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1 Wir haben gemogelt !. 2 Wie bestimmt man bei einer beliebigen Potenzfunktion den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion.

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Präsentation zum Thema: "1 Wir haben gemogelt !. 2 Wie bestimmt man bei einer beliebigen Potenzfunktion den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion."—  Präsentation transkript:

1 1 Wir haben gemogelt !

2 2 Wie bestimmt man bei einer beliebigen Potenzfunktion den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion im Intervall von [0; b] ? Wir wissen: Funktionsterm Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall [0; b] Wir vermuten:

3 3 Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit f = x n im Intervall [0; b] beträgt: Wir leiten auf !

4 4 Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen Stelle xf(x)g(x)f(x)+g(x) 0000 1112 2246 33912 441620 552530 xxx²x + x²

5 5 Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen Stelle xf(x)g(x)f(x)+g(x) 0000 1112 2246 33912 441620 552530 xxx²x + x² bFläche unter G f auf [0;b] Fläche unter G g auf [0;b] Fläche unter G f+g auf [0;b] 0000 10,50,330,83 222,674,67 34,5913,5 4821,3329,33 512,541,6754,17

6 6 Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen Stelle xf(x)g(x)f(x)+g(x) 0000 1112 24812 392736 4166480 525125150 xx²x³x² + x³

7 7 Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von Potenzfunktionen Stelle xf(x)g(x)f(x)+g(x) 0000 1112 24812 391625 4163248 5256491 xx²x³x² + x³ bFläche unter G f auf [0;b] Fläche unter G g auf [0;b] Fläche unter G f+g auf [0;b] 0000 10,330,250,58 22,6746,67 3920,2529,25 421,336485,33 541,67156,25197,92

8 8 Beobachtung zur Summe von Potenzfunktionen Wenn man zwei Potenzfunktionen addiert, addieren sich die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse.

9 9 Wir betrachten jetzt Faktoren vor einer Potenzfunktion Stelle xf(x)g(x) 000 113 226 339 4412 5515 xx3x

10 10 Wir betrachten jetzt Faktoren vor einer Potenzfunktion Stelle xf(x)g(x) 000 113 226 339 4412 5515 xx3x bFläche unter G f auf [0;b] Fläche unter G g auf [0;b] 000 10,51,5 226 34,513,5 4824 512,537,5

11 11 Beobachtung zum Faktor bei Potenzfunktionen Wenn man eine Potenzfunktion mit einem Faktor multipliziert, wird auch der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse mit dem Faktor multipliziert.

12 12 Aufgabe: Bestimme den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6].

13 13 Null? - Oups! Was ist hier passiert?

14 14 Das Integral Man versteht unter dem Integral von a bis b der Funktion f die Summe der orientierten Flächeninhalte. Beim orientierten Flächeninhalt sind die Flächeninhalte ober- halb der x-Achse mit einem positiven und unterhalb der x- Achse mit einem negativen Vorzeichen versehen. +A1 +A3 -A2-A4

15 15 Mit dem Rechteck-Verfahren wird also das Integral berechnet! Das Integral stimmt genau dann mit dem Flächeninhalt zwischen dem Graph und der x-Achse überein, wenn der Graph auf dem Intervall nicht unterhalb der x-Achse verläuft.

16 16 Potenzfunktion Es gilt: a b

17 17 Wollen wir nun den Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6] bestimmen, so müssen wir die Teilflächen bis zu den Nullstellen bestimmen.

18 18 Drei Fragen/Aufgaben: 1. Was versteht man unter einem Integral? 2. Formuliere eine Summen- und Faktorregel für die Intergralrechnung. 3. Wann stimmt der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse mit dem Integral überein?

19 19 Hausaufgabe: AB:S. 185 Nr. 6 a - d Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f mit f(x) = -x²+3x mit der x-Achse einschließt. (Tipp: GTR)


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