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Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren Literatur Newbold & Bos, Introductory Business Forecasting (2nd ed.), Cincinnati: South Western Publ., 1994 Abraham.

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1 Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren Literatur Newbold & Bos, Introductory Business Forecasting (2nd ed.), Cincinnati: South Western Publ., 1994 Abraham & Ledolter, Statistical Methods of Forecasting, New York: Wiley, 1983.

2 Prognoseverfahren2 Zeitreihen in regelmäßigen Zeitabständen genommene Beobachtungen y 1, y 2, …, y t, …, (y n ) eines Merkmals Y Beispiele jährliche Investitionen eines Unternehmens die wöchentlichen Umsätze einer Supermarkt-Kette die täglichen Börsenkurse einer Aktiengesellschaft

3 Prognoseverfahren3 Aufgaben der Zeitreihenanalyse Beschreibung der Zeitreihe Prognose Erklärung der Datengenerierung

4 Prognoseverfahren4 Komponenten von Zeitreihen Trend Saisonale (und/oder zyklische) Schwankungen (Saisonalität) Irreguläre Schwankungen (Störterm, noise)

5 Prognoseverfahren5 Modelle für Zeitreihen additives Modell y t = T t + S t + U t multiplikatives Modell y t = T t * S t * U t mit T t : Trend S t : Saisonalität U t : Störterm

6 Prognoseverfahren6 T t = a + b.t (linearer Trend) T t = a + b.t + g.t 2 + … (polynomialer Trend) T t = a exp {b.t} (exponentieller Trend) T t = a/[1 + b exp {– g.t}] (Sättigungsmodell) Modelle für den Trend

7 Prognoseverfahren7 Schätzen der Trendkomponente Globale Anpassung: Methode der kleinsten Quadrate Lokale Anpassung: Methode der gleitenden Durchschnitte

8 Prognoseverfahren8 Schätzen der Saisonkomponenten Annahme eines additiven Modells Schätzung des Trends T t Abziehen des Trends liefert (näherungs- weise) S t + U t, Durchschnitt der Werte jeder Saison- komponente gibt vorläufige Schätzer Zentrieren der Saisonkomponenten (Abziehen des Durchschnitts)

9 Prognoseverfahren9 Autokorrelation Autokorrelation r k : Maß für die Stärke der Abhängigkeit zwischen y t und y t+k (oder y t-k ) r k = s k /s 2 mit s k = S( y t - y bar )( y t+k - y bar )/n (k=0,1,2,…); y bar : Durchschnitt der y t ; s 2 = s 0

10 Prognoseverfahren10 Autokorrelationsfunktion r(k) = r k, k=0,1,2,… die graphische Darstellung wird auch Korrelogramm genannt gute Hilfe zur Interpretation der Zeitreihe Hinweise auf Saisonalität Hinweise auf Trend Hinweise auf Prognosequalität

11 Prognoseverfahren11 Prognose oder Vorhersagen für Beobachtung y n+r : ŷ n (r) n: Prognosezeitpunkt r: Prognosehorizont Prognoseintervall ŷ n (r) ± c

12 Prognoseverfahren12 Aufgabe der Prognoserechnung Bestimmung von ŷ n (r) und c

13 Prognoseverfahren13 Prognosemethoden Univariate Methoden exponentielles Glätten Box-Jenkins ARIMA Modelle Strukturelle Zeitreihenmodelle Multivariate Methoden Regressionsmodelle Ökonometrische Modelle (simultane Gleichungssysteme) Judgmental Methods

14 Prognoseverfahren14 Wahl der Prognosemethode entsprechend dem Typ der Zeitreihe: Kein Trend, keine Saisonalität Trend, keine Saisonalität Trend, Saisonalität

15 Prognoseverfahren15 Kein Trend, keine Saisonalität y t = + u t : Niveau, u t : Störterm, noise 1.Konstantes Niveau ŷ n (r) = y bar für alle r 2.Variables Niveau ŷ n (r) = L n für alle r geschätztes Niveau: L n = y n + (1–)L n-1 (Methode des Exponentiellen Glättens)

16 Prognoseverfahren16 Exponentielles Glätten Rekursion zum Update des Schätzers L n = y n + (1–)L n-1 Langschreibweise: L n = [y n + (1–) y n-1 + (1–) 2 y n-2 + …] Exponentiell abnehmende Gewichte (1–), (1–) 2, … Glättungskonstante

17 Prognoseverfahren17 Beispiel y 1 = 5; y 2 = 4; y 3 = 5; y 4 = 6; y 5 = 8 Anfangswert: L 1 = y 1 Glättungskonstante: = 0.2 Berechnen des Niveau-Schätzers L 2 = y 2 + (1-)L 1 = (0.2)(4) + (0.8)(5) = 4.8 L 3 = (0.2)(5) + (0.8)(4.8) = 4.84 etc.

