unter der Wirkung von Belastungen. Ein starrer Körper ist die Idealvorstellung eines Körpers, der unter Krafteinwirkung keine Verformung erfährt. Jeder reale Körper unter der Wirkung von äußeren Belastungen, der sich in Ruhe – d. h. im Gleichgewicht – befindet, kann gedanklich in einen starren Körper verwandelt werden (Erstarrungsprinzip). Beachte: Natürlich ist ein realer Körper niemals ein starrer Körper. Das Modell eines starren Körpers ist aber in vielen Fällen eine für technische Bauteile und Konstruktionen zweckmäßige Annahme. Diese Annahme muss aber unbedingt kritisch überprüft werden, um die Gültigkeit der daraus folgenden Berechnungsergebnisse sicherzustellen. Ende ?

16 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 16 Definition des Kraftbegriffs Jede physikalische Größe, die sich mit der Gewichtskraft ins Gleichgewicht setzen lässt, ist eine Kraft. Weitere Beispiele für Kräfte: magnetische und elektrische Kräfte, Druckkräfte von Flüssigkeiten und Gasen, Windkräfte, Federkräfte usw. Zentraler Begriff der Statik : Kraft 1.1.2Kraft „Urbild“ der Kraft: Gewichtskraft und Muskelkraft (die Muskelkraft kann erfahrungsgemäß an einem Körper im Schwerefeld der Erde Gleichgewicht herstellen) Kräfte sind Vektoren und durch die folgenden Größen bestimmt: Betrag Richtung Richtungssinn und Angriffspunkt Ende ?

17 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 17 Kennzeichnung von Vektoren: Symbol mit einem Vektorpfeil, z. B. Der Kraftvektor wird üblicherweise mit (von force) gekennzeichnet. Der Betrag des Kraftvektors wird durch dargestellt (eventuell wird F mit einem Index versehen, der den Angriffspunkt und/oder die Richtung kennzeichnet). Zeichnerische Darstellung der Kraft: Vektorlänge e AP WL F Bild 1.1 Darstellung eines Vektors Für die maßstäbliche Darstellung der Kraft benötigt man die Richtung (auch als Wirkungslinie WL bezeichnet), den Angriffspunkt AP, und die Vektorlänge e. Die Pfeilspitze legt den Richtungssinn auf der Wirkungslinie WL fest (Bild 1.1). Um den Betrag von als Vektorlänge e, darstellen zu können, muss man einen Maßstabsfaktor m F festlegen. Es gilt dann: mit F in N und m F in N/mm Einheiten der Kraft (gesetzlich verbindlich) 1N= 1 kg m s -2 1 kN = 1000 N (alt: 1 kp = 9,81 N) Ende ?

18 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 18 Hinweis: Da wir auf grafische Verfahren nicht eingehen werden, müssen unsere Darstellungen der Kraftvektoren nicht maßstäblich sein. Die Darstellung der Kräfte in Skizzen in Form eines Pfeilbildes genügt in der Regel. Das Pfeilbild soll die Lage, die Richtung und den Richtungssinn prinzipiell beschreiben und wird durch die Angabe des Betrages F und des Richtungswinkels  eindeutig ergänzt (Bild 1.2)  F Bild 1.2 Skizze eines Kraftvektors In der Mechanik Unterscheiden wir räumlich verteilte Kräfte (z. B. Gewichtskraft, elektrische und magnetische Kräfte) flächenhaft verteilte Kräfte (z. B. Druckkräfte von Flüssigkeiten und Gasen) Einzelkräfte Eine Einzelkraft ist ein idealisierter Grenzfall. Sie kann z. B. durch eine Seilkraft veranschaulicht werden, bei der der Angriffsbereich eine sehr kleine Querschnittsfläche des Seiles ist. Eine Einzelkraft wird am starren Körper durch einen linienflüchtigen Vektor beschrieben. Daraus folgt der Verschiebungssatz: An einem starren Körper kann eine Einzelkraft beliebig entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Ende ?

19 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Wechselwirkungsprinzip Das Wechselwirkungsgesetz geht auf Newton (1687) zurück, der die Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung postulierte. Zu jeder Kraft gehört auf der gleichen Wirkungslinie eine Gegenkraft von gleichem Betrag aber mit entgegengesetztem Richtungssinn. Das gilt beispielsweise auch für Kräfte, die an Körpern wirken, die sich nicht berühren (z. B. Gravitationskräfte zwischen Himmelskörpern, magnetische Kräfte). Eine Kraft tritt also niemals allein auf, sondern es gehört zu jeder Kraft eine gleich große Gegenkraft (siehe Bild 1.3). Körper Erdmittelpunkt M FGFG FGFG Bild 1.3 Wechselwirkungsprinzip Ende ?

20 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 20 Im Bild 1.4 wurde beispielsweise der Körper aus Bild 1.3 von seiner Unterlage befreit und die Wirkung der Unterlage auf den Körper sowie die Wirkung des Körpers auf seine Unterlage durch die Kraft F N ersetzt. (Normalkraft) FGFG FNFN FNFN Bild 1.4 Schnittprinzip und Gleichgewicht 1.1.4Schnittprinzip Die dadurch verlorengegangene gegenseitige Beeinflussung zwischen Körper und Umgebung muss danach durch geeignet gewählte Kräfte ersetzt werden, die den ursprünglichen Ruhezustand (oder Bewegungszustand, siehe Kapitel 3 Dynamik) des Körpers wieder herstellen. Ein Körper kann mittels eines gedachten Schnittes von seiner Umgebung befreit werden. Durch dieses grundlegende Prinzip wird es möglich, innere Kräfte eines technischen Systems sichtbar und damit berechenbar zu machen. Ende ?

21 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 21 Alle Kräfte, die nicht durch starre Bindungen (Lagerungen, Abstützungen) bedingt sind, heißen eingeprägte Kräfte Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte Durch Lagerungen oder Abstützungen kann ein starrer Körper erfahrungsgemäß in seiner Lage fixiert werden – der Körper ist dann an seine Lage gebunden Gleichgewicht Das Gleichgewichtsprinzip der Statik sagt aus, dass ein starrer Körper dann im Gleichgewicht ist, wenn er sich im Zustand der Ruhe (oder der gleichförmigen Bewegung) befindet. Kräfte, die bei der Anwendung des Schnittprinzips die Wirkung der Lager oder der Stützen ersetzen, nennt man Reaktionskräfte (oder auch Bindungskräfte). Der Angriffspunkt und die Wirkungslinie einer Reaktionskraft werden durch die von der zugehörigen Bindung verhinderten Bewegung des Körpers bestimmt (vgl. Kapitel 1.4.2). Ende ?

22 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 22 Schneiden wir einen Körper aus der Umgebung frei und tragen alle Reaktionskräfte und eingeprägten Kräfte an, so befindet sich der Körper im Gleichgewicht, wenn die Gesamtheit der Kräfte den Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung des Körpers nicht verändert. Der einfachste Fall einer Gleichgewichtsgruppe von Kräften liegt offensichtlich vor, wenn ein Körper unter der Wirkung von nur zwei Kräften steht (vgl. Bild 1.4). Dann herrscht Gleichgewicht, wenn die beiden Kräfte 1. die gleiche Größe (gleichen Betrag) haben, 2. entgegengesetzt zueinander gerichtet sind und 3. auf der gleichen Wirkungslinie liegen. (Normalkraft) FGFG FNFN FNFN Bild 1.4 Schnittprinzip und Gleichgewicht Diese durch die Erfahrung bestätigte Erkenntnis kann auf die Wirkung von beliebig vielen Kräften verallgemeinert werden (siehe Kapitel 1.2). Ende ?

23 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Äquivalenz von Kräften Eine Gruppe von Kräften nennt man äquivalent (mechanisch gleichwertig) zu einer zweiten Gruppe von Kräften, wenn beide für sich an demselben starren Körper die gleiche mechanische Wirkung haben. Für einen starren Körper sind unendlich viele Kräftegruppen denkbar, die zu einer gegebenen Kräftegruppe äquivalent sind. So sind beispielweise zwei nach Betrag und Richtungssinn gleiche Kräfte auf der gleichen Wirkungslinie mit unterschiedlichem Angriffspunkt am starren Körper äquivalent. Aus dem Gleichgewichts- bzw. Äquivalenzprinzip werden wir in den folgenden Kapiteln mathematische Gleichgewichts- bzw. Äquivalenzbedingungen ableiten, aus denen wir noch unbekannte Kräfte berechnen können. Ende ?

24 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Zentrales ebenes Kraftsystem Eine Gruppe von Kräften, die an einem starren Körper angreift, heißt zentrales Kraftsystem, wenn sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden Resultierende Eine Gruppe von Kräften lässt sich durch eine äquivalente Kraft, die so genannte Resultierende, ersetzen. Die Resultierende ist den Kräften äquivalent. Hinweis: Die Anwendung grafischer Methoden dient nachfolgend vorwiegend zur Veranschaulichung. Die Lösung von Aufgaben erfolgt in der Regel analytisch. Grafische Lösung: Parallelogrammsatz: Zwei Kräfte lassen sich im Kräfteplan grafisch zu einer Resultierenden zusammenfassen, die nach Größe und Richtung durch die Diagonale in einem Parallelogramm bestimmt wird, dessen Seiten von den beiden (maßstäblich gezeichneten) Kräften aufgespannt werden. (vgl. Bild 1.5 a) bis c) auf der folgenden Seite). Ende ?

25 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 25 F1F1 WL2 WL1 F2F2 AP2 AP1 a)Lageplan Darstellung von Betrag, Richtung Richtungssinn und Angriffspunkten der Kräfte Bild 1.5 Lageplan, Kräfteplan, Krafteck Nachfolgend wird die Ermittlung der Resultierenden an zwei Kräften (Bild 1.5 a) gezeigt. Hinweis: Das Krafteck (Bild 1.5 c) ist eine Vereinfachung des Kräfteparallelogramms, bei der die Reihenfolge der Kräfte beliebig ist. b)Kräfteplan (mit Kräfteparallelogramm) Darstellung von Betrag, Richtung und Richtungssinn der Kräfte F1F1 F2F2 FRFR FRFR WLR FRFR Nach Ermittlung von F R über den Kräfteplan bzw. das Krafteck wird diese auf der resultierenden Wirkungslinie (WLR) in den Lageplan eingezeichnet. c) Krafteck F2F2 F1F1 Vereinfachung Beachte: Eine Umkehrung der Aufgabe, d. h. die Zerlegung einer Kraft in beliebig viele Komponenten ist nicht möglich. Eine Kraft kann in der Ebene eindeutig nur in zwei Komponenten zerlegt werden! Ende ?

26 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 26 Analytische Lösung: Auf Kräfte können die Regeln der Vektorrechnung angewandt werden. Für die Zusammensetzung von n Kräften zu einer Resultierenden gilt folglich: (1.1) (1.2) In Komponentenschreibweise bezogen auf ein (x,y)-Koordinatensystem (Bild 1.6) gilt für die Resultierenden in x- und in y-Richtung x y WL FiFi ii Bild 1.6 Komponenten einer Kraft F ix = F i cos  i F iy = F i sin  i bzw. mit den Komponenten von F i nach Bild 1.6 (1.3) Hinweis: Verwendet man die Definition für die Winkel  i nach Bild 1.6, so wird das richtige Vorzeichen der Kraftkomponenten automatisch über die Winkelfunktionen in die Gleichung (1.3) übernommen. Ende ?

27 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 27 Für die Resultierende ergibt sich dann (1.4) Da für  R noch zwei Quadranten möglich sind, bildet man für die Eindeutigkeit des Richtungssinns noch (1.6) Die Lage der Resultierenden wird durch den Winkel  R bestimmt, der sich aus (1.5) ergibt. Ende ?

28 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 28 x y  2 = 160  F 1 = 200 N  1 = 30  F 2 = 400 N Bild 1.7 Resultierende zweier Kräfte Beispiel 1.1 Resultierende zweier Kräfte Für die im Lageplan des Bildes 1.7 dargestellten zwei Kräfte F 1 und F 2 soll die Resultierende ermittelt werden. Berechnung mit den Gleichungen (1.3) bis (1.6): und Der Betrag der Resultierenden ergibt sich aus (1.4) FRFR RR Berechnung des Winkels  R : siehe folgende Seite Ende ?

29 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 29 Den Winkel der Resultierenden erhalten wir aus Gleichung (1.5) Für die Eindeutigkeit des Winkels berechnen wir noch (1.6)  zwei Lösungen für  R  zwei weitere Lösungen für  R Der gesuchte Winkel  R muss beiden Gleichungen (1.5) und (1.6) erfüllen. Das trifft nur für den Winkel von 130,57  zu. Damit hat die Resultierende den Richtungswinkel Die Resultierende kann jetzt auf einer Wirkungslinie durch den Schnittpunkt der beiden Wirkungslinien von F 1 und F 2 mit dem Richtungswinkel  R eingezeichnet werden (siehe Bild 1.7, eine Seite zurück). Ende ?

30 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 30 Weitere Berechnungsmöglichkeit: x y F 1 = 200 N  1 = 30  F 2 = 400 N  Bild 1.8 Komponenten von F 1 und F 2 Die 2. Berechnungsmöglichkeit beruht darauf, dass zunächst nur die Beträge der Kraftkomponenten – in der Regel aus Winkeln zwischen 0 und  /2 zu einer der Koordinatenachsen – berechnet werden. Wie man sieht, erhält man die gleichen Komponenten für die Resultierende. Die Rechnung wird dann wie oben fortgesetzt. Bei der Berechnung des Richtungswinkels  R kann man sich auf die Gleichung (1.5) beschränken, wenn der richtige Winkel von den zwei möglichen wiederum aus der Anschauung (Beurteilung der Vorzeichen von F Rx und F Ry ) gewonnen wird. F 2H F 1H F 1V F 2V 11  Das richtige Vorzeichen der Kraftkomponenten für das Aufschreiben der Gleichung (1.2) muss dann aus der Anschauung genommen werden. Wir erhalten (vgl. Kraftzerlegung in Bild 1.8): Ende ?

31 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Gleichgewicht von Kräften Das Kraftgleichgewicht ist die Bedingung für die Ruhe (bzw. für die gleichförmige Bewegung) eines Systems. Analytische Lösung dieser Aufgabe F Rx = 0 bzw.F RH = 0oder symbolisch: (1.7) F Ry = 0 bzw.F RV = 0 oder symbolisch: (1.8) : : Beachte:  Da das Gleichgewicht in jeder beliebigen Richtung aufgeschrieben werden kann, gibt es unendlich viele Gleichgewichtsbedingungen.  Da von diesen jedoch nur zwei linear unabhängig sind, können nur zwei Unbekannte berechnet werden.  Weitere Gleichgewichtsbedingungen können gegebenenfalls zur Kontrolle benutzt werden. Satz: Eine zentrale ebene Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende gleich Null ist. Ende ?

32 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 32 Beachte:  Ein Seil kann nur Zugkräfte übertragen!  Ein Stab, der beidseitig gelenkig befestigt ist, kann sowohl Zug- als auch Druckkräfte übertragen. F S  0 bedeutet, der Stab wird auf Druck beansprucht. Wenn wir einen starren Körper mit Hilfe des Schnittprinzips von seinen Lagerungen befreien, werden die Lagerkräfte sichtbar. Seile und Stäbe: Seile und Stäbe können nur Kräfte in Längsrichtung aufnehmen. Wir führen einen Schnitt durch das Seil oder den Stab und tragen eine Zugkraft (Zugkräfte sind dann immer positive Kräfte) an dem Schnittufer in Längsrichtung an (siehe Bild 1.9). Bild 1.9 Lagerung durch Seilen und Stäben Seil Stab 1 Stab 2Seil Stab 1 Stab 2 FSFS F S1 F S2 Schnittprinzip 1.2.3Lagerungsbedingungen (Weitere Lagerungsbedingungen werden im Kapitel behandelt) Seil, Stab und reibungsfreie Auflage sind wichtige technischen Realisierungen der Lagerung eines starren Körpers unter der Wirkung von Zentralkräften. Ende ?

33 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 33 Reibungsfreie (ideal glatte) Berührung zwischen Körper und Unterlage Typische Beispiele sind die Lagerung einer Kugel in einer starren Rinne (Bild 1.10) bzw. die Lagerung eines starren Körpers auf einer glatten Kante oder Schneide. Durch einen Schnitt wird der Körper von der Unterlage befreit und üblicherweise eine Druckkraft F N normal (senkrecht) zur gemeinsamen Tangentialebene von Körper und Unterlage angetragen. Schnittprinzip FBFB FAFA R FGFG FBFB B A FAFA Bild 1.10 Reibungsfreie Berührung zwischen Körper und Unterlage R FGFG A B Beachte: Liefert die Berechnung F N  0, bedeutet das ein Abheben von der Unterlage, falls das konstruktiv nicht verhindert wird. Ende ?

34 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 34 b) Schnittskizze F F S2 F S1   c) Komponentenzerlegung F F S2 cos  F S2 sin  F S1 sin  F S1 cos  Beispiel 1.2 Berechnung der Stabkräfte eines Stabzweischlag Gegeben:F, ,  (siehe Bild 1.11 a ) Gesucht:Stabkräfte F S1, F S2 Bild 1.11 Berechnung der Stabkräfte eines Stabzweischlag   F Stab 1 Stab 2 a) Freischneiden Gleichgewichtsbedingungen (vgl. Bild 1.11 c ) -F S1 sin  + F S2 sin  + F =0 : (1) Das sind zwei Gleichungen für beiden Unbekannten F S1 und F S2. -F S1 cos  +F S2 cos  = 0 : (2) Ende ?

35 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 35 Einsetzen von (3) in die Gleichung (1) liefert: Aus der Gleichung (2) folgt: (3) Mit dem Additionstheorem sin  cos  - cos  sin  = sin(  -  ) folgt daraus (4) Einsetzen von (4) in die Gleichung (2) liefert: (5) Hinweis: Wie man aus (4) und (5) ersieht, liegen die Stäbe bei  =  auf einer Geraden, und es ergeben sich rechnerisch unendlich große Stabkräfte. Dieser Widerspruch resultiert aus der Modellannahme eines starren Körpers. Lässt man die Verformbarkeit der Stäbe zu, dann stellt sich im Gleichgewichtszustand ein Winkel von etwas weniger als 180° zwischen den Stäben ein, was zu endlich großen Stabkräften führt, die allerdings sehr groß sein können und zur Zerstörung der Konstruktion führen können. Ende ?

