Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren

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1 Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren
Literatur Newbold & Bos, Introductory Business Forecasting (2nd ed.), Cincinnati: South Western Publ., 1994 Abraham & Ledolter, Statistical Methods of Forecasting, New York: Wiley, 1983.

2 Zeitreihen in regelmäßigen Zeitabständen genommene Beobachtungen y1, y2, …, yt, …, (yn) eines Merkmals Y Beispiele jährliche Investitionen eines Unternehmens die wöchentlichen Umsätze einer Supermarkt-Kette die täglichen Börsenkurse einer Aktiengesellschaft Prognoseverfahren

3 Aufgaben der Zeitreihenanalyse
Beschreibung der Zeitreihe Prognose Erklärung der Datengenerierung Prognoseverfahren

4 Komponenten von Zeitreihen
Trend Saisonale (und/oder zyklische) Schwankungen (Saisonalität) Irreguläre Schwankungen (Störterm, noise) Prognoseverfahren

5 Modelle für Zeitreihen
additives Modell yt = Tt + St + Ut multiplikatives Modell yt = Tt * St * Ut mit Tt: Trend St: Saisonalität Ut: Störterm Prognoseverfahren

6 Modelle für den Trend Tt = a + b.t (linearer Trend)
Tt = a + b.t + g.t2 + … (polynomialer Trend) Tt = a exp {b.t} (exponentieller Trend) Tt = a/[1 + b exp {– g.t}] (Sättigungsmodell) Prognoseverfahren

7 Schätzen der Trendkomponente
Globale Anpassung: Methode der kleinsten Quadrate Lokale Anpassung: Methode der gleitenden Durchschnitte Prognoseverfahren

8 Schätzen der Saisonkomponenten
Annahme eines additiven Modells Schätzung des Trends Tt Abziehen des Trends liefert (näherungs-weise) St + Ut, Durchschnitt der Werte jeder Saison-komponente gibt vorläufige Schätzer Zentrieren der Saisonkomponenten (Abziehen des Durchschnitts) Prognoseverfahren

9 sk = S(yt-ybar)(yt+k-ybar)/n
Autokorrelation Autokorrelation rk: Maß für die Stärke der Abhängigkeit zwischen yt und yt+k (oder yt-k) rk = sk/s2 mit sk = S(yt-ybar)(yt+k-ybar)/n (k=0,1,2,…); ybar: Durchschnitt der yt; s2 = s0 Prognoseverfahren

10 Autokorrelationsfunktion
r(k) = rk, k=0,1,2,… die graphische Darstellung wird auch Korrelogramm genannt gute Hilfe zur Interpretation der Zeitreihe Hinweise auf Saisonalität Hinweise auf Trend Hinweise auf Prognosequalität Prognoseverfahren

11 Prognose Prognoseintervall ŷn(r) ± c
oder Vorhersagen für Beobachtung yn+r: ŷn(r) n: Prognosezeitpunkt r: Prognosehorizont Prognoseintervall ŷn(r) ± c Prognoseverfahren

12 Aufgabe der Prognoserechnung
Bestimmung von ŷn(r) und c Prognoseverfahren

13 Prognosemethoden Univariate Methoden Multivariate Methoden
exponentielles Glätten Box-Jenkins ARIMA Modelle Strukturelle Zeitreihenmodelle Multivariate Methoden Regressionsmodelle Ökonometrische Modelle (simultane Gleichungssysteme) Judgmental Methods Prognoseverfahren

14 Wahl der Prognosemethode
entsprechend dem Typ der Zeitreihe: Kein Trend, keine Saisonalität Trend, keine Saisonalität Trend, Saisonalität Prognoseverfahren

15 Kein Trend, keine Saisonalität
yt = m + ut m: Niveau, ut: Störterm, noise Konstantes Niveau ŷn(r) = ybar für alle r Variables Niveau ŷn(r) = Ln für alle r geschätztes Niveau: Ln= ayn + (1–a)Ln-1 (Methode des Exponentiellen Glättens) Prognoseverfahren

16 Exponentielles Glätten
Rekursion zum „Update“ des Schätzers Ln= ayn + (1–a)Ln-1 Langschreibweise: Ln = a[yn + (1–a) yn-1 + (1–a)2 yn-2+ …] Exponentiell abnehmende Gewichte a, a(1–a), a(1–a)2, … Glättungskonstante a Prognoseverfahren