18 Prognoseverfahren18 Beispiel, Forts.

19 Prognoseverfahren19 Korean. Exporte, 70/1-86/2

20 Prognoseverfahren20 Glättungskonstante Bedingung für Konvergenz: 0 1 Übliche Werte: durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler SSE = [y t – ŷ t-1 (1)] 2

21 Prognoseverfahren21 Glättungskonstante, Forts Extreme Werte für : = 1: ŷ n (r) = L n = y n Naive Prognose, random walk Prognose = 0: ŷ n (r) = L n = (1/n)[y n + y n-1 + … + y 1 ] gleiches Gewicht für alle Beobachtungen

22 Prognoseverfahren22 Trend, keine Saisonalität y t = + t + u t : Niveau, : Anstieg der Trendge-raden, u t : Störterm, noise Prognose (Exponentielles Glätten nach Holt): ŷ n (r) = L n + r T n für alle r L n : geschätztes Niveau T n : geschätzte Trendkomponente

23 Prognoseverfahren23 Update der Schätzer L n = 1 y n + (1 – 1 ) [L n-1 + T n-1 ] T n = 2 [L n – L n-1 ] + (1 – 2 ) T n-1 1, 2 : Glättungskonstante 0 1 1, großer Wert einer Glättungskonstanten: Betonung der neuesten Information kleiner Wert einer Glättungskonstanten: alle Beobachtungen bekommen ziemlich das gleiche Gewicht

24 Prognoseverfahren24 Update der Schätzer, Forts. Initialisierung: L 2 = y 2, T 2 = y 2 – y 1 Wahl der Glättungskonstanten durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler

25 Prognoseverfahren25 Korean. Exporte, 70/1-86/2

26 Prognoseverfahren26 Trend und Saisonalität Exponentielles Glätten nach Holt- Winters Bei Monatsdaten (s = 12) ŷ n (r) = [L n + r.T n ] S n+r-12 (r=1,…,12) = [L n + r.T n ] S n+r-24 (r=13,…,24) = etc. L n : geschätztes Niveau, T n : geschätzte Trendkomponente, S n : geschätzte Saisonkomponente

27 Prognoseverfahren27 Update der Schätzer L n = 1 [y n /S n-12 ] + (1– 1 ) [L n-1 +T n-1 ] T n = 2 [L n –T n-1 ] + (1– 2 ) T n-1 S n = 3 [y n /L n ] + (1– 3 ) S n-12 1, 2, 3 : Glättungskonstante 0 1, 2, 3 1 Wahl der i : durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler

28 Prognoseverfahren28 Prognoseintervall für ŷ n (r): Berechnung aller r-stufigen Prognosefehler y r+1 –ŷ 1 (r), y r+2 –ŷ 2 (r), …, y n –ŷ n-r (r) Varianz der Prognosefehler s r 2 = [y t – ŷ t-r (r)] 2 /(n – r) 95%-iges (r-stufiges) Prognoseintervall für y n+r : ŷ n-r (r) ± 2s r

29 Prognoseverfahren29 Autoregressive Modelle AR(1)-Modell y t = y t1 + ut AR(2)-Modell y t = y t1 + 2 y t2 + u t AR(p)-Modell y t = y t p y tp + u t

30 Prognoseverfahren30 Analyse der AR-Modelle Identifikation, d.h. Festlegen der Ordnung p Schätzen der Parameter zum Schätzen wird LS-Schätzung verwendet Prognose

31 Prognoseverfahren31 AR(1)-Modell: Prognose ŷ n (1) = b 0 + b 1 y n ŷ n (2) = b 0 + b 1 ŷ n (1)... ŷ n (r) = b 0 + b 1 ŷ n (r-1) für r 2 mit b i : Schätzer von i

32 Prognoseverfahren32 AR(2)-Modell: Prognose ŷ n (1) = b 0 + b 1 y n + b 2 y n-1 ŷ n (2) = b 0 + b 1 ŷ n (1) + b 2 y n ŷ n (3) = b 0 + b 1 ŷ n (2) + b 2 ŷ n (1)... ŷ n (r) = b 0 + b 1 ŷ n (r-1) + b 2 ŷ n (r-2) für r 3


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