36 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 36 b) Kräfteplan F1F1 Bild 1.12 Resultierende zweier paralleler Kräfte a) Lageplan F1F1 F2F Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte In Bild 1.12 a) sind zwei parallele Kräfte F 1 und F 2 an einem Körper angetragen. Die grafische Lösungsmöglichkeit mit Hilfe der Ergänzung einer Gleichgewichtsgruppe von zwei Hilfskräften F H wird mit Bild 1.12 gezeigt. FHFH FHFH 1.3Allgemeines ebenes Kraftsystem Ein allgemeines ebenes Kraftsystem ist eine Gruppe von Kräften mit beliebigen Wirkungslinien (WL), die sich nicht alle in einem Punkt schneiden. F2*F2* F1*F1* F1*F1* F2*F2* FRFR FRFR F2F2 FHFH Hinweis: Die Ergänzung der beiden Hilfskräfte F H kann auf einer beliebigen Wirkungslinien (nicht parallel zu F 1 und F 2 ) erfolgen. Eine senkrechte Wirkungslinien zu F 1 und F 2 für F H ist jedoch zu empfehlen. Ende ?

37 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 37 Bild 1.13 Parallele entgegengesetzt gerichtete Kräfte, mit gleichem Betrag (Kräftepaar) F1F1 F 2 =F 1 b) Lageplan Wir betrachten jetzt den Fall, dass F 2 den gleichen Betrag wie F 1 hat, aber auf einer parallelen Wirkungslinie entgegengesetzt zu F 1 gerichtet ist (Bild 1.13). Zwei Kräfte mit diesen Eigenschaften bezeichnet man als Kräftepaar. FHFH FHFH l F2*F2* l*l* Es ergeben sich zwei neue entgegengesetzt gleiche Kräfte F * auf parallelen Wirkungslinien mit dem gleichen Produkt von Kraft  Abstand wie das der Ausgangskräfte mit dem Abstand l. Dieses Produkt bezeichnen wir als Moment. Beachte: F R = 0 (das Krafteck ist geschlossen - aber trotzdem kein Gleichgewicht, vgl. Lageplan) Ein Kräftepaar ist eine Kräftegruppe aus zwei gleichgroßen entgegengesetzt gerichteten Kräften auf parallelen Wirkungslinien. F1*F1*  F2F2 F1F1 b) Kräfteplan Wegen F 1 = F 2 folgt F 1 * = F 2 * und mit l * = l sin  und F 1 = F 1 * sin  ergibt sich F 1  l = F 1 *  l *. Ende ?

38 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 38 Als Maß für die Wirkung eines Kräftepaares (siehe Bild 1.14) dient sein Moment M = F  l mit der Einheit: N m (N cm, kN m). (1.9) Die Wirkung eines Momentes auf einen starren Körper besteht in dem Bestreben, ihn um eine Achse senkrecht zu der vom Kräftepaar gebildeten Ebene zu drehen (z. B. Lenkrad, Schraubendreher). Daraus folgt auch die symbolische Darstellung durch einen den Drehsinn symbolisierenden gekrümmten Pfeil bzw. durch einen Doppelpfeil (siehe Bild 1.14) Moment Ein Kräftepaar kann nicht durch eine resultierende Kraft ersetzt werden! Ein Kräftepaar liefert ein Moment! Bild 1.14 Kräftepaar und Moment mit symbolischer Darstellung Kräftepaar in x-y-Ebene (Zeichenebene) F F. l x y z Drehachse z. M symbolisch: Kräftepaar liegt allgemein im Raum (in der gelben Fläche) l F F.. x y z M Drehachse symbolisch: M Ende ?

39 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 39 Das Moment M ist wie die Kraft F ein Vektor, was symbolisch durch ausgedrückt wird. Der Momentenvektor M steht senkrecht auf der von dem Kräftepaar aufge- spannten Ebene (vgl. Bild 1.14, eine Seite zurück). Zur Kennzeichnung des Drehsinns ist bei ebenen Problemen der gekrümmte Pfeil ausreichend. Für allgemeine Lagen des Momentenvektors wird zweckmäßig die Darstellung als Doppelpfeil gewählt, wobei für die Zuordnung der Doppelpfeilrichtung, die den Drehsinn um die Drehachse festlegt, die rechte Hand- Regel (Rechtsschraube) benutzt wird (vgl. Bild 1.15). Satz: Das Moment ist am starren Körper ein freier Vektor. Der Momentenvektor kann also am starren Körper, im Unterschied zum Kraftvektor, auch senkrecht zu seiner Wirkungslinie verschoben werden ohne dass sich seine Wirkung auf den starren Körper verändert! Bild 1.15 Rechte Hand-Regel Ende ?

40 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 40 Was passiert, wenn wir eine Kraft F am starren Körper auf eine parallele Wirkungslinie „versetzen“ (z. B. von WL 1 auf WL 2, vgl. Bild 1.16)? 1.3.3Versetzungsmoment WL 1 WL 2 F l Bild 1.16 Versetzungsmoment beim parallelen Versetzen einer Kraft WL 1 WL 2 F l M = F  l WL 1 WL 2 F l F F Lösung: Wir tragen auf der Wirkungslinie WL 2 zwei gleich große, sich gegenseitig aufhebende Kräfte F an. Dabei ergibt sich ein Kräftepaar mit dem Abstand l, das durch ein Momente M = F  l - das so genannte Versetzungsmoment – ersetzt werden kann. Wenn wir eine Kraft parallel zu ihrer Wirkungslinie verschieben, müssen wir das Versetzungsmoment berücksichtigen. Kräftepaar Ende ?

41 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 41 Als statische Moment einer Kraft F bezüglich eines beliebigen Punktes A bezeichnen wir das Versetzungsmoment M A, das beim Versetzen der Kraft F auf eine parallele, durch A verlaufende Wirkungslinie entsteht (siehe Bild 1.17). Das statische Moment Bild 1.17 Statisches Moment einer Kraft bezüglich A WL F A l. M A = F  l Ende ?

42 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (Lösungskonzept) Zur Ermittlung der resultierenden Wirkung einer beliebigen Zahl von Kräften am starren Körper bezüglich eines Punktes A versetzen wir alle Kräfte durch Parallel- verschiebung in den Punkt A und ermitteln das resultierende Versetzungsmoment. (1.10) Für das resultierende Moment einer allgemeinen Kraft ergibt sich (vergleiche Bild 1.18): A y x xixi yiyi FiFi F ix F iy M iA = F iy x i - F ix y i Bild 1.18 Bildung des resultierenden Momentes Die Kräfte können, wie beim zentralen Kraftsystem, zu einer Resultierenden F R zusammengefasst werden (siehe Gleichungen (1.3) und (1.4)). Ende ?

43 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 43 F 2F F A a Beispiel 1.3 Ermittlung der Resultierenden eines ebenen Kraftsystems Drei Kräfte greifen an einem starren Körper an (Bild 1.19). Wir suchen die Resultierende F R und deren Lage, die durch einen Abstand x auf der Horizontalen durch A festgelegt wird. Gegeben:F, a Gesucht:F R sowie F RH und F RV, , x  = 45  FRFR  Bild 1.19 Berechnung der Resultierenden  :F RH = 2 F  :F RV = F + F = 2 F Zuerst berechnen wir mit (1.2) und (1.4) die Größe der Resultierenden F R. Aus (1.5) folgt der Richtungswinkel  zu: Das Versetzungsmoment der drei Kräfte muss gleich dem Versetzungsmoment der Resultierenden F R in Bezug auf den Punkt A (oder einen anderen Punkt) sein: M RA = F RV x A : x  Ende ? F RV F RH

44 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 44 Satz: Eine allgemeine ebene Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft F R und das resultierende Moment M R gleich Null sind Gleichgewicht von Kräften und Momenten Damit lauten die Gleichgewichtsbedingungen mit A als Bezugspunkt für das Momentengleichgewicht:  : (1.11)  : (1.12) A: (1.13)  Es gibt unendlich viele Gleichgewichtsbedingungen. Von diesen sind nur drei linear unabhängig. Deshalb können nur drei Unbekannte daraus berechnet werden.  Von den unendlich vielen Gleichgewichtsbedingungen können höchstens zwei für Kräfte aber beliebig viele für Momente verwendet werden.  Werden drei Gleichgewichtsbedingungen für die Momente aufgeschrieben, dann dürfen die drei Bezugspunkte nicht auf einer Linie liegen.  Weitere Momentengleichgewichtsbedingungen können gegebenenfalls zur Kontrolle benutzt werden. Ende ?

45 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 45 Beispiel 1.4 Gleichgewicht an einer Umlenkrolle Bild 1.20 zeigt eine bei A reibungsfrei mit zwei Stäben gelagerte Umlenkrolle, über die ein bei B festgemachtes Seil geführt ist, an dem am anderen Ende eine Kraft F angreift. Bild 1.20 Gleichgewicht an einer Umlenkrolle r A F Seil 1 2   B Für das freigeschnittene System mit drei unbe- kannten Kräften müssen die Gleichgewichts- bedingungen (1.11) bis (1.13) erfüllt sein. Freischneiden r A F   F Seil F S1 F S2 Aus dem Momentengleichgewicht bezogen auf den Punkt A erhalten wir: A: Die Kraftgleichgewichtsgleichung in vertikaler Richtung liefert:  : Kraftgleichgewicht in horizontaler Richtung liefert:  : Mit F S1 folgt daraus    Ende ?

46 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 46 Zur eindeutigen Angabe der Lage einer starren Scheibe in der Ebene sind 3 Koordinaten notwendig. Die freie starre Scheibe hat in der Ebene folglich f = 3 Freiheitsgrade, d. h., ihre Lage ist durch drei Koordinaten eindeutig bestimmt (siehe Bild 1.21). x y A Bild 1.21 Mögliche Lagebeschreibungen einer starren Scheibe Lagebeschreibung durch drei Koordinaten möglich: x A, y A,  Das idealisierte Modell starre Scheibe findet in der Statik häufig Verwendung z. B. zur Berechnung der Lagerreaktionen von Kränen, Brücken, Bauträgern usw. Liegen alle eingeprägten Lasten und alle Stützreaktionen eines starren Körpers in einer Ebene, so nennt man diesen Körper auch starre Scheibe Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer starren Scheibe r  xAxA yAyA starre Scheibe A’  starre Scheibe oder r, ,  Ende ?

47 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 47 Mit Hilfe des Schnittprinzips lassen sich die Lagerkräfte freischneiden. An dem freigeschnittenen starren Körper müssen drei Gleichgewichtsbedingungen (z. B. Gleichungen (1.11) bis (1.13)) erfüllt sein, aus denen die Größe von drei Lagerkräften eindeutig bestimmt werden kann. Eine starre Scheibe kann beispielsweise durch Seile, Stäbe oder reibungsfreie Auflagen in ihrer Lage fixiert werden. Durch Lagerungen und Abstützungen (Bindungen b) wird die Anzahl der Freiheitsgrade f der starren Scheibe verringert. Diese Lagermöglichkeiten binden jeweils einen Freiheitsgrad und heißen deshalb einwertige Lager. Achtung: Ausnahmen beachten! Die starre Scheibe mit drei einwertigen Lagern ist unbeweglich, d. h. sie hat den Freiheitsgrad f = 0. Eine solche Lagerung, bei der die Lagerreaktionen allein aus den Gleichgewichts- bedingungen berechnet werden können, heißt statisch bestimmte Lagerung. Ende ?

48 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 48 Eine Kontrolle kann z. B. mit Hilfe des Kräftegleichgewichts erfolgen: Beispiel 1.5 Berechnung der Lagerreaktionen an einer starren Scheibe Zur Lösung schneiden wir die Lager frei und tragen die Lagerkräfte an (Bild 1.22 rechts). Wir erhalten: Die Lagerkräfte berechnen wir aus 3 Momentengleichgewichts- bedingungen um die 3 Punkte A, B und C. FGFG Seil Stab a a 45° Bild 1.22 Lagerreaktionen an einer starren Scheibe Schnitt A :B :C :  :     erfüllt! Schnittskizze: FGFG a a 45° FNFN FSFS F St d A B C d Ende ?

49 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 49 Die Grundelemente von Tragwerken sind Idealisierungen von Bau- und Maschinen- bauelementen. Dazu gehören unter anderem Linientragwerke (Seil, Stab, Balken) und Flächentragwerke (Scheibe, Platte, Schale). 1.4Ebene Tragwerke 1.4.1Grundbegriffe Linientragwerke (Länge groß gegenüber den Querschnittsabmessungen; siehe Bild 1.23): Bild 1.23 Linientragwerke Stab, Seil (nur Längsbelastung) Stabachse gekrümmter- oder Bogenträger (Belastungen wie Balken) gekrümmte Balkenachse Balken (Längs-, Momenten- und Querbelastung) Balkenachse Flächentragwerke (Flächenausdehnung groß gegenüber der Dicke) Bild 1.24 Flächentragwerke Scheibe (ebene Mittelfläche, Belastung in der Mittelebene) Schale (gekrümmte Mittelfläche, Belastung beliebig) Platte (ebene Mittelfläche, Belastung senkrecht zur Mittelebene) Ende ?

50 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Lagerung starrer Scheiben Ein Lager bindet eine Scheibe an eine unbewegliche Umgebung. Für eine durch Lager gebundene starre Scheibe gilt, wenn b ges die Summe aller Lagerbindungen ist:  die starre Scheibe ist statisch bestimmt gelagert, wenn für die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade gilt: f = 3 - b ges = 0  die starre Scheibe ist beweglich, wenn für die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade gilt: f = 3 - b ges > 0  die starre Scheibe ist statisch überbestimmt gelagert, wenn für die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade gilt: f = 3 - b ges < 0 Wenn das System statisch überbestimmt gelagert ist, reichen die Gleichgewichtsbedingung zur Bestimmung der Lagerreaktionen nicht aus. Die Annahme eines starren Körpers muss dann fallen gelassen werden. Neben den schon im Kapitel erwähnten einwertigen Lagern gibt es noch eine Reihe anderer Lager, die die Anzahl der Freiheitsgrade f der starren Scheibe einschränken. Wir wollen nachfolgend die üblichen Lager genauer betrachten und die dafür in Rechnungen üblichen symbolischen Darstellungen einführen. Ende ?

51 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 51 Bild 1.25 Darstellung einwertiger Lager (Loslager); gestrichelt = Richtung in der Kräfte aufgenommen werden Stabstütze (Pendelstütze): Kraftrichtung starrer Körper a) Loslager: Die Anzahl der Bindungen ist b = 1, d. h. das Lager ist einwertig. Beachte:Seile können nur Zugkräfte und reibungsfreie Auflager nur Druckkräfte übertragen. Praktische Beispiele für Loslager sind die Stabstütze (Pendelstütze), das Seil, das reibungsfreie Auflager, die reibungsfreie Gleithülse. Reibungsfreie Auflager: Kraftrichtung oder Kraftrichtung Stab Reibungsfreie Gleithülse: Kraftrichtung Ende ?

52 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 52 Das Bild 1.26 zeigt die reale Ausführung eines einwertigen Brückenlagers, welches als reibungsfreies Auflager idealisiert werden kann. Bild 1.26 Reale Ausführung eines Brückenlagers der Bauart: 4-gliedriges Stelzenlager Detail des Verstellbereichs Verstellrichtung Lastaufnahmerichtung Originallager der Friedrich-Ebert-Brücke Magdeburg: Einbauzeit , Rekonstruktion 2000, Verstellbereich 12 cm, Eigengewicht 6,8 t Ansicht des Lagers 12 cm Ende ?

53 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 53 Bild 1.27 Darstellung zweiwertiger Lager (Festlager); gestrichelt = Richtung in der Kräfte aufgenommen werden Die üblichen symbolischen Darstellungsformen von Festlagern und der Ersatz von zwei Pendelstützen durch ein Festlager sind in Bild 1.27 dargestellt. Kraftrichtung mit unbekanntem Winkel   b) Festlager: Die Anzahl der Bindungen ist b = 2, d. h. das Lager ist zweiwertig. Praktische Beispiele für Festlager sind reibungsfreies Gleitlager (Scharnier, Gelenk), Auflage mit Haftung, Schnittpunkt der Stabachsen zweier Pendelstützen. A oder zwei beliebige Kraftrichtungen (zweckmäßig senkrecht zueinander) Ersatz zweier Pendelstützen durch ein Festlager A Ende ?

54 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 54 c) Einspannung: Die Anzahl der Bindungen ist b = 3, d. h. das Lager ist dreiwertig ) Hinweis:  Die starre Einspannung ist ein Idealfall, bei dem die Elastizität der Lagerung vernachlässigt wird.  Schrauben- und Nietverbindungen haben Zwischenstellungen zwischen Festlager und Einspannung (Elastizität wird oft vernachlässigt).  Es gibt auch bewegliche Einspannungen (die Anzahl der Bindungen ist dann b=2, siehe Bild 1.28) Neben zwei Lagerkräften (wie beim Festlager) nimmt das Lager auch ein Biegemoment auf. Praktische Anwendungsfälle für Festlager sind  an eine starre Platte angeschweißter Träger,  in eine Mauer eingefügter Träger (siehe Bild 1.28),  durch Schrauben oder Niete mit einer starren Platte verbundener Träger. Die übliche symbolische Darstellung einer Einspannung ist in Bild 1.28 dargestellt. Bild 1.28 Darstellung einer Einspannung (b = 3) und von beweglichen Einspannungen (b = 2) Einspannung: Zwei beliebige Kraftrichtungen (gestrichelt; senkrecht zueinander zweckmäßig) und ein Moment Bewegliche Einspannungen: Eine Kraftrichtung (Richtung gestrichelte) und ein Moment Ende ?

55 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Streckenlasten Man kann sich eine Streckenlast als sehr viele, unterschiedlich große Kräfte  F i vorstellen, die auf den Träger wirken. Die Intensität der Streckenlast an der Stelle z i ergibt sich zu (vgl. Bild 1.29) Die Streckenlast hat die Intensität q(z) mit der Einheit Kraft pro Länge. Die Einheit ist N/m (kN/m, N/mm). Streckenlasten sind auf eine Linie bezogene Lasten (Bild 1.29), z. B. durch das Eigenwicht, durch Schüttlasten, durch Windlasten, durch Scheelasten u. ä. Bild 1.29 Streckenlast Balken q(z) z y zizi qiqi zizi FiFi Definition von Streckenlasten (1.14) (1.15) Für differentiell kleinen Größen folgt aus (1.14) Ende ?