17 Beispiel y1 = 5; y2 = 4; y3 = 5; y4 = 6; y5 = 8 Anfangswert: L1 = y1
Glättungskonstante: a = 0.2 Berechnen des Niveau-Schätzers L2 = ay2 + (1-a)L1= (0.2)(4) + (0.8)(5) = 4.8 L3 = (0.2)(5) + (0.8)(4.8) = 4.84 etc. Prognoseverfahren

18 Beispiel, Forts. Prognoseverfahren

19 Korean. Exporte, 70/1-86/2 Prognoseverfahren

20 Glättungskonstante a Bedingung für Konvergenz: 0 ≤ a ≤ 1
Übliche Werte: 0.1 ≤ a ≤ 0.3 durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler SSE = S [yt – ŷt-1(1)]2 Prognoseverfahren

21 Glättungskonstante a, Forts
Extreme Werte für a: a = 1: ŷn(r) = Ln = yn Naive Prognose, „random walk“ Prognose a = 0: ŷn(r) = Ln = (1/n)[yn + yn-1 + … + y1] gleiches Gewicht für alle Beobachtungen Prognoseverfahren

22 Trend, keine Saisonalität
yt = m + b t + ut m: Niveau, b: Anstieg der Trendge-raden, ut: Störterm, noise Prognose (Exponentielles Glätten nach Holt): ŷn(r) = Ln + r Tn für alle r Ln: geschätztes Niveau Tn: geschätzte Trendkomponente Prognoseverfahren

23 „Update“ der Schätzer Ln = a1 yn + (1 – a1) [Ln-1 + Tn-1] Tn = a2 [Ln – Ln-1] + (1 – a2) Tn-1 a1, a2: Glättungskonstante 0 ≤ a1 ≤ 1, 0 ≤ a2 ≤ 1 großer Wert einer Glättungskonstanten: Betonung der neuesten Information kleiner Wert einer Glättungskonstanten: alle Beobachtungen bekommen ziemlich das gleiche Gewicht Prognoseverfahren

24 „Update“ der Schätzer, Forts.
Initialisierung: L2 = y2, T2 = y2 – y1 Wahl der Glättungskonstanten durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler Prognoseverfahren

25 Korean. Exporte, 70/1-86/2 Prognoseverfahren

26 Trend und Saisonalität
Exponentielles Glätten nach Holt-Winters Bei Monatsdaten (s = 12) ŷn(r) = [Ln + r.Tn] Sn+r-12 (r=1,…,12) = [Ln + r.Tn] Sn+r-24 (r=13,…,24) = etc. Ln: geschätztes Niveau, Tn: geschätzte Trendkomponente, Sn: geschätzte Saisonkomponente Prognoseverfahren

27 „Update“ der Schätzer a1, a2, a3: Glättungskonstante
Ln = a1 [yn/Sn-12] + (1–a1) [Ln-1+Tn-1] Tn = a2 [Ln–Tn-1] + (1–a2) Tn-1 Sn = a3 [yn/Ln] + (1–a3) Sn-12 a1, a2, a3: Glättungskonstante 0 ≤ a1, a2, a3 ≤ 1 Wahl der ai: durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler Prognoseverfahren

28 Prognoseintervall für ŷn(r): Berechnung aller r-stufigen Prognosefehler yr+1–ŷ1(r), yr+2–ŷ2(r), …, yn–ŷn-r(r) Varianz der Prognosefehler sr2 = S [yt – ŷt-r(r)]2 /(n – r) 95%-iges (r-stufiges) Prognoseintervall für yn+r: ŷn-r(r) ± 2sr Prognoseverfahren

29 Autoregressive Modelle
AR(1)-Modell yt = b0 + b1 yt1 + ut AR(2)-Modell yt = b0 + b1 yt1 + b2 yt2 + ut AR(p)-Modell yt = b0 + b1 yt bp ytp + ut Prognoseverfahren

30 Analyse der AR-Modelle
Identifikation, d.h. Festlegen der Ordnung p Schätzen der Parameter zum Schätzen wird LS-Schätzung verwendet Prognose Prognoseverfahren

31 AR(1)-Modell: Prognose
ŷn(1) = b0 + b1 yn ŷn(2) = b0 + b1 ŷn(1) ... ŷn(r) = b0 + b1 ŷn(r-1) für r  2 mit bi: Schätzer von bi Prognoseverfahren

32 AR(2)-Modell: Prognose
ŷn(1) = b0 + b1 yn + b2 yn-1 ŷn(2) = b0 + b1 ŷn(1) + b2 yn ŷn(3) = b0 + b1 ŷn(2) + b2 ŷn(1) ... ŷn(r) = b0 + b1 ŷn(r-1) + b2 ŷn(r-2) für r  3 Prognoseverfahren