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14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 1 Kombinatorische Aspekte auf dem 9-Nagel-Geobrett Warum Beschränkung auf 3 x 3? Wie viele.....? Dreiecke? Vierecke?

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Präsentation zum Thema: "14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 1 Kombinatorische Aspekte auf dem 9-Nagel-Geobrett Warum Beschränkung auf 3 x 3? Wie viele.....? Dreiecke? Vierecke?"—  Präsentation transkript:

1 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 1 Kombinatorische Aspekte auf dem 9-Nagel-Geobrett Warum Beschränkung auf 3 x 3? Wie viele.....? Dreiecke? Vierecke? Längen? Richtungen? Winkel? Es gibt 8 Klassen kongruenter Dreiecke 16 Klassen kongruenter Vierecke 5 Klassen gleich langer Strecken 10 (bzw. 13) Klassen gleich großer Winkel s. Beiträge 1977 Wie viele Flächeninhalte

2 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 2 Die 8 Dreiecke gleichschenklig rechtwinklig stumpfwinklig Bruchteile ½, ¼, 1 / 8, 3 / 8 Flächeninhalt Umfang Wie viele....................

3 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 3 Die Längen auf dem Geobrett Länge: Klasse gleich langer Strecken 5 cm 10 cm (25+25) 7 200 14 125 11 126828 36 Strecken

4 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 4 Codierung der Dreiecke durch Angabe der Seitenlängen (10, 10, 14)(10, 11, 11)(5, 11, 14)(7, 11, 11) (5, 10, 11)(7, 7, 10)(5, 7, 11)(5, 5, 7) Flächeninhalt??? ½¼ 1/81/8 3/83/8

5 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 5 Die 10 Klassen gleich großer Dreieckswinkel Tim und Tom die Winkel-Wichtel Die Winkel als Linearkombination der beiden kleinsten Winkel

6 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 6 Die 16 Vierecke Und das 16. ?

7 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 7 Rauten aus den 11-er-Linien 1/51/5 1/41/4 1/31/3

8 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 8 Wie finden wir alle diese Möglichkeiten? Können wir sicher sein, dass es nicht mehr als 16 Vierecke gibt? Müssen wir uns mit dem trial and errorVerfahren begnügen? Gibt es einen mathematischeren Zugang zu diesen Anzahlproblemen? blindes Suchendie denkende Hand Anleitung zu systematischen Suchen Festhalten einer Strecke, alle Möglichkeiten,nächste Strecke Wie viele...? Anzahlprobleme Finde alle......!

9 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 9 Das Urnenmodell Wir ordnen dem Tastentelefon entsprechend den 9 Nägeln die Ziffern 1 bis 9 zu Wir beschriften 9 Spielsteine mit den Ziffern 1 bis 9. Legen sie in einen Beutel und ziehen nacheinander 3 Steine (oder 2, oder 4, 5) Ziehen wir etwa die 6, die 1 und die 8 So ist damit dieses (7, 11, 11)-Dreieck bestimmt Jedes derartige Tripel bestimmt also ein Dreieck Natürlich nicht jedes

10 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 10 Gewinnspiel Dreiecke, zwei Spieler 2 Geobretter, Beutel mit 9 beschrifteten Steinen, jeder Spieler 5Würfelchen (Einsatz) 7 2 9 7 8 3 Spielregel : Einsatz: ein Würfelchen. Jeder Spieler zieht (nacheinander) 3 Spielsteine und spannt sein Dreieck. Gewonnen hat der, dessen Dreieck den größeren Flächen- inhalt hat. Bei gleichem Inhalt gewinnt der kleinere Umfang. Die 10-Strecke ist eine Niete, die 14-Strecke ein Hauptgewinn. Benennen der Bruchteile! Dokumentiere die Spieldauer!!!!!

11 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 11 Gewinnspiel vier Nägel Variante: Gewonnen hat der, dessen Viereck im Haus der Vierecke weiter unten steht. Bei gleicher Höhe neues Spiel 2 4 6 81 2 7 91 4 7 9 Spielregel: größter Flächeninhalt, kleinster Umfang Wer nennt die meisten Diagonaleigenschaften? Die meisten Symmetrieeigenschaften? Wer kennt die meisten Bezeichnungen?