56 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 56 q Beispiel: Eigengewicht eines Balkens als Streckenlast Aus der Gewichtskraft des differentiell kleinen Balkenabschnitte der Länge dz ergibt sich eine differentiell kleine Einzelkraft der Größe (siehe Bild 1.30): In ähnlicher Weise lassen sich die Intensitäten von Streckenlasten infolge Schneelast, Schüttgut o.ä. berechnen. dF G =  g  dV z dz Bild 1.30 Eigengewicht eines Balkens als Streckenlast  -Dichte g-Erdbeschleunigung dV-Volumenelement, dV = Adz A-Querschnittsfläche Es bedeuten: Der Vergleich mit (1.15) bzw. Einsetzen von dF G in (1.15) liefert: Ende ?

57 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 57 Die Resultierende einer Streckenlast ergibt sich durch Aufsummieren (Integrieren) der differentiellen Einzelkräfte dF (1.15) über die Länge l, auf der die Last wirkt. Damit ergibt sich ( vgl. Bild 1.31): Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast (1.16) Zur Bestimmung der Lage der Resultierenden ermitteln wir zunächst das Moment der Streckenlast bezüglich des Punktes 0. (1.17) Mit dem Moment der Resultierenden F R bezogen auf den Punkt Null (1.18) folgt durch Gleichsetzen von (1.17) und (1.18) der Angriffspunkt z R der Resultierenden (1.19) a b z 0 q(z) l Bild 1.31 Resultierenden einer Streckenlast dz zRzR FRFR dF = q(z)  dz Ende ?

58 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 58 Beispiele für die Berechnung der Resultierenden von Flächenlasten: Bild 1.32 Resultierende einer Rechtecklast und einer linear veränderlichen Last (Dreiecklast) Rechtecklast l q0q0 Dreieckslast l q 0 (max. Intensität) F R = q 0 l 1212 Hinweis: An der Gleichung (1.16) erkennt man, dass F R formal aus der „Fläche“, die durch q(z) und der Länge l = (b - a) aufgespannten wird, berechnet werden kann (man beachte bei der „Flächenberechnung“ die unterschiedlichen Einheiten in z- Richtung und senkrecht dazu!). An der Gleichung (1.19) erkennt man, dass F R durch den Flächenschwerpunkt der durch q(z) und der Länge l = (b - a) aufgespannten Fläche verläuft (vgl. Kapitel Flächenschwerpunkt, Gleichung (1.44)). Ende ?

59 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 59 Die Belastungen und alle Abmessungen sind gegeben. Gesucht sind die Lagerreaktionen. Bild 1.33 Balken auf zwei Stützen mit Einzellast A B F a b  1.4.4Beispiele Beispiel 1.7: Balken auf zwei Stützen mit Einzellast Schnittskizze: F AV F AH A FBFB B a b Fcos  Fsin  Gleichgewichtsbedingungen: :: Kontrolle:  : A: B: Ende ?

60 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 60 F AV - F + F = 0 : : Beispiel 1.8: Eingespannter Kragbalken mit Kräftepaar Bild 1.34 Eingespannter Kragbalken mit Kräftepaar A B F F a b A F a b B F F AH F AV MAMA Die Gleichgewichtsbedingungen am freigeschnittenen Balken liefern: :: M A + F a - F (a+b) = 0 A : Hinweis: Die Aufgabe zeigt, dass bei Wirkung eines Kräftepaares nur das Moment (M = Fb) des Kräftepaares in das Lagermoment eingeht und der Abstand des Kräftepaares vom Lager keine Rolle spielt. Das ist eine Bestätigung des im Kapitel aufgestellten Satzes, dass das Moment (Kräftepaar) am starren Körper ein freier Vektor ist. Ende ?

61 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 61 Bild 1.35 Verzweigter Träger mit Dreiecklast q0q0 a a a B C A a a a Schnittskizze: B FSFS Beispiel 1.9: Verzweigter Träger mit Dreiecklast Schnitt C FSFS F AH F AV A FRFR xRxR A F AH F AV Resultierende: Gleichgewichtsbedingungen : : :: A : Ende ?

62 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Scheibenverbindungen 1.5.1Ermittlung der statische Bestimmtheit Wir betrachten ein allgemeines ebenes Tragsystem, das aus n starren Scheiben (Bild 1.36) besteht und stellen die Frage, ob das System statisch bestimmt gelagert ist. Überlegung: Ist jede einzelne starre Scheibe frei, so gilt f = 3n. Die Anzahl der Freiheitsgrade wird durch die Bindungen verringert. Bezeichnen wir die Summe der Wertigkeiten aller Bindungen (Lager und Verbindungen) mit b, so gibt es b unbekannte Kräfte und Momente. Wir benötigen also b Gleichgewichtsbedingungen, um diese Größen eindeutig bestimmen zu können. A B FiFi i 1 2 n F1F1 G1G1 G2G2 G4G4 G3G3 G5G5 G6G6 Bild 1.36 Scheibenverbindung Zur Klärung der oben gestellten Frage schneiden wir die Scheibenverbindung vollkommen frei (siehe Bild 1.37 auf der nächsten Seite). Ende ?

63 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 63 2 Es gibt 6 Gelenke mit insgesamt 12 Gelenkkräften. Dazu kommen noch 3 Auflagekräfte. Das gibt insgesamt 15 unbekannte Kräfte! Wir haben 5 starre Scheiben. An jeder starren Scheibe müssen 3 Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein. Damit ergeben sich 15 Gleichungen für 15 unbekannte Kräfte. 1 F1F1 i FiFi A n B FBFB F AV F AH Bild 1.37 Freigeschnittene Scheibenverbindung Ende ?

64 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 64 Satz: Eine Scheibenverbindung ist im Gleichgewicht, wenn jede starre Scheibe für sich im Gleichgewicht ist. An jeder ebenen starren Scheibe stehen 3 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung. Bei n Scheiben gibt es also insgesamt 3n linear unabhängige Gleichgewichtsbedingungen. Beachte: Diese Bedingung ist notwendig, jedoch nicht hinreichend! Die notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit eines Systems aus n ebenen starren Scheibe mit b Bindungen lautet damit (1.20) Analog zur einzelnen starren Scheibe gilt für den Freiheitsgrad einer Scheibenverbindung aus n starren Scheiben: (1.21) Es gilt: b  3n - Scheibenverbindung ist ein Mechanismus (zu wenig Bindungen!) b = 3n - Der Freiheitsgrad f ist Null. Die b unbekannte Größen lassen sich aus den Gleichgewichtsbedingungen ermitteln. b > 3n - f = 0 ist möglich, aber die Gleichgewichtsbedingungen reichen für die Berechnung der Lager- und Verbindungsreaktionen nicht aus! Ende ?

65 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 65 a) I Bild 1.38 Beispiele zur Ermittlung der statischen Bestimmtheit I c) b) I n = 2 b = 6 b = 3n  6 = 6 statisch bestimmt! In den folgenden Beispielen bedeuten römische Zahlen = Nummer der starren Scheibe arabische Zahlen = Wertigkeit der Bindung Beispiele 1.10: Ermittlung der statischen Bestimmtheit Hinweis: a) und b) veranschaulichen unterschiedliche Zählweisen für das gleiche Tragwerk. n = 4 b = 12 b = 3n  12 = 12 statisch bestimmt! 2 II n = 2 b = 8 b = 8 > 3n = 6  statisch unbestimmt! II Bei der Zählweise b) können auf die Scheiben III und IV eingeprägte Lasten wirken. Die Scheiben I, III und IV sind durch ein Zweifach-Gelenk (mögliche konstruktive Ausführung siehe Bild 1.39, nächste Seite) der Gesamtwertigkeit 4 verbunden. 2 IV III 1 1 Stab Ende ?

66 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 66 Bild 1.39 Mögliche Konstruktionen von Zweifachgelenken 2 Gelenke an der Scheibe I mit kleinem Abstand zueinander IV I III klein! Scheiben I, III und IV auf einer Achse gelenkig verbunden I III IV I III IV Ende ?

67 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 67  : Gleichung für F BV I  : Gleichung für F AH II B : I II F G 2 A 2 B 2 M Bild 1.40 Dreigelenkbogen mit Schnittskizze 1.5.2Dreigelenkträger Ein Dreigelenkträger (-bogen, -rahmen) besteht aus zwei starren Scheiben, die miteinander durch ein Gelenk verbunden sind. Jede Scheibe ist durch ein Festlager fixiert (siehe Bild 1.40). Allgemeines Berechnungskonzept (am Beispiel erläutert): Gleichgewichtsbedingungen (empfohlene): II  : Gleichung für F BH Prüfen der statischen Bestimmtheit: b = 3n  6 = 6 statisch bestimmt! F GH, F GV Schnitt I Schnitt II Gleichung für die Unbekannten F GH, F GV  : Gleichung für F AV Beachte: Die beiden Festlager und das Verbindungsgelenk zwischen den zwei Scheiben des Dreigelenkträgers dürfen nicht auf einer Linie liegen. Kontrollmöglichkeiten: I G : und/oder II G : Schnitt I Schnittskizze: I F A G F AH F AV F GH F GV F BH F BV F GV Schnitt II B M II G I A : Ende ?

68 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 68 Schnittskizze: A B F G M Gesamtsystem: I II F G A B M Bild 1.41 Teilweise Berechnungen Lagerreaktionen am Gesamtsystem Alternatives Lösungskonzept (am Beispiel in Bild 1.41 erläutert) : Daher gelten Äquivalenz- und Gleichgewichtsbeziehungen z. B. auch für das Gesamtsystem des eben vorgestellten Dreigelenkträgers. Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem können für Kontrollzwecke aber auch zur Berechnung von Lagerreaktionen genutzt werden, wie das nachfolgende alternative Lösungskonzept, angewandt auf das Beispiel von Bild 1.40, zeigt. x y Hinweis: Im Gleichgewichtsfall darf man jedes System und jedes Teilsystem wie einen starren Körper behandeln ( Erstarrungsprinzip, siehe Kapitel 1.1.1) Schnitt Verbindungsgerade zwischen den Lagern A und B F Ax F Ay F Bx F By Alle noch fehlenden Größen, d. h. die beiden Gelenkkräfte und die Lagerreaktion F Ax und F Bx, lassen sich nach einer weiteren Schnittführung durch das Gelenk entweder am linken oder am rechten Teilsystem gewinnen. Gleichgewichtsbedingungen: A :  Gleichung zur unmittelbaren Berechnung von F By B :  Gleichung zur unmittelbaren Berechnung von F Ay Ende ?

69 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 69 Ist eine der beiden starren Scheiben eines Dreigelenkträgers unbelastet, so kann diese Scheibe als eine so genannte Pendelstütze behandelt werden, die nur eine Kraft auf der Verbindungslinie zwischen dem Gelenkpunkt und dem Lagerpunkt aufnimmt (siehe Bild 1.42). Die Richtigkeit dieser Aussage kann sehr leicht unter Nutzung der Gleichgewichtsbedingungen überprüft werden. Hinweise zur Vereinfachung : FSFS B G F I F AH F AV A Schnittskizze 2 A B G 1 F I Vereinfachtes System Pendelstütze Bild 1.42 Vereinfachung bei einer unbelasteten Scheibe des Dreigelenkbogens 2 2 A B G 2 F I II Dreigelenkbogen Scheibe II lastfrei! b = 3n  3 = 3 statisch bestimmt! b = 3n  6 = 6 statisch bestimmt! Ende ?

70 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 70 G A B F q I II a a a Bild 1.43 Lager- und Gelenkreaktionen für einen Dreigelenkbogen A G F I a F R = qa a/2 B G II a Beispiel 1.11 Lagerreaktionen und Gelenkreaktionen für einen Dreigelenkbogen Für den Dreigelenkbogen nach Bild 1.43 sind die Lager- und Gelenkreaktionen gesucht. Die Belastung und die Geometrie werden als bekannt angenommen. Die Lösung soll nach dem allgemeinen Lösungskonzept (siehe Seite 67) für Dreigelenkbögen vorgenommen werden. F AH F AV F GH F GV Hinweis: Beim Schneiden im Gelenk G darf die dort angreifende Einzelkraft theoretisch zu beliebigen Anteilen auf die beiden Scheiben im Gelenkpunkt aufgeteilt werden. Praktisch sinnvoll ist jedoch eigentlich nur, jeweils die Hälfte der Kraft auf beide Scheiben oder die gesamte Einzelkraft nur auf eine Scheibe (gleichgültig auf welche) aufzuteilen. Wir setzen die gesamte Kraft auf die Scheibe I, weil dadurch die Rechnung etwas einfacher wird (Scheibe II ist dann bezüglich äußerer Belastungen lastfrei). Scheibe II:B :(2) Scheibe I:  :  : Scheibe I:A :(1) F GV F BH F BV F GH Ende ?

71 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 71 Hinweis: Bei diesem Beispiel könnte die Scheibe II auch als Pendelstütze angesehen werden, da auf ihr infolge der Aufteilung der gesamten Kraft F auf die Scheibe I keine äußere Belastung mehr steht (vgl. Hinweise zur Vereinfachung und Bild 1.42). Der Dreigelenkbogen würde sich wie im folgenden Bild gezeigt vereinfachen: A G F I F AH F AV B a a F R = qa a/2 a B G II a F GV F BH F BV F GH a Scheibe II:  :  : II F BH F BV Durch Berechnung von F B soll gezeigt werden, dass beide Systeme gleiche Lager- und Gelenkreaktionen liefern. A : FBFB 45  2a2a (3) Diese Lagerreaktion muss gleich der Resultierenden der Lagerkomponenten F BH und F BV bei B sein. Mit (3) und (4) folgt für die resultierende Lagerkraft bei B:. (4) Ende ?

72 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 72 Bild mögliche Gerberträger Bild 1.44 Durchlaufträger mit vier Stützen Beispiel: Der Durchlaufträger (Bild 1.44) mit 2+k=4 Stützen ist k=2-fach statisch unbestimmt. Ein gerader Träger, der an (2+k) Lagerpunkten gestützt ist (davon ist ein Lager ein Festlager, die übrigen Lager sind Loslager, deren Kräfte nicht in Richtung der Trägerlängsachse fallen dürfen), ist wegen f = 3n-b = 3-(2+1+k) = -k ein Träger, der k-fach statisch unbestimmt gelagert ist. Nach einem Vorschlag von H. G ERBER (1866) kann man den Träger durch den Einbau von k Gelenken statisch bestimmt machen. Diese Art von Trägern, die beispielsweise beim Bau von Eisenbahnbrücken vielfach verwendet wurden, nennt man Gerberträger Er kann durch den Einbau von k=2 Gelenken zu insgesamt vier verschiedene statisch bestimmte Gerberträger verwandelt werden (Bild 1.45) Gerberträger Bedingung:Zwischen zwei Lagern dürfen höchstens zwei Gelenke eingeführt werden, und jedes Teilsystem (starre Scheibe) darf höchstens zwei Lager aufweisen. f = 3n - b = = -2 I I II III I II III III III I II III f = 3n - b f = = 0 f = 3n - b f = = 0 Ende ?

73 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 73 Beispiel 1.12 Berechnung eines Gerberträgers mit vier Stützen A B G1G1 G2G2 C D F 2a a a a q0q0 30° Schnitt I Schnitt II Schnitt III III FCFC FDFD G2G2 CD a a F GV2 F V = F 1212 Bild 1.46 Gerberträgers mit vier Stützen Für einen Gerberträger (Bild 1.46) sollen die Lager- und Gelenkkräfte berechnet werden. Dazu schneiden wir den Träger an den Gelenken und Lagern frei und erhalten die drei in Bild 1.47 dargestellten Teilsysteme mit 9 unbekannten Auflager- und Gelenkkräften. FAFA F BV F BH I F GH1 F GV1 A B G1G1 2a a Bild 1.47 Teilsysteme nach dem Freischneiden des Gerberträgers von Bild q 0 a F GH2 F GV2 II G1G1 G2G2 2a F GV1 a An jedem Teilsysteme schreiben wir drei Gleichgewichtsbedingungen auf. Das sind 9 Gleichun- gen für die 9 Unbekannten. Aus dem Kraftgleichgewicht in horizontaler Richtung folgt zunächst : Teilsystem III:  : Teilsystem II:  : Teilsystem I:  : Ende ?

74 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 74 Durch das Aufschreiben von sechs Momentengleichgewichtsbedingungen in der nachfolgenden Reihenfolge lassen sich nacheinander alle noch fehlenden Unbekannten ermitteln, wobei aus jeder Gleichung sofort eine weitere Unbekannte berechnet werden kann. I A :F BV 2a - F GV1 3a = 0  F BV = 1,5·F GV1 = 1,5 · q o a III C :- F GV2 a - 0,5·Fa + F D a = 0  F D = 0,5·F + F GV2 = 0,5·F - q o a Hinweis: Natürlich können sowohl alternative Gleichgewichtsbedingungen als auch eine andere Reihenfolge der Berechnung der Unbekannten benutzt werden. G 2 :F GV1 2a - 2q o a 2 = 0  F GV1 = q o a 2q 0 a F GH2 F GV2 II G1G1 G2G2 2a F GV1 F GH1 FAFA F BV F BH I F GV1 A B G1G1 2a a III FCFC FDFD G2G2 CD a a F GV2 Bild 1.47 Teilsysteme nach dem Freischneiden Die Teilsysteme nach Bild 1.47 werden hier nochmals dargestellt, damit das Aufschreiben der folgenden Gleichungen besser verfolgt werden kann. II G 1 :2q o a 2 + F GV2 2a = 0  F GV2 = -q o a B :F A 2a + F GV1 a = 0  F A = - 0,5·F GV1 = -0,5·q o a D :F GV2 2a + F C a = 0  F C = - 2F GV2 = 2q o a Ende ?

