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Origami und Geometrie – Papier kann mehr als man denkt Robert Geretschläger BRG Kepler, Graz Zürich, 12.9.2012.

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1 Origami und Geometrie – Papier kann mehr als man denkt Robert Geretschläger BRG Kepler, Graz Zürich,

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3 Konstruktionsaxiome Zirkel und Lineal: Punkt auf Objekt Schnittpunkt P zufälliger Punkt P P

4 Papierfalten: (O1) Konstruktionsaxiome

5

6 (O6) (O7) Konstruktionsaxiome

7 (O7*) Konstruktionsaxiome

8 Der Goldene Schnitt a : 1 = 1 : (a-1) a² - a = 1 a² - a – 1 = 0 a = a : 1 5-eck

9 Winkel im regelmäßigen 5-eck 108° 36° 72° 36° 5-eck

10 Das Goldene Dreieck d : 1 = 1 : (d-1) d = = 72° 1 1 d-1 5-eck

11 Platzierung des Pentagons auf dem Papier 5-eck

12 Schritt 1 5-eck

13 Schritt 2 5-eck

14 Schritt 3 5-eck

15 Schritt 4 5-eck

16 Schritt 5 5-eck

17 Schritt 6 5-eck

18 Schritt 7 5-eck

19 Schritt 8 5-eck

20 weitere Herausforderungen für fortgeschrittene Pentagonisten: +++ Kann ein regelmäßiges 5-eck mit Seitenlänge a größer als 1/ im Inneren eines Einheitsquadrats platziert werden? +++ Bestimme eine Faltsequenz für ein größeres regelmäßiges Fünfeck. +++ Bestimme den größtmöglichen Wert von a. Beweise, dass dieser Wert tatsächlich maximal ist. 5-eck

21 Gleichung 1. Grades lineare Gleichung ax = b Lösung: x = Steigung der Faltkante ist y x

22 Quadratische Gleichung x²+px+q = 0 x² - 2usx + 2uvs – 2uw = 0 u²s² - 2uvs + 2uw = 0 Parabel: x² = 2u y Tangente: y = s (x - v) + w u = 2, v = -p, w = q Parabel: x² = 4y (Brennpunkt F(0/1), Leitlinie y = -1) P 0 (-p,q) Gleichung 2. Gradesten

23 t: y = cx + d p 1 : yy 1 = ax + ax 1 p 2 : xx 2 = by + by 2 Gleichung 3. Gradesten

24 Gleichung 3. Grades

25 t: y = cx + d p 1 : (y-n)(y 1 –n) = a(x-m) + a(x 1 –m) p 2 : xx 2 = by + by 2 x³ + px² + qx + r = 0 p = -2m, q = 2n, r = a, b = 1 Gleichung 3. Grades

26 z 7 1 = 0 7-eck

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34 -lichen Dank für die Aufmerksamkeit


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