12 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 12 Analyse des Urnenmodells Umgangserfahrung mit der Urne Aufbau einer Fragehaltung zur Wahrscheinlichkeit Erwartungswert Wie viele Möglichkeiten gibt es, unter den 9 Steinen 3 auszuwählen ( 9393 ) 9 über 3Binomialkoeffizient (a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³Binom: (a + b) 9 = 1a 9 + 9 a 8 b + 36 a 7 b² + 84 a 6 b³ + 126 a 5 b 4....

13 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 13 mögliche Strecken 5 cm 10 cm (25+25) 7 200 14 125 11 126828 12 + 6 + 8 + 2 + 8 = 36 Wir haben wirklich alle möglichen Strecken

14 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 14 Dreiecke ? Für den ersten Stein habe ich 9 Möglichkeiten Für den 2. Stein habe ich noch 8 Möglichkeiten Und für den 3. Noch 7 Also gibt es 9 * 8 * 7 = verschiedene Zahlentripel, die jeweils 3 Nägel beschreiben. Das Dreieck 3 7 8 kann aber durch verschiedene Tripel beschrieben werden 3 7 8 3 8 7 7 3 8 7 8 3 8 3 7 8 7 3 3 * 2 * 1 = 6 Tripel beschreiben die gleiche Figur mögliche Figuren aus 3 Nägeln ( 9393 ) = ( 9393 )

15 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 15 Anzahl der Klassen kongruenter Dreiecke 123 beschreibt eine 10-er-Strecke: es gibt 6 solche 10-er-Strecken 159 beschreibt eine 14-er-Strecke: es gibt 2 solche 14-er-Strecken Das (10, 10, 14)-Dreieck hat 4 Lagemöglichkeiten 44168 8 4 84 Figuren aus 3 Nägeln? 6 + 2 = 8 Strecken 4+4+16+8+8+4+16+16 = 76 Dreiecke76 + 8 = 84 Figuren! ( 9393 )

16 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 16 Figuren aus 4 Nägeln? Es gibt zwar keine kollineare Anordnung, aber 3 Nägel können kollinear liegen. 4 +4 + 8 + 16 + 8 = 40 Fälle Schon falsch: das erste Dreieck hat drei Seiten mit je 3 Nägel, d.h. nicht 4 sondern 12 Fälle; also insgesamt 48 Fälle.

17 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 17 1 + 1 + 4 + 4 4 + 8 + 4 + 4 8 + 16 + 8 + 8 8 + 4 + 8 + 4 94 Fälle 48 + 94 = 142 Fälle?!? 16 Fälle zu viel 25792459 + 48 Dreiecke weiter

18 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 18 Das Quadrupel 2579 bestimmt diese drei Figuren Nicht-konvexe Vierecke sind durch Quadrupel nicht eindeutig zu bestimmen Das Quadrupel 2459 bestimmt diese drei Figuren

19 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 19 Zwei Fehlermöglichkeiten Nicht jede Figur wird eindeutig durch nur ein Quadrupel beschrieben: Nicht jedes Quadrupel beschreibt eindeutig ein Figur 3579 3679 1568

20 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 20 Spiel mit vier Nägeln (Flächeninhalt) Zwei Spieler, jeweils 10 Spielsteine als Einsatz. Gesetzt werden jeweils 2 Steine. Der erste Spieler zieht seine vier Ziffern. Der´zweite kann nun entscheiden, ob er noch ziehen will oder ob er zurückzieht. Spielt er, so hat der mit dem größeren Flächeninhalt (evtl. kleinerem Umfang) gewonnen und bekommt vier Spielsteine. Zieht er zurück, so bekommt er einen Stein zurück der andere bekommt 3 Steine. Wann sollte man zurückziehen? Spielverlauf dokumentieren!

21 14.02.2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 21 Wahrscheinlichkeiten X / 126 1 4 4 4 8 12 4 4 8 4 4 8 8 16 8 37 / 126 17 / 126 28 / 126 60 / 126 4 24 / 126 48 / 126 17 + 24 + 37 + 48 = 126 MU 1/1984 Exemplarische Entwicklung der kombinatorischen Grundformeln 17+28+37+60= 142


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