75 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 75 Fachwerke habe eine große praktische Bedeutung. Sie werden häufig benutzt, um Leicht- bautragwerke auszuführen, da es durch die in Einzelstäbe aufgelöste Bauweise geling, mit geringem Materialeinsatz große Lasten aufzunehmen und große Spannweiten zu überbrücken. Fachwerke werden daher zum Beispiel häufig für Dachkonstruktionen, Hochspannungsmasten, Kranausleger, Brückenträger, Raumfahrtstrukturen u. ä. eingesetzt. Ein Fachwerksystem, das aus Stäben und Verbindungsknoten (siehe Bild 1.48 und die Beispielbilder auf den folgenden Seiten) besteht, muss folgende Voraussetzungen erfüllen: Ein Fachwerk ist ein Stabsystem aus gelenkig miteinander verbundenen geraden Stäben, das nur durch Kräfte in den Gelenken (Knoten) belastet ist Ebene Fachwerke Ein Knoten ist eine gelenkige (reibungsfreie) Verbindung von i Stäben, wobei sich die Längsachsen aller i Stäbe genau in einem Punkt, dem Knotenpunkt treffen. An jedem Knoten liegt somit ein zentrales Kraftsystem vor. Ein Fachwerk wird nur an den Knoten durch Einzelkräfte belastet. Zwischen zwei Knoten kann sich nur jeweils ein Stab befinden. Diese Annahmen sichern, dass die Längsachse jeden Stabes identisch ist mit der Wirkungs- linie der Stabkraft und es außer diesen Stablängskräften keine weiteren Schnittgrößen, vor allem keine Biegemomente, in den Stäben gibt. Hinweis: Die in der Praxis nicht immer zutreffenden Voraussetzungen (Knoten sind Gelenke; nur Lasten auf den Knoten) führen zu Abweichungen in den Ergebnissen, die praktisch oft vernachlässigt werden können. Ende ?

76 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 76 Brücken: Hubbrücke über die Elbe, Magdeburg (Technisches Denkmal) Knoten Stab Einsatzgebiete für Fachwerke Brücken, Dachkonstruktionen, Hochspannungsmasten, Kräne usw. Hinweis: Die in der Praxis nicht immer zutreffenden Voraussetzungen (Knoten sind Gelenke; nur Lasten auf den Knoten) führen zu Abweichungen in den Ergebnissen, die praktisch oft vernachlässigt werden können. Ende ?

77 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 77 Dachkonstruktionen: Knoten Stab Ende ?

78 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 78 Eine mögliche Ausführung eines räumlichen Gelenkes Achtung:Die Mittellinien aller Stäbe schneiden sich in einem Punkt! Es entsteht an dem Knoten ein zentrales Kraftsystem. Bildquelle: VDI-Nachrichten vom 24.November 2002 Ende ?

79 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 79 Knoten eines räumlichen Fachwerkes Ende ? Bildquelle: Mit freundlicher Genehmigung des Fachbereichs Holzbau der FH Augsburg

80 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Überprüfung der statischen Bestimmtheit von Fachwerken Fachwerk mit: 5 Stäben 4 Knoten K2 FS4FS4 F S3 FS1FS1 Schnitt um K2: Grundgedanke: An jedem Knoten (siehe z. B. Schnitt um K2 oben) liegt ein zentrales Kraftsystem vor, für das zwei linear unabhängige Gleichgewichtsbedingungen aufge- schrieben werden können. Die Anzahl der Unbekannten ist die Summe aus der Anzahl der Stäbe und der Bindungen (Wertigkeiten) der Lagerung des Fachwerks. Durch Gleich- setzen der Zahl der Unbekannten und der möglichen Zahl der Gleichungen erhält man die notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit von ebenen Fachwerken. F1F1 1 F1F1 F2F2 4 Stab 4 K1 2 A B 5 K4 K3 Knoten K2 K2 3 Bild 1.48 Einfaches Fachwerk mit Schnitt um den Knoten K2 In Bild 1.48 wird der Aufbau eines einfachen Fachwerks dargestellt, an dem wir die Überprüfung der statischen Bestimmtheit zeigen wollen. mits - Anzahl der Fachwerkstäbe b - Summe der Wertigkeiten der Lager k - Anzahl der Knoten s + b = 2 k Ein ebenes Fachwerk ist statisch bestimmt, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: (1.22) Für das Fachwerk von Bild 1.48 folgt mit s=5, b=3 und k=4 aus (1.22) : = 2  4 8=8 statisch bestimmt  Ende ?

81 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 81 Das Grundelement eines Fachwerkes mit einem einfachen Aufbau ist ein Dreieck, das aus drei Stäben gebildet wird. An jeden Stab kann durch schrittweises Hinzufügen von jeweils zwei weiteren Stäben und einem Knoten eine beliebige Erweiterung des Fachwerks erreicht werden (siehe Bild 1.49). Fachwerk mit einfachem Aufbau Arten von Fachwerken 1 A F1F B F2F2 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K8 K7 Bild 1.49 Fachwerk mit einfachem Aufbau s + b = 2 k 16 = 16  statisch bestimmt! = 2  8 Prüfen der statischen Bestimmtheit: Jedes Dreieck stellt für sich eine starre Scheibe dar, so dass das Gesamtsystem schließlich ebenfalls eine starre Scheibe ergibt. Wird diese starre Fachwerkscheibe an beliebigen Knoten statisch bestimmt gelagert, entsteht ein insgesamt statisch bestimmtes Fachwerk. Für ein so aufgebautes Fachwerk ist die Gleichung (1.22) s + b = 2 k stets erfüllt ist. Ende ?

82 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 82 Bei solchen Fachwerken treten zahlreiche Sonderfälle auf, die hier nicht alle diskutiert werden können. In Bild 1.50 a) ist ein statisch bestimmtes Fachwerke mit nicht einfachem Aufbau dargestellt. Die Gleichung (1.22) ist mit s = 4, b = 4 (vier einwertige Lagerstäbe) und k = 4 erfüllt. Beachte: Bei Fachwerken mit nicht einfachem Aufbau muss darauf geachtet werden, dass nicht statisch unbestimmte Ausnahmefälle entstehen. Ein solcher Ausnahmefall, ähnlich dem Fachwerk in Bild 1.50 a), ist in Bild 1.50 b) dargestellt. Für diesen Ausnahmefall ist die Gleichung (1.22) mit s = 4, b = 4 (vier einwertige Lagerstäbe) und k = 4 ebenfalls erfüllt, das Fachwerk ist aber ein statisches unbestimmtes System, da sich der Stab 2 in horizontaler Richtung um eine differentiell kleines Stück bewegen kann. 1 F K1 K2 K3 K4 Bild 1.50 Fachwerk mit nicht einfachem Aufbau: a) statisch bestimmt, b) statisch unbestimmter Ausnahmefall 1 F K1 K2 K3 K4 Fachwerk mit nicht einfachem Aufbau Ein Fachwerk, das nicht ausschließlich aus Stabdreiecken besteht, bezeichnet man als Fachwerk mit nicht einfachem Aufbau. a) statisch bestimmt  b) statisch unbestimmt s + b=2 k 4 + 4=2  4  8 =8 Ende ?

83 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Berechnungsmethoden für Fachwerke Knotenschnittverfahren Grundidee: Jeder Knoten des Fachwerks wird „freigeschnitten“. Es entstehen k zentrale Kraftsysteme, an denen 2k Gleichgewichtsbedingungen für die s+b=2k unbekanten Stabkräfte und Lagerreaktionen aufgeschrieben werden können. Man beginnt bei einem Knoten (Startknoten) mit nur zwei unbekannten Stabkräften (eventuell vorher Lagerreaktionen berechnen), schneidet diesen frei und berechnet die zwei Stabkräfte aus den zwei Gleichgewichtsbedingungen des zentralen Kraftsystems am Knoten. Dann geht man zum nächsten Knoten mit wieder nur zwei unbekannten Stabkräften, um diese durch Freischneiden wie am ersten Knoten zu berechnen. So kann man von Knoten zu Knoten durch das Fachwerk gehen, bis alle Stabkräfte und eventuell Lagerreaktionen berechnet sind. Praktische Vorgehensweise für Fachwerke mit einfachem Aufbau: Hinweis: Ein dieser Methode entsprechendes grafisches Verfahren ist der so genannte Cremonaplan. Das Knotenschnittverfahren geht auch für Fachwerke mit nicht einfachem Aufbau. Allerdings entstehen hier stärker gekoppelte Gleichungssysteme. Ende ?

84 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 84 1 A F 1 = 2F B F 2 = F K1 K2 K3 K4 K5 K6 K8 K7 a a a  a Bild 1.51 Fachwerk (links) und Schnittbild (rechts) mit angedeuteten Knotenschnitten Startknoten kann K1 oder K8 sein! Wir wählen K1.  :  : F S1, F S2 K3 F S3 F S6 F S2  :  : F S2 = F S6 F S3 = 0  :  : F S4, F S5 Weitere Schnitte (z. B. in der Knotenreihenfolge K4, K5, K6, K7) liefern die restlichen Stabkräfte. Alle Ergebnisse dieses Beispiels sind auf der folgenden Seite zusammengestellt. Verallgemeinerung zu Schnitt um K3 „Nullstäbe“ dürfen nur für die Berechnung weggelassen werden! Unbelasteter Knoten K i, zwei Stäbe eine Richtung, dritter Stab unter  dann gilt immer  Beispiel 1.13 Anwendung des Knotenschnittverfahrens A K1 1 F 1 = 2F B F 2 = F K2 K3 K4 K5 K6 K8 K7 FBFB F AV F AH aa a a  A K1 F AV F AH F S1 F S2  Freischneiden und Lagerreaktionen berechnen, da kein Startknoten vorliegt. K2 F S4 F S5 F S1 F S3 =0    K i F S i = 0 („Nullstab“) F S i+1 = F s i-1 F S i-1  Bild 1.53 Schnitt um K1: (Bild 1.52) Schnitt um K3: (Bild 1.52) Schnitt um K2: (Bild 1.52) Ende ?

85 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 85 Hinweis: Werden alle Stabkräfte als Zugkräfte definiert (Empfehlung), so kann allein am Vor- zeichen der Stabkraft entschieden werden, ob es sich um einen Zug- oder Druckstab handelt. Ein negatives Vorzeichen bedeutet: Der Stab wird auf Druck beansprucht (in der Regel sind Stabilitätsuntersuchungen für den Druckstab durchzuführen, vgl. Kapitel 2.8.3, F 144). Tabelle 1.1 Stabkräfte F S1 bis F S13 für das Fachwerk nach Bild 1.51 Lagerreaktionen: Ende ?

86 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 86 Zur Demonstration des R ITTER schen Schnittverfahrens betrachten wir das im Beispiel 1.13 behandelte Fachwerk und nehmen an, dass wir die Lagerreaktionen bereits berechnet haben. Gesucht sind die Stabkräfte F S4 bis F S6. Beispiel 1.14 Stabkraftberechnung mit dem R ITTER chen Schnittverfahren Grundidee: Man führt einen Schnitt derart durch drei Stäbe, daß das Fachwerk in zwei Teile zerfällt. Von den geschnittenen drei Stäben dürfen höchstens zwei parallel sein oder in einem Knoten zusammenlaufen. Jetzt kann man die drei Stabkräfte (eventuell müssen vorher die Lagerreaktionen ermittelt werden) an dem einen oder dem anderen Teilsysteme aus drei Gleichgewichtsbedingungen berechnen. R ITTER sches Schnittverfahren Vorzugsweise Anwendung: Das R ITTER sche Schnittverfahren ist besonders dann vorteilhaft einsetzbar, wenn nicht alle Stabkräfte gesucht sind. Für Fachwerke mit nicht einfachem Aufbau, bei denen auch nach Berechnung der Lagerreaktionen kein Startknoten für das Knotenschnittverfahren vorliegt, kann das Verfahren zur Berechnung innerer Stabkräfte dienen, um damit Startknoten für das Knotenschnittverfahren zu erhalten. Ende ?

87 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 87 Bild 1.54 Anwendung des RITTERschen Schnittverfahrens A K1 1 F 1 = 2F B F 2 = F K2 K3 K4 K5 K6 K8 K7 FBFB F AV F AH aa a a  a) Schnitt durch drei Stäbe Mit einem Schnitt durch die drei Stäbe der gesuchten Stabkräfte F S4 bis F S6 (siehe Bild 1.54 a) erhalten wir zwei Teilsysteme, von denen das linke Teilsystem in Bild 1.54 b) abgebildet ist. Ritterscher Schnitt b) Teilsystem A K1 1 F 1 = 2F 2 3 F S6 K2 K3 F AV F AH F S5 F S4 K5  a  tan  a a Schreiben wir an diesem Teilsystem die folgenden drei Momentengleichgewichtsbedingungen auf, so erhalten wir daraus unabhängig voneinander die gesuchten Stabkräfte. K1 : K2 :K5 : Natürlich sind diese Ergebnisse identisch mit denen vom Beispiel 1.13 (vgl. Tabelle 1.1). Ende ?

88 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Schnittgrößen in ebenen Trägern und Trägersystemen 1.6.1Definition der Schnittgrößen Ende ? Jeder Querschnitt eines Trägers entspricht einer dreiwertigen Verbindung. Die drei Verbindungsreaktionen bezeichnen wir als „Schnittgrößen“. Die äußeren Belastungen eines Trägers (Balkens) werden durch das System zu den Lagern geleitet und verursachen dort die Lagerreaktionen. Wie an den Lagern, müssen auch im Inneren des Trägers Kräfte und Momente wirken, die bei einer Schnittführung an einer beliebigen Stelle im Inneren des Trägers mit den am jeweils betrachteten Teilsystem angreifenden äußeren Belastungen im Gleichgewicht stehen. Hinweis:Die Schnittgrößen sind Resultierende von im Querschnitt flächenhaft verteilten Kräften (Spannungen - siehe Festigkeitslehre). Die Schnittgrößen geben Auskunft über die Beanspruchung (Spannungen) des Trägers und werden zur Berechnung der Verformungen benötigt. Deshalb sind sie ein wichtiges Ziel unserer folgenden Betrachtungen. z F a-z z A FQFQ FLFL MbMb FQFQ FLFL MbMb z Schnitt bei z: A F a Bild 1.55 Kräfte und Momente im Inneren eines Trägers (Schnittgrößen)

89 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 89 Bild 1.56 Definition der positiven Schnittgrößen am ebenen Träger y z x Als Bezugssystem für die Schnittgrößen verwenden wir ein (x,y,z)-Rechtssystem F Qy -Querkraft: (in 2D-Fall oft nur F Q ) positiv am positiven Schnittufer in positiver y-Richtung (Querkraft zeigt in Richtung der gestrichelt markierten Seite des Trägers) F L - Längskraft (oft auch als Normalkraft F N bezeichnet) positiv am positiven Schnittufer in positiver z-Richtung bzw. positiv als Zugkraft (vom Schnittufer weg, vgl. auch Seil, Stab) M bx -Biegemoment (in 2D-Fall oft nur M b ) um eine zur x-Achse parallele Achse: am positiven Schnittufer positiv in positiver x-Richtung (Moment dehnt die gestrichelt markierte Seite des Trägers) Die (y,z)-Ebene ist die Lastebene, d.h. sie enthält alle äußeren Belastungen, Lager- und Verbindungskräfte. Die z-Achse legen wir in Richtung der Balkenachse, die die Verbindungsgerade aller Querschnittsschwerpunkte ist. markierte Seite (bei y  0 ) z y x F Qy FLFL M bx F Qy FLFL M bx positives Schnittufer negatives Schnittufer Hinweis: Die Definition der Schnittgrößen ist im Prinzip völlig beliebig, und es sind in der Literatur auch abweichende Festlegungen zu finden. Es empfiehlt sich aber, die hier von uns angegebene Definition zu verwenden, da für die Berechnung von Spannungen und Verformungen im Kapitel 2 Festigkeitslehre Formeln entwickelt werden, die diese positive Definition voraussetzen. Schnitt bei z Ende ?

90 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 90 Bild 1.57 Beispiel für Einteilung in Bereiche, Bezugssysteme und Schnitte Hinweis: Schnittgrößen sind Funktionen der Koordinate z. Sie ändern an den Stellen ihren funktionellen Verlauf, wo infolge äußerer Belastungen (Kräfte, Momente, Streckenlasten) oder Lagerungen Unstetigkeiten auftreten oder der Träger seine Geometrie verändert, z. B. dort wo der Träger einen Knick oder eine Verzweigungsstelle aufweist. Um bereichsweise stetige Funktionen für die Schnittgrößenverläufe zu erhalten gehen wir wie folgt vor: Liegen n Unstetigkeitsstellen vor, so sind in den (n–1) durch die Unstetigkeitsstellen begrenzten Bereichen genau (n–1) Schnitte für eine vollständige Ermittlung der Schnitt- größenverläufe notwendig. Die Lage der Schnittstellen und die positiven Schnittgrößen werden durch geeignete (x,y,z)-Bezugssysteme festgelegt, deren Orientierung nach Möglichkeit einheitlich erfolgen sollte, d. h. die unterschiedlichen Koordinatensysteme sollten durch Drehungen ineinander überführt werden können Für eine möglichst einfache mathematische Beschreibung ist es sinnvoll, für jeden Bereich i = 1... n - 1, in dem ein Schnitt geführt werden muss, ein eigenes Bezugssystem mit z i = 0 am Bereichsanfang einzuführen. Unstetigkeitsstellen (Ziffern 1 bis 9): n = 9 Anzahl der Bereiche = Anzahl der Schnitte = = Anzahl der Bezugssysteme: (n–1) = y1y1 z1z1 z2z2 z3z3 z4z4 z5z5 z6z6 z7z7 z8z8 Ende ?

91 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 91 A F B 2a a C30° FBFB F AH F AV Der Balken hat die drei Unstetigkeitsstellen A, B und C (Lasteinleitungsstelle) Bild 1.59 Definition der Bereiche, der Koordinatensysteme und der Schnitte  z1z1 y1y Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen y2y2 z2z2 Beispiel 1.15 Schnittgrößen in einem Balken auf zwei Stützen mit Einzellast A F B 2a a C30° Bild 1.58 a) Balken auf zwei Stützen mit Einzellast, a) Lagerreaktionen:  : B : A :   1. Bereich 2. Bereich  2 Schnitte notwendig mit zweckmäßig jeweils einem eigenen Bezugssystemen für jeden Bereich zur Beschreibung der Schnittstellen  2 Bereiche A F B 2a a C30° FBFB F AH F AV b) b) Schnittbild für Lagerreaktionen Ende ?

92 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 92 Werte an den Bereichsgrenzen : 1. Bereich: 0  z 1  2a  : F AH + F L1 = 0  : - F AV + F Q1 = 0 S 1 : - M b1 + F AV  z 1 = 0 z1z1 y1y1 A F AH F AV S1S1 F B 2a - z 1 a C30° FBFB S1S1 Bild 1.60 Schnittbild für den 1. Bereich negatives Schnittufer positives Schnittufer F Q1 F L1 M b1 F Q1 F L1 M b1 Hinweis: Zur Berechnung der Schnittgrößen für einen Bereich können wahlweise zwei Teilsysteme (System mit dem positiven bzw. dem negativen Schnittufer) verwendet werden. Natürlich ergeben sich für beide Teilsysteme identische Ergebnisse. Man sollte deshalb immer das einfachere Teilsystem wählen! Wir wählen hier das linke Teilsystem mit dem positiven Schnittufer. Aus den Gleichgewichts- bedingungen an diesem Teilsystem folgen die Schnittgrößen für den 1. Bereich: Ende ?

93 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 93 A F 2a C F AH F AV y2y2 z2z2 S2S2 S2S2 B a a-z 2 Bild 1.61 Schnittbild für den 2. Bereich 2. Bereich: 0  z 2  a Werte an den Bereichsgrenzen: M b2 (z 2 =0) = 1 / 3 Fa, M b2 (z 2 =a) = 0  F L2 = 0 Im 2. Bereich wählen wir von den beiden möglichen Teilsystemen das rechte Teilsystem mit dem negativen Schnittufer, da dieses Teilsystem einfacher ist!  M b2 = M b2 (z 2 ) = 1 / 3 F(a-z 2 )  F Q2 = - F B = - 1 / 3 F F Q2 F L2 M b2 F Q2 F L2 M b2 positives Schnittufer negatives Schnittufer Die Gleichgewichtsbedingungen am rechten Teilsystem liefern:  : - F L2 = 0 S 2 : M b2 - F B (a-z 2 ) = 0  : F Q2 + F B = 0 Auf der folgenden Seite werden die in den beiden Bereichen ermittelten analytischen Schnitt- größenverläufe grafisch dargestellt. Die grafische Darstellung vermittelt einen schnellen und übersichtlichen Eindruck von Verlauf der Schnittgrößen im gesamten System. Ende ?

94 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 94 Grafische Darstellung der Schnittgrößenverläufe: (vgl. analytischen Verläufe auf den zwei letzten Seiten) Hinweis: Die grafische Darstellung ist eine bereichsweise Funktionsdarstellung senkrecht zur Trägerachse. Sie gibt einen optischen Überblick über die Beanspruchung des Trägers. F L - Verlauf z1z1 F L1 F L2 z2z2 z1z1 y1y1 A F B 2a a C30° y2y2 z2z2 M b - Verlauf Hinweis: Die Kräfte im F Q -Verlauf können zur Kontrolle oder gleich zur Konstruktion des Querkraftverlaufs verwendet werden. F Q - Verlauf Hinweis: Im folgenden werden bei der grafischen Darstellung der Schnittgrößen die Bezugssysteme nicht mehr mit- gezeichnet. Eindeutigkeit wird durch Vorzeichen in den Flächen und Kenn- zeichnung (z. B. F Q - Verlauf) erreicht. Bild 1.62 Schnittgrößenverläufe Hinweis: Die allgemeinen Folgerungen aus den differentiellen Beziehungen zwi- schen den Schnittgrößen (Kapitel 1.6.3) können sowohl für die grafische Dar- stellung als auch für die Kontrolle der grafischen bzw. der analytischen Schnitt- größenverläufe sehr hilfreich eingesetzt werden. Ende ?

95 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 95 b) q(z)dz y zdz S z y, b) differentielles Balkenelement der Länge dz F q(z) 1.6.3Differentielle Beziehungen Gleichgewichtsbetrachtungen am differentiellen Balkenelement liefert:  : ( F L + dF L ) - F L = 0  : ( F Q + dF Q ) - F Q + q(z)·dz = 0 Wir schneiden aus dem Balken eines differentiellen Element der Länge dz heraus und tragen die Schnittgrößen am positiven (mit differentiellen Zunahmen) und negativen Schnittufer an (Bild 163 b). S : ( M b + dM b ) - M b - (F Q dz +dF Q dz) - ½q(z)·dz 2 = 0  dF L = 0  dF Q + q(z)·dz = 0  dM b - F Q ·dz = 0 00 00 FQFQ MbMb FLFL F Q +dF Q M b +dM b F L +dF L Bild 1.63 a) Balken a) Daraus folgen die differentiellen Beziehungen: (1.23) (1.24) (1.25) Ende ?

96 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 96 Hinweis: Wir haben hier angenommen, dass auf den Balken nur eine Streckenlast q y (z) = q(z) senkrecht zur Balkenlängsachse einwirkt. Falls auch eine Streckenlast q z (z) in Richtung der Längsachse z wirkt, z. B. infolge des Eigengewichts eines senkrecht oder schräg stehenden Balkens, dann gilt für die differentielle Beziehung der Längskraft statt der Gleichung (1.23) Empfehlungen zur Schnittgrößenermittlung: Benutzen Sie die differentiellen Beziehungen zur Kontrolle der analytischen Funktionen und zur Unterstützung bei der grafischen Darstellung. Bei unverzweigten Tragwerken sollten alle z-Achsen im gleichen Durchlaufsinn und alle y-Achsen zur gleichen Seite hin orientiert werden, damit im F Q - und im M b -Verlauf an den Übergangstellen der Bereiche die gleichen Schnittgrößendefinitionen gelten. Treten in einem Tragwerk Unstetigkeitsstellen hinsichtlich Belastung oder Geometrie auf, so beginnt man zweckmäßig an diesen Stellen einen neuen Bereich mit einem neuen Koordinatensystem. Ende ?

97 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 97 Allgemeine Folgerungen aus den differentiellen Beziehungen: In einem Bereich mit der Streckenlast q(z) = 0 gilt: F Q ist konstant und M b ist eine lineare Funktion. In einem Bereich mit der Streckenlast q(z) = konstant gilt: F Q ist eine lineare Funktion und M b ist eine quadratische Funktion (Parabel). In einem Bereich mit einer linear veränderlichen Streckenlast q(z) gilt: F Q ist eine quadratische Funktion und M b ist eine kubische Funktion. Allgemein gilt: In einem Bereich mit einer Streckenlast q(z), die durch ein Polynom n-ter Ordnung in z darstellbar ist, wird die Querkraft F Q ein Polynom (n + 1)-ter Ordnung und das Moment M b ein Polynom (n + 2)-ter Ordnung. Die Querkraft F Q (z) ist der Anstieg der Funktion für das Moment M b (z). Eine Einzelkraft in y-Richtung bedeutet einen Sprung im Querkraftverlauf und einen Knick im Momentenverlauf. Eine Nullstelle im Querkraftverlauf bedeutet einen Extremwert im Momentenverlauf (die erste Ableitung des Momentes ist gleich Null, siehe Gleichung (1.25)). Beachte: Das Biegemoment kann natürlich an den Bereichsgrenzen betragsmäßig maximale Werte annehmen, ohne dass dort die erste Ableitung Null ist! Daher müssen stets auch die Werte an den Bereichsgrenzen berechnet werden, wenn man das maximale Biegemoment bestimmen möchte. Ende ?

98 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: F AV = F 11 4 F B = F - + F 3 4 F 5 4 Beispiel 1.16 Balken auf zwei Stützen mit vertikalen Einzelkräften 1.6.4Anwendungen F L = 0 a aaa F 2F A B F Q - Verlauf F AV a F B a 7 2 M bMax = Fa 2F F z1z1 y1y1 z2z2 y2y2 z3z3 y3y3 z4z4 y4y4 Bild 1.64 Balken auf zwei Stützen mit vertikalen Einzelkräften Annahme: Die Berechnung der Lagerreaktionen sei bereits erfolgt! Hinweis: Versuchen Sie, die Schnitt- größenverläufe allein unter Zuhilfenahme der differentiellen Beziehungen und den sich daraus ergebenden Schlussfolge- rungen zu ermitteln. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denen in Bild aaa a F 2F F AH = F B = F 9 4 F AV = F An den dabei entstehenden Teilsystemen lassen sich die Schnittgrößen aus Gleich- gewichtsbetrachtungen berechnen. Die Ergebnisse sind in Bild 1.65 grafisch dargestellt. F L - Verlauf Bild 1.65 Schnittgrößenverläufe Für die analytische Berechnung der Schnittgrößenverläufe sind vier Schnitte notwendig. M b - Verlauf Ende ?

99 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 99 A B a a a q F = qa FBFB F AH F AV Bild 1.66 Balken mit konstanter Streckenlast b) Beachte: Belastungen dürfen im Allgemeinen erst nach einer Schnittführung verschoben bzw. durch äquivalente Lasten (z. B. Resultierende von Streckenlasten) ersetzt werden. Das bedeutet, dass zur Berechnung der Schnittgrößen zwischen den Lagern A und B erst nach der Schnittführung in diesem Bereich von der auf dem betrachteten Teilsystem verbleibenden Streckenlast eine resultierende Kraft gebildet werden darf. Beispiel 1.17 Balken auf zwei Stützen mit konstanter Streckenlast z1z1 y1y1 z2z2 y2y2 F R = 2qa  : F AH = 0  F AV = 0,5·qa  F B = 2,5·qa B : F AV ·2a - F R a + Fa = 0 Merke: Erst schneiden, dann eventuell Resultierende bilden! Schnitt für Lagerreaktionen Schnitt im 2. Bereich Schnitt im 1. Bereich Hinweis: Zur Berechnung der Lager- reaktionen darf die Strecken- last durch ihre resultierende Kraft F R =2qa ersetzt werden. Lagerreaktionen (vgl. Bild 1.66 b): Gesucht: Analytische Funktionen der Schnittgrößen und grafisch Darstellung A B 2a a q F = qa a) A : F R a - F B ·2a + F·3a = 0 Ende ?

100 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 100  F Q1 = q ( 0,5·a - z 1 ) A z1z1 y1y1 F AH F AV S1S1 Bild 1.67 Schnittbild für den 1. Bereich  : - F AV + q·z 1 + F Q1 = 0 M b1 (z 1 = 0) = 0 M b1 (z 1 = 2a) = - q a 2 1. Bereich: 0  z 1  2a Schnittgrößen an den Bereichsgrenzen: F L1 F Q1 M b1 S 1 : - M b1 + F AV z 1 - q·z 1 ·0,5·z 1 = 0 Wir wollen eine Kontrolle der Schnittgrößenverläufe im 1. Bereich mit Hilfe der differentiellen Beziehungen vornehmen. Es gilt im 1. Bereich nach dem Einsetzen der berechneten Schnitt- größen in die differentiellen Beziehungen (Gleichungen (1.23) bis (1.25)): und  Die differentiellen Beziehungen sind im 1. Bereich erfüllt! F Q1 (z 1 = 0) = 0,5 q a F Q1 (z 1 = 2a) = -1,5 q a z12z12 qz 1  F L1 = 0  M b1 = 0,5·qz 1 (a - z 1 )  : F L1 + F AH = 0 Gleichgewicht am linken Teilsytem (Bild 1.67) liefert: Ende ?

101 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 101 Besondere Punkte: Aus den differentiellen Beziehungen folgt, dass das Moment dort einen Extremwert hat, wo die Querkraft Null ist. Diesen Punkt bezeichnen wir mit C und ermitteln die Nullstelle z 1C der Querkraft aus Bei z 1C = 0,5a ergibt sich damit folgender Extremwert für das Biegemoment: Zur besseren grafischen Darstellung ermitteln wir noch den Punkt D, an dem das Moment Null wird. Die sich formal noch ergebende Lösung z 1D = 0 ist bereits bekannt. Ende ?

102 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 102 F=qa S2S2 z2z2 y2y2 a – z 2 Bild 1.68 Schnittbild für den 2. Bereich 2. Bereich: 0  z 2  a F L2 F Q2 M b2  : - F Q2 + F = 0 S 2 : M b2 + F (a - z 2 ) = 0 und Im 2. Bereich ermitteln wir die Schnittgrößen am rechten, wesentlich einfacheren Teilsystem.  F Q2 = F = q a  M b2 = - F (a - z 2 ) = - q a (a - z 2 )  F L2 = 0 Wir wollen eine Kontrolle der Schnittgrößenverläufe auch im 2. Bereich mit Hilfe der differentiellen Beziehungen vornehmen. Es gilt im 2. Bereich nach dem Einsetzen der berechneten Schnittgrößen in die differentiellen Beziehungen (Gleichungen (1.23) bis (1.25)):  Die differentiellen Beziehungen sind im 2. Bereich erfüllt! M b2 (z 2 = 0) = - q a 2 M b2 (z 2 = a) = 0 Schnittgrößen an den Bereichsgrenzen : Beachte: Das Biegemoment am Beginn des zweiten Bereichs (bei z 2 = 0) ist gleich dem Biegemoment am Ende des ersten Bereichs (bei z 1 = 2a).  : F L2 = 0 Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt: Ende ?

103 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 103 _ - qa 2 qa _ F AV Grafische Darstellung der Schnittgrößen: (vgl. analytischen Verläufe auf den drei letzten Seiten) F L -Verlauf F L = 0 M b -Verlauf F + F Q -Verlauf FBFB B a a q F=qa A FBFB F AH F AV CD a 2 a 2 z1z1 y1y1 z2z2 y2y2 Bild 1.69 Schnittgrößenverläufe für Balken auf zwei Stützen mit konstanter Streckenlast Ende ?

104 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 104 Beispiel 1.18 Verzweigter Träger mit Einzellast a a 2a B A F z1z1 y1y1 z2z2 y2y2 z3z3 y3y3  F AV = F Bild 1.70 Verzweigter Träger mit Einzellast Aus den Gleichgewichtsbedingungen erhalten wir für die Lagerreaktionen die folgenden Lösungen:  : F AV - F = 0 A : - F B  2a + F  2a = 0  : F AH - F B = 0  F B = F  F AH = F Es werden drei Schnitte in den drei Bereichen des verzweigten Trägers notwendig. Zur Festlegung der Schnittstellen definieren wir für jeden Bereich ein eigenes Bezugssystem (siehe Bild 1.70 oben). F FBFB F AV F AH 2a a a B A Ende ?

105 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 105 Fa + 2Fa + M b -Verlauf : V Bild 1.72 Momentengleichgewicht an der Verzweigungsstelle F F AV + F F Q -Verlauf : F B =F F AH M b2 (z 2 =0)=-Fa M b1 (z 1 =a)=Fa M b3 (z 3 =0)=2Fa Hinweis: Unmittelbar an der Verzweigungsstelle V muss das Kraft- und Momentengleichgewicht erfüllt sein. Zum Beispiel ist für das Biegemoment M b bei einem Schnitt unmittelbar bei V das Momentengleichgewicht  M=0 erfüllt (vgl. Bild 1.72). Tabelle 1.2 Schnittgrößen für verzweigten Träger mit Einzellast 1. Bereich: 0  z 1  a y2y2 F F Q2 F L2 M b2 S2S2 z2z2 a - z 2 2. Bereich: 0  z 2  a y3y3 FBFB F Q3 F L3 M b3 S3S3 z3z3 2a - z 3 3. Bereich: 0  z 3  2a F L1 A z1z1 y1y1 F AH F AV F Q1 M b1 S1S1 F L -Verlauf : Bild 1.71 Schnittgrößenverläufe für verzweigten Träger V : Fa - 2Fa - (-Fa) = 0  0 = 0 Ende ?

106 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 106 A q0q0 a b) Freischneiden d) Schnittgrößen A a c) Schnitt bei z: Bild 1.73 a) Kragträger mit Dreiecklast, b) Schnittbild, c) Schnitt bei z, d) Schnittgrößenverläufe Die Lagerreaktionen, die man dann zweckmäßig so positiv definiert wie die Schnittgrößen an diesem Schnittufer (Bild 1.73 b), können später aus den Schnitt- größen am Lager A ermittelt werden (siehe unten). - q 0 a q 0 a Hinweis: Bei diesem Beispiel lassen sich die Schnittgrößen ohne vorherige Berechnung der Lagerreaktionen bestimmen, wenn als Teilsystem, an dem die Schnittgrößen berechnet werden, das freie Trägerende gewählt wird (Bild 1.73 c). Beispiel 1.19 Kragträger mit Dreieckstreckenlast F L = 0 Lagerreaktionen aus den Schnittgrößen bei A: q(z)= z, q 0 a FLFL FQFQ MbMb z y S F R (z)= q(z)·z= z 2 q 0 2a 1212 F R (z) z3z3 Kontrolle: F AV F AH =0 MAMA z y A a q0q0 M A = M b (z=a) = - q 0 a F L - Verlauf F Q - Verlauf M b - Verlauf a)  die differentiellen Beziehungen sind erfüllt! F AH = F L (a) = 0, 1212 F Av =F Q (a) = - qa, q0q0 q(z) Ende ?

107 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 107 Beispiel 1.20 Gerberträger mit konstanter Streckenlast A B a q G C a a z2z2 y2y2 z3z3 y3y3 Bild 1.74 Gerberträger F AH F AV A q G a B a C a G Schnitt im Gelenk und an den Lagern Bild 1.75 Freigeschnittener Gerberträger mit Bezugssystemen und angedeuteter Schnittführung z1z1 y1y1 F GV F GH F GV FBFB FCFC Wir prüfen: Der Gerberträger weist keine unzulässigen Gelenk- und Lageranordnungen auf (vgl. Kapitel 1.5.3) und die notwendige Bedingung (1.20) b = 3n für die statische Bestimmtheit von Scheibenverbindungen ist mit b = 6 (vier Bindungen durch die Lager A, B und C und zwei durch das Gelenk G) und n = 2 (zwei starre Scheiben) erfüllt ist. Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung am rechten Teilsystem von Bild 1.75 liefert:  : Aus Gleichgewichtsbedingungen am linken Teilsystem von Bild 1.75 folgt:  : : G : C : Am rechten Teilsystem erhalten wir B : A : Ende ?

108 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 108 Tabelle 1.3 Schnittgrößen für Gerberträger 1. Bereich: 0  z 1  a F L1 qz 1 z1z1 y1y1 F Q1 M b1 S1S1 F AH = 0 F AV = qa 2 A 2. Bereich: 0  z 2  a F L2 G z2z2 y2y2 F GH = 0 F Q2 M b2 S2S2 F GV = qa 2 3. Bereich: 0  z 3  a y3y3 F Q3 F L3 M b3 S3S3 z3z3 a - z 3 F C = - qa 2 C Für die grafische Darstellung der Schnittgrößen ist die Kenntnis von Ort und Größe des Extremwertes des Biegemomentenverlaufs (quadratische Funktion) im 1. Bereich nützlich. Analog zur Berechnung des Extremwertes im Beispiel 1.17 folgt: Ort: Extremwert: Die grafische Darstellung der analytischen Schnittgrößenverläufe in den drei Bereichen (siehe Tabelle 1.3) erfolgt auf der nächsten Seite. Ende ?

109 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 109 Bild 1.76 Schnittgrößen für den Gerberträger 1818 qa 2 A B a q G C a qa z1z1 y1y1 z2z2 y2y2 z3z3 y3y3 a F L = 0 F L - Verlauf F Q - Verlauf D z 1D qa qa 2 M b - Verlauf Schnittgrößenverläufe: Ende ?

110 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 110 Bild 1.77 Koordinatensystem 1.7Zentrales räumliches Kraftsystem Definition: Eine räumlich angeordnete Gruppe von Kräften (nicht in einer Ebene liegend) heißt zentrales räumliches Kraftsystem, wenn sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden. Es ist die Verallgemeinerung des ebenen zentralen Kraftsystems. Die Erkenntnisse aus dem ebenen zentralen Kraftsystem über die Bildung der resultierenden Kraft und über die Kraftzerlegung gelten auch hier, wenn die neu hinzukommende dritte Koordinaten- richtung beachtet wird. x y z Bezugssystem: Die räumliche Anordnung der Kräfte wird im Allgemeinen in einem räumlichen kartesischen (x,y,z)-Koordinaten- system beschrieben, wobei die Achsen in der Reihenfolge x-y-z ein Rechtssystem bilden sollen (Bild 1.77). Die Lösung räumlicher Probleme erfordert ein räumliches Vorstellungsvermögen und einen höheren Rechenaufwand, erfolgt aber prinzipiell mit den gleichen Methoden, die wir schon in den vorangegangenen Kapiteln kennen gelernt haben. Bei der Lösung praktischer Probleme wird man nicht immer mit einem ebenen Modell auskom- men, sondern muss gegebenenfalls die dreidimensionale Ausdehnung des Tragwerkes sowie die in beliebiger Raumrichtung wirkenden Kräfte und Momente berücksichtigen, um eine kor- rekte Lösung zu erhalten. Ende ?

111 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 111 x y z Bild 1.78 Komponenten einer Kraft F i Die grafische Ermittlung der Resultierenden aus n Kräften durch Zeichnen eines räumlichen Kraftecks ist prinzipiell möglich, aber nicht praktikabel und wird deshalb hier nicht weiter beschrieben Ermittlung der Resultierenden Allgemein gilt bei n Kräften als Verallgemeinerung des ebenen Falles für die resultierenden Komponenten in x-, y- und z-Richtung und für die Resultierende F R : Analytische Lösung Grundidee: Zerlegung der Kräfte F i in jeweils 3 Komponenten. F ix Es gilt: F ix = F i cos  F iy F iy = F i cos  F iz Beachte: Eine Kraft im Raum lässt sich eindeutig nur in drei Richtungen zerlegen, wenn diese nicht in einer Ebene liegen. Grafische Lösung    FiFi und wegen cos 2  cos 2  cos 2  = 1 auch umgekehrt (1.28) F iz = F i cos  (1.26) (1.27)  Ende ?

112 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 112 Weitere Gleichungen können gegebenenfalls zur Kontrolle benutzt werden. Von diesen sind jedoch nur drei linear unabhängig, so dass daraus nur drei Unbekannte berechnet werden können. Beachte: Da das Gleichgewicht in jeder beliebigen Richtung aufgeschrieben werden kann, gibt es unendlich viele Gleichgewichtsbedingungen. Eine Resultierende ist Null, wenn jede der drei Komponenten der Resultierenden Null ist. Analytisch wird der Gleichgewichtszustand mit Gleichung (1.28) durch die folgenden drei Gleichgewichtsbedingungen beschrieben: 1.7.2Gleichgewicht einer zentralen räumlichen Kräftegruppe Eine zentrale räumliche Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende gleich Null ist (F R = 0). (1.29) Ende ?

113 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 113 x y z b), b) Komponenten der Kräfte Beispiel 1.21 Stabkräfte in einem räumlichen Stabdreischlag (Dreibock) a F a a  F S2 = F (Zugstab) F S2 Gesucht: F S1, F S2, F S3 Gegeben: F, a F S3 45° F S1 45° Das Aufschreiben der drei Gleichgewichtsbedingungen (1.29) ergibt (vgl. Bild 1.80 b):  F S3 = - F (Druckstab)  F S1 = - F (Druckstab) Knotenschnitt F 45° : Bild 1.79 Dreibock F S2 F F S1 F S3 Bild 1.80 a) Schnittskizze nach dem Knotenschnitt a) Annahme: Die Gelenke sind reibungsfreie Kugelgelenke. Ende ?

114 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 114 Beachte: Das Moment einer Kraft bezüglich einer zu ihrer WL parallelen Achse ist gleich Null. Hier ist dies die z-Achse und deshalb ist M 0z =0. Wir berechnen das Moment der Kraft F z bezüglich des Koordinaten- ursprungs 0 aus dem Versetzungsmoment (siehe Kapitel 1.3.3) der Kraft, welches beim Versetzen von der Wirkungslinie WL auf die parallele Wirkungslinie (z-Achse) durch den Punkt 0 entsteht. Der Betrag des Versetzungsmomentes M 0 wird: M 0x = M 0 sin  = F z  l sin  = F z  y l  x= l cos  y= l sin  FzFz WL z x y 0 Moment einer zur z-Achse parallelen Kraft bezüglich des Koordinatenursprungs Bild 1.81 Moment der Kraft Fz bezüglich 0 1.8Allgemeines räumliches Kraftsystem M 0 steht senkrecht auf der von F z und l aufgespannten Fläche und liegt damit parallel zur (x,y)-Ebene. Die Komponenten von M 0 in x-, y- und z-Richtung (positiv in Koordinatenrichtung), die identisch dem Momenten der Kraft F z bezüglich der Achsen x, y, z sind, lauten: M 0z = 0 M 0y = - M 0 cos  = - F z  l cos  = - F z  x Definition: Eine Kräftegruppe im Raum, deren Wirkungslinien (WL) keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen, bezeichnen wir als allgemeines räumliches Kraftsystem. Es ist die Verallgemeinerung des allgemeinen ebenen Kraftsystems mit l... Lot von 0 auf WL von F z M 0 = F z  l M0M0  M 0 sin  M 0 cos  Ende ?

115 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 115 bzw. mit den Komponenten M 0ix, M 0iy, und M 0iz von in x-, y- und z-Richtung (1.33) Moment einer beliebig orientierten Kraft bezüglich des Koordinatenursprungs Das Moment der Kraft bezüglich des Punktes 0 ist das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) aus dem so genannten Ortsvektor und dem Kraftvektor (vgl. Bild 1.82) (1.30) Mit den Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen lässt sich das Vektorprodukt (1.30) auch in Form einer Determinante darstellen: (1.31) Berechnen wir die Determinante, so lautet das Ergebnis für : (1.32) (1.34) Mit dem räumlichen Pythagoras wird der Betrag von : Ende ?

116 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 116 yiyi xixi zizi FiFi x y z 0 riri F iy F iz F ix Hinweis: Das Moment der Kraftkomponente F iz entspricht genau dem Spezialfall auf Seite 114. M 0ix = - F i y z i + F i z y i M 0iy = - F i z x i + F i x z i M 0iy M 0iz M 0ix Neben der formellen Berechnung aus der Vektor- gleichung, kann das Moment der Kraft auch nach den folgenden Überlegungen ermittelt werden. Satz: Das Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes 0 ist gleich der Summe der Moment der Kraft- komponenten bezüglich dieses Punktes. Die Komponenten von in x-, y- und z-Richtung (positiv in Koordinatenrichtung), die identisch den Momenten der Kraft bzw. seiner Komponenten bezüglich der Achsen x, y, z durch den Punkt 0 sind, ergeben sich aus den folgenden Äquvalenz- betrachtungen (vgl. Bild 1.82). Natürlich sind diese Ergebnisse für die Komponenten von mit denen in (1.32) identisch. M 0iz = - F i x y i + F i y x i (1.35) Bild 1.82 Moment einer beliebigen Kraft F i bezüglich des Punktes 0 Ende ?

117 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 117 Für die resultierende Kraft F R gelten dann die Formeln des zentralen räumlichen Kraftsys- tems (vgl. Kapitel 1.7.1, Gleichung (1.28)). Für die Wirkungslinie der Resultierenden gilt der folgende Hinweis Zusammensetzung von Kräften und Momenten Bei der Zusammensetzung von Kräften eines allgemeinen räumlichen Kraftsystems (wobei auch Momente, die als Kräftepaar angesehen werden könnten, vorhanden sein dürfen) erhalten wir im Allgemeinen eine resultierende Kraft und ein resultierendes Moment. Das resultierende Moment entsteht infolge der Momente der Kräfte in bezug auf den gewählten Bezugspunkt (siehe eine Seite zurück), in den wir alle Kräfte parallel verschieben, um zur Bildung der resultierenden Kraft ein zentrales räumliches Kraftsystem zu erhalten. (1.36) Hinweis: Die Momentensumme in (1.36) kann sich aus der Summe der Momente von Kräften F i und aus Einzelmomenten M i zusammensetzen. Hinweis: Die Wirkungslinie der resultierenden Kraft F R eines allgemeinen räumlichen Kraftsys- tems verläuft durch den gewählten Bezugspunkt „0“, auf den das resultierende Moment M 0R (siehe Gleichung (1.36)) bezogen wird. Die Komponenten des resultierenden Momentes M 0R berechnen wir nach (1.32) bzw. (1.35) als Summe der Komponenten der Momente der einzelnen Kräfte in bezug auf den gewählten Bezugspunkt „0“. Es ergibt sich: Ende ?

118 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente Beachte: Da von den unendlich vielen Gleichgewichtsbedingungen, die an einem starren Körper aufgeschrieben werden können, nur sechs linear unabhängig sind, lassen sich daraus nur sechs Unbekannte berechnen. Satz: Ein allgemeines räumliches Kräftesystem ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft F R und das resultierende Moment M 0R für einen beliebigen Bezugspunkt „0“ gleich Null sind. Daraus ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen des allgemeinen räumlichen Kraftsystems zu (1.37) (1.38) Ende ?

119 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 119 ungebundener starrer Körper mit 6 Bewegungsmöglichkeiten Bild 1.83 Freiheitsgrad und statisch bestimmte Lagerung eines starren Körpers im Raum 1.8.3Räumlich gestützter Körper Ein ungebundener starrer Körper hat im Raum sechs unabhängige Bewegungsmöglichkeiten (3 Translationen, 3 Rotationen). Der Freiheitsgrad beträgt somit f = 6 (siehe Bild 1.83). Für eine statisch bestimmte Lagerung müssen diese Bewegungsmöglichkeiten verhindert werden, so dass f=0 gilt. Dazu dienen ein- bis sechswertige Lager, d. h. Lager, die eine oder maximal sogar sechs Bewegungsmöglichkeiten an einem Punkt verhindern. f = 6 f = 0 statisch bestimmte Lagerung So ist z. B. der im Bild 1.83 rechts dargestellte Körper durch sechs Stabstützen statisch bestimmt gelagert. Ende ?

120 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 120 Stabstütze (Pendellager): Die Lagerung erfolgt durch einen Stützstab, der mit dem Körper und der Umgebung gelenkig verbunden ist (Bild 1.84 und Bild 1.83). Der Stab nimmt nur eine Kraft in der Längs- richtung auf. Es handelt sich also um ein einwertiges Lager. Auswahl räumlicher Lager Bild 1.84 Räumliche Stabstütze Räumliches Loslager: Das Loslager (Bild 1.85) ist gelenkig mit dem Körper verbunden und kann reibungsfrei auf der Lagerfläche gleiten. Eine Kraftaufnahme ist nur normal zu dieser Fläche möglich. Es handelt sich also ebenfalls um ein einwertiges Lager. Bild 1.85 Räumliches Loslager Räumliches Festlager: Im Unterschied zum Loslager ist das Festlager (Bild 1.86) starr mit der Umgebung verbunden. Es nimmt deshalb Kräfte in beliebiger Richtung (bzw. in drei vorgegebene Richtun- gen) auf. Es handelt sich damit um ein dreiwertiges Lager. Bild 1.86 Räumliches Festlager Räumliche Einspannung: Der Träger (Bild 1.87) so mit der Umgebung verbunden, das Kräfte und Momente in beliebiger Richtung (bzw. in drei vorgegebenen Richtungen) aufgenommen werden können. Die räumliche Einspannung ist also ein sechswertiges Lager. Bild 1.87 Räumliche Einspannung Ende ?

121 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 121 Beispiel 1.22 Abgewinkelter Träger mit räumlicher Belastung und Lagerung Ein räumlich abgewinkelter Träger ist durch ein Festlager (b = 3), ein Loslager (b = 1) und zwei Stützstäbe (beide zusammen b = 2) gelagert ist (Bild 1.88). Die insgesamt b = 6 Bindungen fixieren den Träger eindeutig, so dass f = 0 gilt. A C 2a F 1 =qa q F 2 =2qa 1 2 a2a2 a2a2 B FBFB F S1 F S2 F Ax F Ay F Az Bild 1.88 Abgewinkelter Träger mit räumlicher Belastung und Lagerung Zur Ermittlung der Lagerreaktionen schneiden wir den Trägern von den Auflagern frei und tragen die Lagerreaktionen an (Bild 1.89). x y z a A C a F 1 =qa F 2 =2qa a2a2 a2a2 B D Bild 1.89 Schnittskizze mit Lagerreaktionen für einen abge- winkelten Träger mit räumlicher Belastung und Lagerung F R =2qa Hinweis: Schreibt man die Gleichge- wichtsbedingungen in geigneter Reihen- folge auf, so lassen sich häufig die Un- bekannten der Reihe nach berechnen, ohne das ein Gleichungssystem gelöst werden muss. Aus sechs Gleichgewichtsbedingungen folgt: Ende ?

122 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 122 Zur Kontrolle bilden wir noch und erkennen, dass die Kontrollgleichung identisch erfüllt ist. Hinweis: Kraftgleichgewichtsbedingungen können auch durch Momentengleichgewichts- bedingungen ersetzt werden, wodurch sich oft die Lösungen für einzelne Lagerreaktionen unabhängig voneinander ergeben. Bei dem oben behandelten Beispiel 1.22 könnten für die letzten zwei Gleichgewichtsbe- dingungen z. B. aufgeschrieben werden (vgl. Bild 1.89), aus denen dann unabhängig von anderen Lager- reaktionen die Lagerreaktionen F Ay und F B folgen würden. D :und Achse AC : Ende ?

123 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 123 Als Bezugssystem für die Definition der räumlichen Schnittgrößen verwenden wir ein kartesisches (x,y,z)-Koordinatensystem (Rechtssystem), wobei wir die z-Achse wieder in Richtung der Balkenlängsachse (Verbindungsgerade aller Querschnittsschwerpunkte) legen (vgl. Kapitel 1.6.1) Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken Definition der räumlichen Schnittgrößen x y z FLFL MtMt F Qx F Qy M by M bx MtMt F Qx M by F Qy FLFL positives Schnittufer negatives Schnittufer Bild 1.90 Definition der positiven räumlichen Schnittgrößen Analog zur räumlichen Einspannung kommen zu den drei Schnittgrößen des eben belasteten Balkens (F L, F Qy und M bx, vgl. Kapitel 1.6.1) noch drei neue Schnittgrößen (F Qx, M by und M t ) hinzu, so dass sich insgesamt sechs Schnittgrößen (siehe Bild 1.90) ergeben, die im Allgemeinen Fall eine Funktion von z sind. Auf der folgenden Seite werden die positive Definition sämtlicher Schnittgrößen angegeben, wobei die bereits am ebenen Balken (vgl. Kapitel 1.6.1) eingeführten Schnittgrößen nochmals wiederholt werden. Ende ?

124 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 124 Beachte: Am positiven Schnittufer stimmt der positive Richtungssinn der Schnittgrößen mit Ausnahme von M by mit dem positiven Richtungssinn der Koordinatenachsen überein. M t -Torsionsmoment um eine zur z-Achse parallele Achse: am positiven Schnittufer positiv in positiver z-Richtung, d. h. die Doppelpfeilspitze zeigt in die positive z-Richtung. F Qy -Querkraft: positiv am positiven Schnittufer in positiver y-Richtung. F L - Längskraft (oft auch als Normalkraft F N bezeichnet) positiv am positiven Schnittufer in positiver z-Richtung. M bx -Biegemoment um eine zur x-Achse parallele Achse: am positiven Schnittufer positiv in positiver x-Richtung, d. h. die Doppelpfeilspitze zeigt in die x-Richtung. F Qx -Querkraft: positiv am positiven Schnittufer in positiver x-Richtung. M by -Biegemoment um eine zur y-Achse parallele Achse: am positiven Schnittufer positiv in negativer y-Richtung, d. h. die Doppelpfeilspitze zeigt in die negative y-Richtung. Die oben angegebene weit verbreitete Definition der Schnittgrößen sichert, dass am positiven Schnittufer sämtliche Schnittkräfte und das Torsionsmoment in positive Koordinatenrichtung weisen und positive Biegemomente die Balkenunterseiten (das sind die Seiten, die einen positiven Abstand vom Schwerpunkt haben) dehnen. Hinweis: Natürlich sind auch alternative Definitionen möglich (vgl. Hinweis Seite 89). Ende ?

125 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 125 Tabelle 1.4 Schnittgrößen für den eingespannten räumlichen Kragträger (Bild 1.91) 1. Bereich: 0  z 1  b Dadurch vermeiden wir die vorherige Ermittlung der Lagerreaktionen. Im Bedarfsfall können diese später direkt aus den Schnittgrößenverläufen ermittelt werden (vgl. Beispiel 1.19). q F1F1 F2F2 b a Bild 1.91 Räumlicher Kragträger Beispiel 1.23 Eingespannter räumlicher Kragträger x1x1 y1y1 z1z1 x2x2 y2y2 z2z2 Der Kragträger in Bild 1.91 besteht aus zwei Bereichen, für die wir die beiden Bezugssysteme (x 1,y 1,z 1 ) und (x 2,y 2,z 2 ) zur Beschreibung der Schnittgrößenverläufe einführen. Zur Ermittlung der Schnittgrößen schneiden wir den Träger zweimal und schreiben die Gleichgewichtsbedingungen jeweils für das rechte Teilsystem auf (Ergebnisse siehe Tabelle 1.4). M t1 M bx1 F Qx1 F Qy1 F L1 M by1 F2F2 q x1x1 y1y1 z1z1 S1S1 2. Bereich: 0  z 2  a x2x2 y2y2 z2z2 S2S2 F2F2 q F1F1 b M by2 M t2 M bx2 F Qx2 F Qy2 F L2 F L1 = -F 2 M bx1 = -0,5qz 1 2 F Qx1 = 0M by1 = 0 F Qy1 = -qz 1 M t1 = 0 F L2 = -F 2 M bx2 = -qb(0,5b+z 2 ) F Qx2 = F 1 M by2 = F 1 z 2 F Qy2 = -qb M t2 = 0 Ende ?

126 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 126 q F1F1 F2F2 b a x1x1 y1y1 z1z1 x2x2 y2y2 z2z2 F1aF1a + M by F1F1 + F Qx qb - F Qy M t M t = 0 - 0,5qb 2 qb(0,5b+a) MbxMbx Bild 1.92 Schnittgrößenverläufe für den räumlichen Kragträger (Bild 1.91) Darstellung der Schnittgrößenverläufe nach Tabelle 1.4: F2F2 - F L F L - Verlauf F Q - Verlauf M b - Verlauf M t - Verlauf Ende ?

127 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 127 y z x g Körper Bild 1.93 Schwerpunkt eines starren Körpers 1.9.1Massenschwerpunkt 1.9Schwerpunkt Der Schwerpunkt S (Massenmittelpunkt) eines Körpers ist der Punkt, in dem die Resultierende aller Massenkräfte angreift. Die Resultierende aller Massenkräfte ist die Gewichtskraft F G des Körpers. Annahmen: Der Körper sei im Vergleich zur Erde klein. Das bedeutet, die Erdbeschleunigung g ist im Körper konstant und alle Massenkräfte verlaufen parallel. g·dm y x z dm, dV FGFG xSxS ySyS zSzS S m-Masse des Körpers dm-differentielles Massenelement V-Volumen des Körpers dV-differentielles Volumenelement  -Dichte des Materials g-Erdbeschleunigung Es bedeuten: Äquivalenzbetrachtungen für die Kräfte in z-Richtung und für die Momente um die x- und die y-Achse liefern Gleichungen zur Berechnung der geometrischen Lage (x S, y S ) von S. Es folgt (vgl. Bild 1.93): (1.39) Ende ?

128 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 128 (1.40)  (1.41)  Dreht man den Körper in Bild 1.93 einschließlich des Koordinatensystems um einen Winkel von 90° um die x-Achse, so zeigt die Gewichtskraft F G und die differentielle Gewichtskraft g  dm in die negative y-Richtung. Aus dem Momentengleichgewicht um die x-Achse folgt dann: (1.42)  Hat der Körper eine konstante Dichte , bezeichnet man ihn als homogen. (1.43) dm =  dV m =  V Es gilt dann mit: Beachte: Der Schwerpunkt ist in diesem Fall eine rein geometrische Größe. Er wird deshalb auch Volumschwerpunkt genannt. Hinweis: Integrale vom Typ und, wie sie in (1.40) bis (1.43) vorkommen, werden statische Momente genannt. Ende ? 1.9.2Volumenschwerpunkt

129 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 129 (1.44) Damit lauten die Koordinaten des Flächenschwerpunktes: Aus der 1. Gleichung von (1.43) für den Volumenschwer- punkt homogener Körper folgt für eine dünne homogene Scheibe der Fläche A mit konstanter Dicke h (h  0) und mit dV = hdA und V = hA (siehe Bild 1.94) 1.9.3Flächenschwerpunkt ebener Flächen Ein analoges Ergebnis erhalten wir für y S aus der zweiten Gleichung von (1.43). Bild 1.94 Flächenschwerpunkt Fläche A x y dA x y S xSxS ySyS Die in den Gleichungen (1.44) auftretenden Flächenintegrale werden als statische Momente der Fläche A bezüglich der x-Achse (S x ) bzw. der y-Achse (S y ) bezeichnet: (1.45) (statische Momente) Ende ?

130 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 130 Damit lassen sich die Gleichungen (1.44) für den Flächenschwerpunkt wie folgt schreiben: und Wird das Bezugskoordinatensystemsystem genau in den Flächenschwerpunkt S gelegt, so gilt x s = y s = 0, woraus S x = S y = 0 folgt. Satz: Das statische Moment bezüglich einer Achse durch den Flächenschwerpunkt ist gleich Null. x y R Bild 1.95 Schwerpunkt einer Halbkreisfläche Beispiel 1.24 Flächenschwerpunkt einer Halbkreisfläche erhalten wir aus den Gleichungen (1.44) für die Schwerpunktskoordinaten Mit Beachte: Das Ergebnis x S = 0 war aus Gründen der Symmetrie zu erwarten! sowie S ySyS x y dA=r·d  ·dr  dr dd r Ende ?

131 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Linienschwerpunkt ebener Linien Aus der 1. Gleichung von (1.43) für den Volumen- schwerpunkt homogener Körper folgt für einen sehr dünnen linienförmigen Körper der Länge l mit einer sehr kleinen, konstanten Querschnittsfläche A (A  0) und mit dV = A  ds und V = A  l (siehe Bild 1.96) Ein analoges Ergebnis erhalten wir für y S und z S aus der zweiten und dritten Gleichung von (1.43). Damit lauten die Schwerpunktkoordinaten einer ebenen Linie: (1.46) Linie der Länge l x y S xSxS ySyS x y s ds Bild 1.96 Linienschwerpunkt Ende ?

132 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Schwerpunkt zusammengesetzter Gebilde Ist ein Gebilde (Körper, Fläche oder Linie) aus einer endlichen Anzahl einzelnen Bestandteilen zusammengesetzt, für die die Koordinaten der Schwerpunkte bekannt sind, dann kann der Schwerpunkt des Gesamtsystems durch Summation über die Bestandteile ermittelt werden (Ausschnitte lassen sich mit negativem Vorzeichen der ausgeschnittenen Volumen, Flächen oder Linien in den Formeln berücksichtigen). (1.47) So gilt z. B. für den Flächenschwerpunkt einer aus n Teilflächen bestehenden ebenen Fläche: Ende ?

133 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Hinweise zur Berechnung von Schwerpunkten Statische Momente in Bezug auf Symmetrieachsen sind stets Null. Wenn zwei Symmetrieachsen vorhanden sind, so liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen. Hat das zu berechnende Gebilde (Körper, Fläche oder Linie) eine Symmetrieachse, so liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse. Der Massenmittelpunkt wird vorrangig in der Statik und in der Dynamik als Angriffspunkt der Gewichtskraft und von Trägheitskräften und Trägheitsmomenten benötigt. Der Volumenschwerpunkt hat Bedeutung für die Vereinfachung von homogenen Körpern. Den Flächenschwerpunkt benötigen wir in der Festigkeitslehre zur Festlegung eines Bezugssystems zur Berechnung von Querschnittskennwerten, die wiederum für die Berechnungen von Spannungen- und Verformungen benötigt werden. Der Linienschwerpunkt hat Bedeutung bei der Berechnung dünnwandiger offener und geschlossener Querschnitte sowie beim Stanzen und Abscheren von Blechen. So wird beispielsweise dann ein gutes Stanzergebnis erzielt, wenn die Belastung durch das Werkzeug im Linienschwerpunkt der zu stanzenden Kontur wirkt. Ende ? Hinweis: Bei räumlich gekrümmten Flächen bzw. Linien lässt sich die z s -Koordinate aus berechnen, die die Gleichungen (1.44) bzw. (1.46) ergänzen. bzw.

134 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Definition der Flächenträgheitsmomente 1.10Flächenträgheitsmomente Die Flächenträgheitsmomente sind in der Festigkeitslehre benötigte Größen (Integrale), die bei der Berechnung von Spannungen und Verformungen benötigt werden. Die Flächenträg- heitsmomente hängen nur von der Form und der Größe des Querschnitts und der Lage des Bezugssystems ab. Axiale Flächenträgheitsmomente Bild 1.97 x y Fläche A 0 x y r dA Hinweis: Die axialen Flächenträgheitsmomente werden auch äquatoriale Trägheitsmomente genannt. (1.48) (1.49) Die axialen Flächenträgheitsmomente I xx und I yy bezogen auf die x-Achse bzw. auf die y-Achse sind folgendermaßen definiert (vgl. Bild 1.97): Ende ?

135 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 135 Polares Flächenträgheitsmoment Das polare Flächenträgheitsmoment I p ist definiert als (vgl. Bild 1.97) (1.51) Zentrifugal- oder Deviationsmoment Das Zentrifugalmoment I xy, das teilweise auch als Deviationsmoment bezeichnet wird, ist folgendermaßen definiert (vgl. Bild 1.97): (1.50) Es kann mit r 2 = x 2 + y 2 durch die axialen Trägheitsmomente ausgedrückt werden: Ende ?

136 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 136 Merke: Der Richtungssinn der Koordinatenachsen hat nur auf das Vorzeichen des Zentrifugalmomentes I xy einen Einfluss. Aus der Anschauung folgt: Ist eine Achse eine Symmetrieachse, so ist das Zentrifugal- moment Null, da zu jedem positiven Wert (x,y) auch ein gleich großer negativer Wert gehört. Allgemein gilt für die Flächenträgheitsmomente: Die Flächenträgheitsmomente haben die Einheit [mm 4 ]. Die axialen Flächenträgheitsmomente und folglich das polare Flächenträgheitsmoment sind stets größer als Null. Das Deviationsmoment kann größer, kleiner oder gleich Null sein. Ende ?

137 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 137 x y Fläche A S Bild 1.98 Bezugssystem für den STEINERschen Satz in die für das quergestrichene Koordinatensystem auf- geschriebenen Definitionsgleichungen der Flächenträg- heitsmomente (1.48) bis (1.50) ein, so folgt für die auf das -System bezogenen Flächenträgheitsmomente Satz von STEINER Wir wollen die Flächenträgheitsmomente bezogen auf ein Koordinatensystem berechnen, das gegenüber dem ursprünglichen (x,y)-Koordinatensystem, dessen Ursprung stets im Schwerpunkt S der Fläche A liegen soll, parallel verschoben ist. Setzen wir die Koordinatentransformationen und xSxS ySyS x y 0 dA x y y x xSxS ySyS Ende ?

138 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 138 Die statischen Momente S x und S y in den obigen Gleichungen sind Null, weil das (x,y)- Koordinatensystem laut unserer Annahme seinen Ursprung im Schwerpunkt S der Fläche hat (vgl. Kapitel 1.9.3, Seite 130). Damit ergeben sich als Transformationsgleichungen für die Flächenträgheitsmomente zwischen den parallelen Koordinatensystemen die als STEINERscher Satz bezeichneten drei Gleichungen: Steinerscher Satz (1.52) Beachte: Der STEINERsche Satz gilt nur für die Transformation zwischen Schwerpunkt- achsen und dazu parallele Achsen. Beachte: Von allen Trägheitsmomenten bezüglich paralleler Achsen ist das auf die Achse durch den Schwerpunkt S bezogene Trägheitsmoment am kleinsten. Ende ?

139 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 139 Beachte: Wegen der Symmetrie zu x und y folgt: I xy = 0 y x b S h y x dA x = h·dx x dx dy dA y = b·dy y Zunächst wollen wir die Flächenträgheitsmomente bezogen auf das Schwerpunktkoordinatensystem (x,y) berechnen. Aus den Gleichungen (1.48) und (1.49) erhalten wir die axialen Flächen- trägheitsmomente zu: Mit folgt: Beispiel 1.25 Flächenträgheitsmomente einer Rechteckfläche Bild 1.99 Rechteckfläche Die Flächenträgheitsmomente bezogen auf das -Koordinatensystem erhalten wir aus dem S TEINER schen Satz (1.52). Ende ?

140 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 140 QuerschnittsflächeFlächenträgheitsmomente Flächenträgheitsmomente einfacher Querschnittsflächen Hinweis: Für typische Flächen, insbesondere auch für die Querschnittsflächen von Norm- profilen, findet man Formeln und Zahlenergebnisse für die Trägheitsmomente in Zahlentabellen und Nachschlagewerken. Tabelle 1.5 Flächenträgheitsmomente für Rechteck, Kreis, Kreisring und Dreieck b S a y x Rechteck: x y r d S Kreis: y D x S d Kreisring: b y x S b/3 a/3 a Dreieck: Ende ?

141 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 141 x y 0 Fläche A Bild Transformation vom (x,y)-System auf ein ( ,  )- Koordinatensystem Hauptträgheitsmomente Die Extremwerte der Flächenträgheitsmomente werden als Hauptträgheitsmomente bezeich- net. Die dazugehörigen Koordinatenachsen heißen Hauptträgheitsachsen. Wir untersuchen, wie sich die Flächenträgheitsmomente ändern, wenn das Bezugskoordinaten- system um den Winkel  gedreht wird und bestimmen den Winkel, unter dem die Flächen- trägheitsmomente einen Extremwert, d. h. ein Maximum bzw. ein Minimum, annehmen. dA y x xcos  ycos  xsin  ysin       = - x·sin  + y·cos  (1.54)  = x·cos  + y·sin  (1.53) Aus dem Bild lassen sich die folgenden Transformationsformeln ablesen: Vorgehen: Drehung des Koordinatensystems um den Winkel  und Transformation der Träg- heitsmomente auf das neue ( ,  )-Koordinaten- system. Wir erhalten I , I  und I  in Abhän- gigkeit vom Winkel  und von I xx, I yy, I xy. Die Extremwertbedingungen an die Funktionen I  (  ), I  (  ) und I  (  ) liefern dann die Haupt- trägheitsmomente und den Winkel , der die Lage der dazugehörigen Hauptträgheitsachsen beschreibt.     Ende ?

142 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 142 Für die Flächenträgheitsmomomente bezogen auf das gedrehte  -Koordinatensystem gilt (vgl. Kapitel ): Setzen wir zunächst in I  die Transformationsformel (1.54) ein, so ergibt sich Mit den Definitionen der Flächenträgheitsmomente bezogen auf das (x,y)-Koordinatensystem (siehe Gleichungen (1.48) bis (1.50)) und den bekannten trigonometrischen Beziehungen Auf analogem Weg erhält man die folgen Formeln für I  und I  (1.56) folgt (1.55) (1.57) Ende ?

143 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 143 Aus der ersten Bedingung folgt mit Gleichung (1.55) Bestimmung der Hauptträgheitsmomente und Hauptträgheitsachsen Wir wollen zunächst berechnen, für welchen Winkel  =  0 die axialen Flächenträgheits- momente I  (  ) und I  (  ) Extremwerte annehmen und wie groß diese werden. Die Extremwerte folgen aus den zwei Bedingungen bzw. (1.58) und daraus erhalten wir den Winkel  0 zu (1.59) Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn analog die Extremalbedingung für I  (  ) (zweite Bedingung von (1.58)) ausgeführt wird. Wegen der Periodizität der tan-Funktion ergeben sich aus der Gleichung (1.59) die zwei Lösungen (1.60) und Ende ?

144 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 144 Setzen wir die Winkel  01 und  02 in die Gleichung (1.57) für I  ein, so ergibt sich (1.64) Hinweis: Die Gleichung (1.59) für die Lage der extremen axialen Flächenträgheitsmomente kann durch Umformen von tan2  01 in tan  01 auch in folgender Form angegeben werden: (1.61) Die durch  01 und  02 festgelegten Achsen, bezüglich der die Extremwerte der axialen Flächenträgheitsmomente, die so genannten Hauptträgheitsmomente I 1 und I 2, auftreten, stehen senkrecht aufeinander. Wir bezeichnen diese Achsen als Hauptträgheitsachsen „1“ und „2“ (siehe Bild 1.101). 0  x y   1   2 Bild Lage der Hauptträgheitsachsen Setzen wir  01 und  02 in I  (  ) und I  (  ) ein, so folgen nach einiger Umformung die zu den Winkeln gehörenden Hauptträgheitsmomente (1.62) (1.63) Beachte: Das Zentrifugalmoment ist für die Hauptträgheitsachsen Null. Ende ?

145 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 145 Die Extremwerte der Zentrifugalmomente erhalten wir durch Einsetzen von  1 in die Gleichung (1.57) zu Das Produkt der Gleichungen (1.66) und (1.59) liefert Die Lage der Achsen für die Extremwerte des Zentrifugalmomentes I , die um den Winkel  1 gegenüber dem Ursprungssystem gedreht sind, lässt sich analog wie die Lage der Haupt- trägheitsachsen berechnen. Aus der erste Ableitung von Gleichung (1.57) (1.65) folgt Extremwerte des Zentrifugalmomentes I  (1.67) Das bedeutet: Die Achsen der maximalen Zentrifugalmomente sind gegenüber den Achsen der Hauptträgheitsmomente um 45° gedreht. (1.66) Ende ?

146 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen Satz: Flächenträgheitsmomente können addiert werden, wenn sie auf gleiche Achsen bezogen sind. Sind sie nicht auf gleiche Achsen bezogen, so lassen sie sich mit Hilfe des STEINER- schen Satzes (siehe Kapitel , Gleichung (1.52)) und/oder der Transformationsformeln für eine Drehung des Koordinatensystems um den Winkel  (Gleichungen (1.55) bis (1.57)) auf einheitliche Koordinatenachsen umrechnen. Für Hauptträgheitsachsen ist das Zentrifugalmoment Null. Aussage und Schlußfolgerungen Verschwindet für zwei senkrecht aufeinanderstehende Achsen das Zentrifugalmoment, so sind diese Hauptträgheitsachsenachsen. Ist eine Achsen eine Symmetrieachse der Fläche, so ist sie eine Hauptträgheitsachse. Ist der Koordinatenursprung der Schwerpunkt, so heißen die Hauptträgheitsachsen auch Hauptzentralachsen und die Hauptträgheitsmomente Hauptzentralmomente. Zur Veranschaulichung betrachten wir das in Bild (nächste Seite) dargestellte Beispiel. Ende ?

147 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 147 x y 0 Fläche A Bild Zusammengesetzte Fläche A1A1 S1S1 S4S4 A4A4 x si y si yiyi S 3 = S i xixi Teilfläche A i = A 3 A 2 (negativ) S2S2 Zur Berechnung der Trägheitsmomente für die Gesamt- fläche A teilen wir diese in n Teilflächen A i auf. Wir nehmen an, dass die Schwerpunktskoordinaten- systeme (x i,y i ) parallel zum globalen Koordinatensystem (x,y) liegen und dass für jede Teilfläche der Flächeninhalt A i, die Lage des Teilschwerpunktes S i und die Flächen- trägheitsmomente, und bekannt seien. Es gilt dann: Hinweis 1: Löcher und Ausschnitte in der Fläche können durch negative Teilflächen und negative Teilflächenträgheitsmomente berücksichtigt werden. Im Bild muss die Teil- fläche A 2 auf diese Weise wieder herausgerechnet werden, wenn die übrigen Teilflächen, so wie im Bild gezeigt, in die Rechnung eingehen. Hinweis 2: Das Bezugskoordinatensystem (x,y) kann beliebig gewählt werden und somit auch durch den Schwerpunkt der Gesamtfläche A gehen. In diesem Fall verschwindet das Deviationsmoment und braucht daher nicht erst berechnet zu werden. Hinweis 3: Bei komplizierten, aus vielen Teilflächen bestehenden Flächen empfiehlt sich eine systematische Rechnung in Tabellenform. In unserem Beispiel ist die Anzahl der Teilflächen n = 4. Ende ?

148 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Haftung und Gleitreibung Bild Kontakt zwischen starren Körpern Körper 1 Körper 2 rauhe Kontakt- fläche FNFN FNFN FTFT FTFT Schnitt Beim Kontakt zweier starrer Körper (ebene oder „punkt- förmige“ Berührung) wird infolge der Belastungen der Körper eine resultierende Kraft F R übertragen, die in eine Normalkraft F N (senkrecht zur Kontaktfläche) und eine in der Kontaktfläche (tangential zur Oberfläche) liegende Tangentialkraft F T zerlegt werden kann (siehe Bild 1.103). Die Größe der in der Berührungsebene übertragbaren Kraft F T ist erfahrungsgemäß von der Größe der resul- tierenden Kraft, der Oberflächenbeschaffenheit (Rauhigkeit, Schmierung) der in Kontakt stehenden Körper und einer eventuellen Bewegung der Körper gegeneinander abhängig. Wir unterscheiden als wesentliche Fälle: Ideal glatte Kontaktfläche (reibungsfrei): Es gibt nur eine Normalkraft und keine Kraft in der Tangentialebene (idealer Grenzfall, der einem Loslager entspricht). Rauhe Kontaktfläche: Es kann eine Kraft in der Tangentialebene übertragen werden. Die Erfahrung zeigt, dass diese Kraft nicht beliebig groß werden kann. Bis zu einer bestimmten Größe der Tangentialkraft bleibt der Körper in Ruhe. Die beiden Körper haften aneinander, es herrscht Gleichgewicht und die Tangentialkraft bezeichnet man dann als Haftkraft. Übersteigt die Haftkraft einen bestimmten maximalen Wert, so kommt es in der Tangentialebene zu einer Bewegung der Körper gegeneinander. Die Körper gleiten aufeinander ab und die dabei in der Tangentialebene wirkende Kraft nennt man Gleitkraft. Die Gleitkraft ist kleiner als die Haftkraft (siehe dazu auch Kapitel ). Ende ?

149 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 149 Feststellung: Wird  größer, so wächst die Haftkraft F H an. Bei einem bestimmten Grenz- winkel    0 beginnt der Körper zu rutschen, d.h. das Gleichgewicht kann durch die Haftkraft nicht mehr aufrechterhalten werden Haftung (Zustand der Ruhe) Wir wollen den Zustand der Haftung am Beispiel eines frei auf einer schiefen Ebene liegenden Körpers der Masse m betrachten. m  g Kontakt- fläche Folgerung: Die in der Kontaktfläche über- tragenen Kräfte F N (Normalkraft) und F H (Haftkraft) lassen sich aus Gleichgewichtsbedingungen am freigeschnittenen Körper berechnen. : F H - mg sin  = 0  : F N - mg cos  = 0  Es wird: Annahme: Der Winkel  und die Oberflächenbe- schaffenheit des Materials in der Kontaktfläche seien so, daß der Körper auf der schiefen Ebene ruht. Es liegt ein Gleichgewichtszustand vor.  Die Haftkraft hat eine obere Grenze F Hmax. Bild Kräfte in einer Kontaktfläche mg S  FHFH FNFN FHFH FNFN (1.68) (1.69) Eliminiert man aus den Gleichungen (1.68) und (1.69) die Größe mg und setzt für  =  0 und für F H = F Hmax ein, so ergibt sich mit (1.70) (  0 ist der Haftungskoeffizient) Ende ?

150 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 150 Deshalb: Vorsicht bei Entnahme von Haftungskoeffizienten aus Tabellenwerken. Im Zweifels- fall kann  0 durch experimentelle Bestimmung von  =  0 für den Grenzfalls des Gleichge- wichts einer Masse auf der schiefen Ebene (vgl. Einführungsbeispiel auf der vorherigen Seite) aus  0 = tan  0 bestimmt werden. COULOMBsche Haftungsgesetz: | F Hmax | =  0 F N (1.71) Der Betrag der maximale Haftkraft zwischen sich berührenden Flächen ist der wirkenden Normalkraft (Druckkraft) proportional. Proportionalitätsfaktor ist der Haftungskoeffizient  0. Dieses Ergebnis für F Hmax und  0 nach Gleichung (1.70) gilt nach C OULOMB auch für Körper, auf die neben dem Eigengewicht weitere Belastungen wirken. Hinweis: Der Haftungskoeffizient  0 hängt in erster Linie von der Materialpaarung und der Oberflächenbeschaffenheit (Rauheit, Schmierung) ab. Aber auch Temperatur und die Größe der Normalkraft beeinflussen  0. Wichtig: Das C OULOMB sche Haftungsgesetz liefert nur die maximal mögliche Haftkraft. Die tatsächliche Haftkraft ist immer aus Gleichgewichtsbetrachtungen zu ermitteln. Sie ist eine typische Reaktionskraft wie die bereits bekannten Lagerreaktionen, jedoch mit einer wesentlich kleineren Grenzlast (Last bei der das Lager versagt bzw. kaputt geht!). Die Haftkraft muss bei Annahme der Gültigkeit des C OULOMB schen Gesetzes die Bedingung | F H |  F Hmax =  0 F N erfüllen, ansonsten tritt eine Bewegung ein, und es gelten die Gesetze der Gleitreibung. (1.72) Ende ?

151 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 151 (vgl. mit Gleichung (1.70), Einführungsbeispiel) Haftungskegel FNFN F Hmax 00 00 00 FRFR F Kmax Bild Haftungskegel Schlussfolgerung und Bedeutung: Liegt die Wirkungslinie der Resultierenden F R (hohler Pfeil im Bild 1.105) aller eingeprägten Belastungen innerhalb des Haftungskegels mit dem Öffnungswinkel  0, so liegt Gleichgewicht, d. h. der Zustand der Ruhe, vor. Anderenfalls tritt Bewegung ein. Zur Bestimmung von  0 können wir aus Bild den folgenden Zusammenhang ablesen: und mit F Hmax nach dem Haftungsgesetz (1.71) | F Hmax | =  0 F N folgt (1.73) Die in der Kontaktfläche zweier Körper übertragenen Kraftkom- ponenten F N und F H bilden eine resultierende Kontaktkraft F K, die mit der sich aus allen eingeprägten äußeren Belastungen ergebenden resultierenden Kraft F R im Gleichgewicht stehen muss. Die maximale Kontaktkraft F Kmax, die im Gleichgewichts- fall übertragen werden kann, ergibt sich aus der maximalen Haftkraft F Hmax und der Normalkraft F N (vgl. Bild 1.105). Mit der Richtung von F Kmax wird ein Grenzwert für die Richtung der Resultierenden F R beschrieben, für den Gleichgewicht gerade noch möglich ist. Da resultierende Belastungen in allen Raumrichtungen vorkommen können, wird mit allen möglichen Richtungen von F Kmax die Mantelfläche eines Kegels, des so genannten Haftungskegels, beschrieben. Die Achse des Haftungskegels liegt immer in Richtung der Normalkraft F N. Ende ?

152 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 152 a x F G A a B h G ½mg ½a½a½a½a Beispiel 1.26 Bockleiter ohne Sicherung Ziel: Ermittlung der Bedingungen für die Standsicherheit einer ungesicherten Bockleiter. Lösung: Berechnung der Haft- und Normalkräfte bei A und B aus den Gleichgewichts- bedingungen und Prüfen, welche Forderungen die Bedingung für das Haften |F H |   0 F N an die Belastung, die Geometrie bzw. den Haftungskoeffizienten stellt. F GH F GV F AH F AN FBNFBN FBHFBH An jedem Teilsystem können wir drei Gleichgewichtsbedingungen formulieren, aus denen sich schließlich die folgenden Auflagerkräfte ergeben: a a x F G BA h 00 00 Gesamt- masse m Bild Bockleiter ohne Sicherung mit Schnittbild (1) Ende ?

153 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 153 Damit die Leiter bei A und B nicht wegrutscht, dürfen die vorhandenen Haftkräfte die jeweils maximal mögliche Haftkraft nicht überschreiten. Es müssen deshalb für die oben berechneten Haftkräfte F AH und F BH die folgenden Bedingungen erfüllt sein: Punkt A: (2) Punkt B: (3) Aus (2) und (3) erkennt man, dass gilt und da nach (1) F AH = F BH ist, wird zuerst bei B die maximale Haftkraft überschritten. Die Bedingung (3) am Punkt B muss somit für die Gewährleistung der Standsicherheit der Bockleiter erfüllt sein. Mit der Haftkraft F BH aus (1) folgt aus der Bedingung (3) bei B: (4) Ist eine der drei Größen (Belastung, Geometrie oder Haftungskoeffizienten) unbekannt, kann sie aus (4) ermittelt werden, so dass die Standsicherheit gewährleistet ist. Wir betrachten nachfolgend drei Fälle: a)x = a(die Leiter wird in der Mitte belastet): b)F = 0(es wirkt nur das Eigengewicht der Leiter): c)mg = 0 (es wirkt nur die Kraft F): Hinweis: Die Lösung ist im Fall c) unabhängig von dem Angriffspunkt x der Kraft F. Ende ?

154 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: Gleitreibung (Zustand der Bewegung) m  F v (Abwärtsgleiten) Bild Kräfte in der Kontaktfläche beim Gleiten Kommt es bei einem Kontaktproblem zu einer Relativbewegung (Gleiten) in der Kontaktfläche, z. B. weil die Bedingung F H  F Hmax =  0 F N nicht erfüllt ist, so wird in der Berührungsebene eine Kraft, die so genannte Gleitreibungskraft F R, übertragen, die der Relativbewegung einen Widerstand entgegensetzt (siehe Bild 1.107). v F mg S F R =  F N FNFN  Annahme: Für viele praktische Fälle kann davon ausgegangen werden, daß die Gleitreibungs- kraft F R unabhängig von der Relativgeschwindigkeit v ist. Es gilt dann das C OULOMB sche Gleitreibungsgesetz (1.74) wobei  der so genannte Gleitreibungskoeffizient ist, der von der Materialpaarung, der Ober- flächenbeschaffenheit, der Schmierung usw. abhängt und für den  <  0 gilt (vgl. Tabelle 1.6). Die Normalkraft F N wird als Druckkraft vorausgesetzt. Beachte: Die Gleitreibungskraft geht mit der Größe F R =  F N wie eine eingeprägte Kraft mit dem vorgegebenen Richtungssinn entgegen zur Relativbewegung (vgl. Bild 1.107) in die Rechnung ein. Ende ?

155 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 155 Anwendungen und Berechnungen, in der die Gleitreibungskraft zu berücksichtigen ist, werden wir im Kapitel 3 kennen lernen. Hinweis: Von der Geschwindigkeit v der Gleitbewegung abhängige Reibkräfte (z. B. aus dem Luftwiderstand, aus Strömungswiderständen usw.) werden hier nicht weiter betrachtet. In der nachfolgenden Tabelle 1.6 sind einige Richtwerte für den Gleitreibungskoeffizienten  und den Haftungskoeffizienten  0 angegeben. Tabelle 1.6 Richtwerte für Haftungskoeffizient  0 und Gleitreibungskoeffizient  Materialpaarung Haftungskoeffizient  0 Gleitreibungskoeffizient  trockengeschmierttrockengeschmiert Stahl auf Stahl0,15...0,30,1...0,120,10...0,120,04...0,07 Stahl auf Grauguss0, ,20,1...0,20,15...0,20,05...0,1 Stahl auf Bronze0, ,20,1...0,20,15...0,20,05...0,1 Grauguss auf Grauguss0,2...0,30,1...0,150,15...0,250,02...0,1 Leder auf Metall0,3...0,50,160,30,15 Holz auf Metall0,6...0,70,110,4...0,50,10 Holz auf Holz0,4...0,60,160,2...0,40,08 Gummi auf Asphalt0,7...0,80,5...0,6 Ende ?

156 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 156 Wir betrachten nur den praktisch wichtigsten und häufigsten Fall, dass ein Seil über einen Kreisbogen geführt wird. Der Umschlin- gungswinkel (Winkel in dem das Seil mit dem Kreisbogen Kontakt hat) sei . Ist der Kreisbogen arretiert (oder im Falle einer Umlenk- rolle diese abgebremst oder angetrieben) und ist der Haftungsko- effizient zwischen Seil und Kreisbogen  0  0, so sind die Seilkräfte F S1 und F S2 an den beiden freigeschnittenen Seilenden im Allge- meinen nicht mehr gleich groß (vgl. Bild 1.108). Die Seilkraft ändert dabei über den Kontaktbereich  ständig ihre Größe und Richtung, was zur Folge hat, dass sich damit auch die zwischen Seil und Kreisbogen übertragenen Kontaktkräfte in ihrer Größe und Richtung ändern. Deshalb ist es erforderlich, dass wir für die nachfolgende Untersuchung Betrachtungen an einem differentiellen Bogenstück anstellen Seilhaftung und Seilreibung   F S1 00 F S2 Für  0 gilt: F S1  F S2 Bild Seil auf Kreisbogen  dd dF N dF Hmax =  0 dF N FSFS F S +dF S ½d  Bild Gleichgewicht am differentiellen Seilsegment Seilhaftung Wir suchen die Grenzwerte für die Seilkräfte, bei denen kein Rut- schen des Seiles auf dem Kreisbogenstück eintritt. Dazu schneiden wir ein differentiell kleines Segment des Seiles frei. An den Schnitt- stellen des Seiles wird die Seilkraft F S mit Berücksichtigung einer differentiellen Zunahme am positiven Schnittufer angetragen. An der Schnittstelle zum Kreisbogen muss eine differentielle Normal- kraft dF N und die maximal mögliche Haftkraft als differentielle Größe dF Hmax angetragen werden (siehe Bild 1.109). Ende ?

157 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 157 Mit der für kleine Winkel geltenden Näherung folgt aus dem Kraftgleichgewicht in tangentialer und normaler Richtung zum Seil (vgl. Bild 1.109) (1.75)   (1.76) Den Summanden 1 / 2 dF S  d  haben wir als klein von höherer Ordnung vernachlässigt. Setzen wir (1.75) in (1.76) ein, erhalten wir Die Integration über den Kontaktbereich des Seiles liefert (1.77) Die Gleichung (1.77) wird häufig auch als E YTELWEIN sche Gleichung bezeichnet. Diese Gleichung bedarf noch einer weiteren Erläuterung (siehe folgende Seite). Ende ?

158 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 158 Gleichgewicht ist aber auch möglich, wenn F S2 kleiner als F S1 wird. Das ist dann der Fall, wenn sich die Richtung der Haftkräfte dF Hmax =  0 dF N in Bild umkehren. Für die Kraft F S2 erhält man dann, wie man leicht durch Umkehrung der Richtung von dF Hmax in den Gleichungen zur Herleitung der Gleichung (1.77) verfolgen kann, den Minimalwert für F S2, für den Gleichgewicht noch möglich ist zu (1.79) Für die vorausgesetzte Richtung der maximalen differentiellen Haftkräfte dF Hmax (vgl. Bild 1.109) gilt nach Gleichung (1.77) immer F S2 > F S1. Damit ist F S2 die maximal mögliche Kraft für das statische Gleichgewicht, die sich aus (1.78) ergibt. Für das statische Gleichgewicht (kein Rutschen des Seils) muss daher folgende Ungleichung erfüllt sein: (1.80) Typische Anwendungen, die den Unterschied in den Seilkräften F S2 und F S1 ausnutzen, sind z. B. das Vertäuen (Festmachen) von Schiffen an einem Poller, die Momentenübertragung bei Riementrieben (sowohl im Maschinenbau als auch in der Feinmechanik) und als Sonderfall die Bandbremse im Haltezustand (kein Rutschen, siehe folgendes Beispiel) usw. Ende ?

159 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 159 Mit (1) und (2) haben wir zunächst nur 2 Gleichungen für die 3 Unbekannten F S1, F S2 und F. Wir wissen aber, dass zwischen den Bandkräften die Gleichung (1.78) Beispiel 1.27 Bandbremse im Haltezustand 2a a F M0M0 A B C 00 Bild Bandbremse Gegeben:M 0 = 200 N m, a = 20 cm  0 = 0,4 Gesucht:Wie groß muss F sein, damit die Bremsscheibe sich nicht dreht? Zur Lösung der Aufgabe schneiden wir zunächst die Bremsscheibe und den Hebel frei und tragen die Seil- kräfte und Lagerreaktionen an (Bild 1.111). Bild Bandbremse (freigeschnitten) M0M0 B 00 FS2FS2 FS1FS1 F 2a a AC FS2FS2 FS1FS1    sin  = a/2a  =  /6  =  +   = 7 / 6  F AH F AV F BV F BH Aus dem Momentengleichgewicht um den Punkt B der Bremsscheibe und den Punkt A des Bremshebels erhalten wir (1) (2) (3) bei der vorgegebenen Drehrichtung von M 0 gelten muss, wenn wir den Grenzfall zwischen Gleichgewicht und Rutschen untersuchen. Ende ?

160 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 160 Einsetzen von (3) und (2) in (1) und Auflösen nach F liefert die gesuchte Kraft F: Falls das Moment M 0 in entgegengesetzter Richtung wirkt, wird eine deutlich größere Haltekraft F benötigt, wie eine analoge Rechnung ergibt Seilreibung  F S1  F S2 Bewegung des Seiles Bild Seilreibung Für   0 gilt: F S2 > F S1 Wir nehmen jetzt an, dass das Seil rutscht. In diesem Fall muss der Haftungskoeffizient  0 durch den Gleitreibungskoeffizient  ersetzt werden. Beachte: Der Umschlingungswinkel  zählt positiv in Richtung der Seilbewegung (vgl. Bild 1.112). Für diesen Fall lautet das Ergebnis (1.81) Es gilt dann Ende ?

161 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 1 Statik Seite: 161 Ende der Statik Ende ?


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